Notația orbifold

notație pentru grupurile de simetrie sferice, euclidiene și hiperbolice bidimensionale

În geometrie notația orbifold (sau semnătura orbifold) este un sistem inventat de matematicianul William Thurston și promovat de John Conway pentru reprezentarea tipurilor de grupuri de simetrie în spații bidimensionale de curbură constantă. Avantajul notației este că descrie aceste grupuri într-un mod care indică multe dintre proprietățile grupurilor: în special, urmează metoda lui William Thurston pentru descrierea unui orbifold⁠(d) obținut prin aplicarea topologică a spațiului euclidian pe grupul luat în considerare.

Grupurile reprezentabile în această notație cuprind grupurile punctuale⁠(d) de pe sferă (), grupurile de friză și grupurile de tapet⁠(d) ale planului euclidian () și analogii lor din planul hiperbolic ().

Definiția notației

modificare

Într-un grup descris prin notația orbifold pot apărea următoarele tipuri de transformări euclidiene:

Se presupune că toate translațiile care au loc formează un subgrup discret al simetriilor de grup care sunt descrise.

Fiecare grup este notat în notația orbifold printr-un șir finit format din următoarele simboluri:

  • numere întregi pozitive   ;
  • simbolul infinitului,   ;
  • asteriscul, * ;
  • simbolul o (un cerc plin în documentele mai vechi), numit și toartă deoarece topologic reprezintă o suprafață închisă în formă de tor (topologic echivalent cu o toartă) — unde modelele se repetă în urma a două translații;
  • simbolul   (un cerc gol în documentele mai vechi), unde un model se repetă ca imagine în oglindă fără a traversa o dreaptă de oglindire.

Un șir scris cu aldine (litere „negre”) reprezintă un grup de simetrii ale spațiului tridimensional euclidian. Un șir care nu este scris cu caractere aldine reprezintă un grup de simetrii ale planului euclidian, care se presupune că conține două translații independente.

Fiecare simbol corespunde unei transformări distincte:

  • un număr întreg n la stânga unui asterisc indică o rotație de ordinul n în jurul unui punct;
  • un număr întreg n la dreapta unui asterisc indică o transformare de ordinul 2n care se rotește în jurul unui punct caleidoscopic și se reflectă față de o dreaptă (sau plan);
  • simbolul   indică o reflexie translată;
  • simbolul   indică o simetrie de rotație infinită în jurul unei drepte; poate apărea numai la grupurile notate cu aldine (prin abuz de limbaj, s-ar putea spune că un astfel de grup este un subgrup de simetrii ale planului euclidian cu o singură translație independentă — grupurile de frize apar în acest fel);
  • simbolul excepțional o indică faptul că există exact două translații liniar independente.

Simboluri orbifold bune

modificare

Despre un simbol orbifold se spune că e bun dacă nu este unul dintre următoarele: p, pq, *p, *pq, pentru p, q ≥ 2 și pq.

Chirale și achirale

modificare

Un obiect este chiral dacă grupul său de simetrie nu conține reflexii; altfel se numește achiral. Orbifoldul corespunzător este orientabil în cazul chiral și neorientabil în caz contrar.

Caracteristica Euler și ordinul

modificare

Caracteristica Euler a unui orbifold poate fi citită din simbolul său Conway, după cum urmează. Fiecare semn are o valoare:

  • n fără sau înainte de un asterisc contează drept  ;
  • n după un asterisc contează drept  ;
  • asteriscul și   contează drept 1;
  • o contează drept 2.

Se face suma valorilor acestor caracteristici.

Caracteristica Euler se obține scăzând din 2 suma valorilor caracteristicilor de mai sus. Dacă această sumă este 2, ordinul este infinit, adică notația reprezintă un grup de tapet sau un grup de friză. „Teorema magică” a lui Conway indică faptul că cele 17 grupuri de tapet sunt exact acelea cu suma valorilor caracteristicilor egală cu 2. În caz contrar, ordinul este 2 împărțit la caracteristica Euler.

Grupuri egale

modificare

Următoarele grupuri sunt izomorfe:

  • 1* și *11
  • 22 și 221
  • *22 și *221
  • 2* și 2*1.

Acest lucru se datorează faptului că rotația „de 1 ori” este rotația „vidă” (poziția inițială).

Grupuri bidimensionale

modificare
Un fulg de zăpadă perfect are simetria *6•,
Un pentagon are simetria *5•, imaginea cu săgeți are 5•.
Drapelul Hong Kongului⁠(d) are o simetrie de rotație cu 5 poziții, 5•.

Simetria unui obiect bidimensional fără simetrie de translație poate fi descrisă prin tipul de simetrie tridimensională prin adăugarea unei a treia dimensiuni la obiect care nu adaugă sau nu strica simetria. De exemplu, pentru o imagine bidimensională se poate considera o cutie de carton cu acea imagine afișată pe o parte; forma cutiei trebuie să fie astfel încât să nu strice simetria sau poate fi imaginată a fi infinită. Astfel se obține n• și *n•. • se adaugă la grupurile unidimensionale și bidimensionale pentru a indica existența unui punct fix. (În tridimensional aceste grupuri există într-un orbifold digonal cu n poziții și sunt reprezentate drept nn și *nn.)

Similar, o imagine unidimensională poate fi desenată orizontal pe o bucată de carton, cu grija de a evita simetria suplimentară în raport cu dreapta care conține imaginea, de exemplu prin desenarea unei bare orizontale sub imagine. Astfel, grupurile de simetrie discretă în spațiul unidimensional sunt *•, *1•, ∞• și *∞•.

O altă metodă de a construi un obiect tridimensional dintr-un obiect unidimensional sau bidimensional pentru a descrie simetria este prin produsul cartezian dintre obiect și un obiect unidimensional sau bidimensional asimetric.

Tabele de corespondențe

modificare

Sferică

modificare
Domenii fundamentale ale grupurilor punctuale de reflexie 3D
(*11),
C1v = Cs
(*22),
C2v
(*33),
C3v
(*44),
C4v
(*55),
C5v
(*66),
C6v
 
Ordin 2
 
Ordin 4
 
Ordin 6
 
Ordin 8
 
Ordin 10
 
Ordin 12
(*221),
D1h = C2v
(*222),
D2h
(*223),
D3h
(*224),
D4h
(*225),
D5h
(*226),
D6h
 
Ordin 4
 
Ordin 8
 
Ordin 12
 
Ordin 16
 
Ordin 20
 
Ordin 24
(*332), Td (*432), Oh (*532), Ih
 
Ordin 24
 
Ordin 48
 
Ordin 120
Grupuri de simetrie sferică[1]
Orbifold Coxeter Schönflies Herm.–Maug. Ordin
Grupuri poliedrice
*532 [3,5] Ih 53m 120
532 [3,5]+ I 532 60
*432 [3,4] Oh m3m 48
432 [3,4]+ O 432 24
*332 [3,3] Td 43m 24
3*2 [3+,4] Th m3 24
332 [3,3]+ T 23 12
Grupuri diedrale și ciclice: n = 3, 4, 5 ...
*22n [2,n] Dnh n/mmm sau 2nm2 4n
2*n [2+,2n] Dnd 2n2m sau nm 4n
22n [2,n]+ Dn n2 2n
*nn [n] Cnv nm 2n
n* [n+,2] Cnh n/m sau 2n 2n
[2+,2n+] S2n 2n sau n 2n
nn [n]+ Cn n n
Cazuri particulare
*222 [2,2] D2h 2/mmm sau 22m2 8
2*2 [2+,4] D2d 222m sau 2m 8
222 [2,2]+ D2 22 4
*22 [2] C2v 2m 4
2* [2+,2] C2h 2/m sau 22 4
[2+,4+] S4 22 sau 2 4
22 [2]+ C2 2 2
*22 [1,2] D1h = C2v 1/mmm sau 21m2 4
2* [2+,2] D1d = C2h 212m sau 1m 4
22 [1,2]+ D1 = C2 12 2
*1 [ ] C1v = Cs 1m 2
1* [2,1+] C1h = Cs 1/m sau 21 2
[2+,2+] S2 = Ci 21 sau 1 2
1 [ ]+ C1 1 1

Planul euclidian

modificare

Grupuri de friză

modificare
Grupuri de friză
IUC Cox. Schön. Diagramă,
orbifold
Exemple și
expresie Conway[2]
Descriere
p1 [∞]+
   
C
Z
 
∞∞
F F F F F F F F
 
 
hop
(T) Doar translație:
Acest grup este generat individual, printr-o translație cu cea mai mică distanță pentru care modelul este periodic.
p11g [∞+,2+]
     
S
Z
 
∞×
Γ L Γ L Γ L Γ L
 
 
step
(TG) Reflexii translate și translații:
Acest grup este generat individual, printr-o reflexie translată, translațiile fiind obținute prin combinarea a două reflexii translate.
p1m1 [∞]
   
C∞v
Dih
 
*∞∞
Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ
 
 
sidle
(TV) Drepte de reflexie verticale și translații:
Grupul este același cu grupul netrivial în cazul unidimensional; este generat de o translație și o reflexie în axa verticală.
p2 [∞,2]+
     
D
Dih
 
22∞
S S S S S S S S
 
 
spinning hop
(TR) Translații și rotații de 180°:
Grupul este generat de o translație și o rotație de 180°.
p2mg [∞,2+]
     
D∞d
Dih
 
2*∞
V Λ V Λ V Λ V Λ
 
 
spinning sidle
(TRVG) Drepte de reflexie verticale, reflexii translate, translații și rotații de 180°:
Translațiile de aici provin din reflexiile translate, astfel încât acest grup este generat de o reflexie translată și fie de o rotație, fie de o reflexie verticală.
p11m [∞+,2]
     
C∞h
Z×Dih1
 
∞*
B B B B B B B B
 
 
jump
(THG) Translații, reflexii orizontale, reflexii translate:
Acest grup este generat de o translație și reflexia pe axa orizontală. Reflexia translată apare aici ca o compunere a translației și a reflexiei orizontale.
p2mm [∞,2]
     
D∞h
Dih×Dih1
 
*22∞
H H H H H H H H
 
 
spinning jump
(TRHVG) Drepte de reflexie orizontale și verticale, translații și rotații la 180°:
Acest grup necesită trei generatoare, cu un set generator constând dintr-o translație, reflexia pe axa orizontală și o reflexie pe o axă verticală.
Notația Schönflies a grupurilor punctuale este extinsă aici la cazuri de simetrii infinite de puncte diedrale echivalente.
Diagrama prezintă un domeniu fundamental în galben, cu drepte de reflexie în albastru, drepte de reflexie translată în verde întrerupt, normale de translație în roșu și puncte de rotație de două ori ca mici pătrate verzi.


Grupuri de tapet

modificare
Domeniile fundamentale ale grupurilor de reflexie euclidiene
(*442), p4m (4*2), p4g
   
(*333), p3m (632), p6
   
17 grupuri de tapet[3]
Orbifold Coxeter Hermann
Mauguin
Speiser
Niggli
Polya
Guggenhein
Fejes Toth
Cadwell
*632 [6,3] p6m C(I)6v D6 W16
632 [6,3]+ p6 C(I)6 C6 W6
*442 [4,4] p4m C(I)4 D*4 W14
4*2 [4+,4] p4g CII4v Do4 W24
442 [4,4]+ p4 C(I)4 C4 W4
*333 [3[3]] p3m1 CII3v D*3 W13
3*3 [3+,6] p31m CI3v Do3 W23
333 [3[3]]+ p3 CI3 C3 W3
*2222 [∞,2,∞] pmm CI2v D2kkkk W22
2*22 [∞,2+,∞] cmm CIV2v D2kgkg W12
22* [(∞,2)+,∞] pmg CIII2v D2kkgg W32
22× [∞+,2+,∞+] pgg CII2v D2gggg W42
2222 [∞,2,∞]+ p2 C(I)2 C2 W2
** [∞+,2,∞] pm CIs D1kk W21
[∞+,2+,∞] cm CIIIs D1kg W11
×× [∞+,(2,∞)+] pg CII2 D1gg W31
o [∞+,2,∞+] p1 C(I)1 C1 W1


Planul hiperbolic

modificare
Modelul discului Poincaré al domeniului fundamental al triunghiurilor⁠(d)
Exemple cu triunghiuri dreptunghice (*2pq)
 
*237
 
*238
 
*239
 
*23∞
 
*245
 
*246
 
*247
 
*248
 
*∞42
 
*255
 
*256
 
*257
 
*266
 
*2∞∞
Exemple cu triunghiuri oarecare (*pqr)
 
*334
 
*335
 
*336
 
*337
 
*33∞
 
*344
 
*366
 
*3∞∞
 
*63
 
*∞3
Example cu poligoane superioare (*pqrs...)
 
*2223
 
*(23)2
 
*(24)2
 
*34
 
*44
 
*25
 
*26
 
*27
 
*28
 
*222∞
 
*(2∞)2
 
*∞4
 
*2
 
*∞

Primele câteva grupuri hiperbolice, ordonate după caracteristica lor Euler sunt:

Grupuri cu simetrie hiperbolică[4]
−1/χ Orbifold Coxeter
84 *237 [7,3]
48 *238 [8,3]
42 237 [7,3]+
40 *245 [5,4]
36–26.4 *239, *2 3 10 [9,3], [10,3]
26.4 *2 3 11 [11,3]
24 *2 3 12, *246, *334, 3*4, 238 [12,3], [6,4], [(4,3,3)], [3+,8], [8,3]+
22.3–21 *2 3 13, *2 3 14 [13,3], [14,3]
20 *2 3 15, *255, 5*2, 245 [15,3], [5,5], [5+,4], [5,4]+
19.2 *2 3 16 [16,3]
18+23 *247 [7,4]
18 *2 3 18, 239 [18,3], [9,3]+
17.5–16.2 *2 3 19, *2 3 20, *2 3 21, *2 3 22, *2 3 23 [19,3], [20,3], [20,3], [21,3], [22,3], [23,3]
16 *2 3 24, *248 [24,3], [8,4]
15 *2 3 30, *256, *335, 3*5, 2 3 10 [30,3], [6,5], [(5,3,3)], [3+,10], [10,3]+
14+2513+13 *2 3 36 ... *2 3 70, *249, *2 4 10 [36,3] ... [60,3], [9,4], [10,4]
13+15 *2 3 66, 2 3 11 [66,3], [11,3]+
12+811 *2 3 105, *257 [105,3], [7,5]
12+47 *2 3 132, *2 4 11 ... [132,3], [11,4], ...
12 *23∞, *2 4 12, *266, 6*2, *336, 3*6, *344, 4*3, *2223, 2*23, 2 3 12, 246, 334 [∞,3] [12,4], [6,6], [6+,4], [(6,3,3)], [3+,12], [(4,4,3)], [4+,6], [∞,3,∞], [12,3]+, [6,4]+ [(4,3,3)]+
...
  1. ^ en Symmetries of Things, Appendix A, page 416
  2. ^ en Frieze Patterns Matematicianul John Conway a creat nume pentru pași pentru fiecare din grupurile de frize.
  3. ^ en Symmetries of Things, Appendix A, page 416
  4. ^ en Symmetries of Things, Chapter 18, More on Hyperbolic groups, Enumerating hyperbolic groups, p239

Bibliografie

modificare
  • en John H. Conway, Olaf Delgado Friedrichs, Daniel H. Huson, and William P. Thurston. On Three-dimensional Orbifolds and Space Groups. Contributions to Algebra and Geometry, 42(2):475-507, 2001.
  • en J. H. Conway, D. H. Huson. The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups. Structural Chemistry, 13 (3-4): 247–257, August 2002.
  • en J. H. Conway (1992). "The Orbifold Notation for Surface Groups". In: M. W. Liebeck and J. Saxl (eds.), Groups, Combinatorics and Geometry, Proceedings of the L.M.S. Durham Symposium, July 5–15, Durham, UK, 1990; London Math. Soc. Lecture Notes Series 165. Cambridge University Press, Cambridge. pp. 438–447
  • en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5
  • Hughes, Sam (), Cohomology of Fuchsian Groups and Non-Euclidean Crystallographic Groups, arXiv:1910.00519 , Bibcode:2019arXiv191000519H 

Legături externe

modificare