Simetrie ciclică în spațiul tridimensional

Grupuri punctuale în spațiul tridimensional

Simetrie involutivă
Cs, (*)
[ ] =

Simetrie ciclică
Cnv, (*nn)
[n] =

Simetrie diedrală
Dnh, (*n22)
[n,2] =
Grup poliedric, [n,3], (*n32)

Simetrie tetraedrică
Td, (*332)
[3,3] =

Simetrie octaedrică
Oh, (*432)
[4,3] =

Simetrie icosaedrică
Ih, (*532)
[5,3] =

În geometria tridimensională, există patru serii infinite de grupuri punctuale în spațiul tridimensional⁠(d) (n≥1) cu simetrie de rotație sau de reflexie de n ori în jurul unei axe (cu un unghi de 360°/n) care nu schimbă obiectul.

Ele sunt grupurile de simetrie finite pe un con. Pentru n = ∞ ele corespund la patru grupuri ale frizelor. Se folosește notația Schönflies. Termenii orizontal (h) și vertical (v) descriu existența și direcția reflexiilor față de o axă verticală de simetrie. De asemenea, sunt indicate notația Coxeter între paranteze drepte și notația orbifold între paranteze rotunde.

Exemplu de arbore de subgrup de simetrie pentru simetrie diedrală: D4h, [4,2], (*224)
Chirală
  • Cn, [n]+, ('n'n) de ordinul n – simetrie de rotație de n ori sau grup acro-n-gonal (grup abstract: 'Zn⁠(d)); pentru n=1: nesimetric (grup trivial)
Achirală
 
Piesă de ambalaj cu simetrie C2h
  • Cnh, [n+,2], (n*) de ordinul 2n - simetrie prismatică sau grup orto-n-gonal (grup abstract 'Zn⁠(d)) × Dih1); pentru n=1 aceasta este notată Cs (1*)' și numită simetrie de reflexie (în biologie, simetrie bilaterală). Are simetrie de reflexie de n ori față de un plan perpendicular pe axa de rotație.
  • Cnv, [n], (*nn) de ordinul 2n - simetrie piramidală sau grup complet acro-n-gonal (grup abstract: Dihn); în biologie C2v este numit simetrie biradială. Pentru n=1 avem din nou Cs (1*). Are plane verticale de simetrie. Acesta este grupul de simetrie pentru o piramidă regulată cu n laturi.
  • S2n, [2+,2n+], (n×) de ordinul 2n - grup giro-n-gonal (a nu se confunda cu grupurile simetrice⁠(d), pentru care se folosește aceeași notație; grup abstract: Z2n). Are o axă de rotație improprie de 2n ori, adică grupul de simetrie conține o combinație a unei reflexii în plan orizontal și o rotație cu un unghi de 180°/n. Astfel, Dnd, conține un număr de rotații improprii fără a conține și rotațiile corespunzătoare.

C2h, [2,2+] (2*) și C2v, [2], (*22) de ordinul of order 4 sunt două dintre cele trei tipuri de grupuri de simetrie tridimensională cu grupul lui Klein ca grup abstract. C2v se aplică, de exemplu, la o pavare dreptunghiulară cu partea superioară diferită de partea inferioară.

Grupuri ale frizelor

modificare

La limită, aceste patru grupuri reprezintă grupuri ale frizelor plane euclidiene ca C, C∞h, C∞v și S. La limită rotațiile devin translații. De asemenea, porțiuni din planul infinit pot fi decupate și conectate sub forma unui cilindru infinit.

Grupuri ale frizelor
Notații Exemple
IUC Orbifold Coxeter Schönflies* Plan euclidian Cilindric (n = 6)
p1 ∞∞ [∞]+ C    
p1m1 *∞∞ [∞] C∞v    
p11m ∞* [∞+,2] C∞h    
p11g ∞× [∞+,2+] S    
S2/Ci (1x): C4v (*44): C5v (*55):
 
Paralelipiped
 
Piramidă pătrată
 
Piramidă pătrată alungită
 
Piramidă pentagonală

Bibliografie

modificare
  • en Sands, Donald E. (). „Crystal Systems and Geometry”. Introduction to Crystallography . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. p. 165. ISBN 0-486-67839-3. 
  • en On Quaternions and Octonions, 2003, John Horton Conway and Derek A. Smith ISBN: 978-1-56881-134-5
  • en The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN: 978-1-56881-220-5
  • en Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 [1]
  • en N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups

Vezi și

modificare