Simetrie ciclică în spațiul tridimensional
Simetrie involutivă Cs, (*) [ ] = |
Simetrie ciclică Cnv, (*nn) [n] = |
Simetrie diedrală Dnh, (*n22) [n,2] = | |
Grup poliedric, [n,3], (*n32) | |||
---|---|---|---|
Simetrie tetraedrică Td, (*332) [3,3] = |
Simetrie octaedrică Oh, (*432) [4,3] = |
Simetrie icosaedrică Ih, (*532) [5,3] = |
În geometria tridimensională, există patru serii infinite de grupuri punctuale în spațiul tridimensional(d) (n≥1) cu simetrie de rotație sau de reflexie de n ori în jurul unei axe (cu un unghi de 360°/n) care nu schimbă obiectul.
Ele sunt grupurile de simetrie finite pe un con. Pentru n = ∞ ele corespund la patru grupuri ale frizelor. Se folosește notația Schönflies. Termenii orizontal (h) și vertical (v) descriu existența și direcția reflexiilor față de o axă verticală de simetrie. De asemenea, sunt indicate notația Coxeter între paranteze drepte și notația orbifold între paranteze rotunde.
Tipuri
modificare- Chirală
- Cn, [n]+, ('n'n) de ordinul n – simetrie de rotație de n ori sau grup acro-n-gonal (grup abstract: 'Zn(d)); pentru n=1: nesimetric (grup trivial)
- Achirală
- Cnh, [n+,2], (n*) de ordinul 2n - simetrie prismatică sau grup orto-n-gonal (grup abstract 'Zn(d)) × Dih1); pentru n=1 aceasta este notată Cs (1*)' și numită simetrie de reflexie (în biologie, simetrie bilaterală). Are simetrie de reflexie de n ori față de un plan perpendicular pe axa de rotație.
- Cnv, [n], (*nn) de ordinul 2n - simetrie piramidală sau grup complet acro-n-gonal (grup abstract: Dihn); în biologie C2v este numit simetrie biradială. Pentru n=1 avem din nou Cs (1*). Are plane verticale de simetrie. Acesta este grupul de simetrie pentru o piramidă regulată cu n laturi.
- S2n, [2+,2n+], (n×) de ordinul 2n - grup giro-n-gonal (a nu se confunda cu grupurile simetrice(d), pentru care se folosește aceeași notație; grup abstract: Z2n). Are o axă de rotație improprie de 2n ori, adică grupul de simetrie conține o combinație a unei reflexii în plan orizontal și o rotație cu un unghi de 180°/n. Astfel, Dnd, conține un număr de rotații improprii fără a conține și rotațiile corespunzătoare.
- pentru n=1 avem S2 (1×), notat și cu Ci ; aceasta este simetria față de centru.
C2h, [2,2+] (2*) și C2v, [2], (*22) de ordinul of order 4 sunt două dintre cele trei tipuri de grupuri de simetrie tridimensională cu grupul lui Klein ca grup abstract. C2v se aplică, de exemplu, la o pavare dreptunghiulară cu partea superioară diferită de partea inferioară.
Grupuri ale frizelor
modificareLa limită, aceste patru grupuri reprezintă grupuri ale frizelor plane euclidiene ca C∞, C∞h, C∞v și S∞. La limită rotațiile devin translații. De asemenea, porțiuni din planul infinit pot fi decupate și conectate sub forma unui cilindru infinit.
Notații | Exemple | ||||
---|---|---|---|---|---|
IUC | Orbifold | Coxeter | Schönflies* | Plan euclidian | Cilindric (n = 6) |
p1 | ∞∞ | [∞]+ | C∞ | ||
p1m1 | *∞∞ | [∞] | C∞v | ||
p11m | ∞* | [∞+,2] | C∞h | ||
p11g | ∞× | [∞+,2+] | S∞ |
Exemple
modificareS2/Ci (1x): | C4v (*44): | C5v (*55): | |
---|---|---|---|
Paralelipiped |
Piramidă pătrată |
Piramidă pătrată alungită |
Piramidă pentagonală |
Bibliografie
modificare- en Sands, Donald E. (). „Crystal Systems and Geometry”. Introduction to Crystallography . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. p. 165. ISBN 0-486-67839-3.
- en On Quaternions and Octonions, 2003, John Horton Conway and Derek A. Smith ISBN: 978-1-56881-134-5
- en The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN: 978-1-56881-220-5
- en Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 [1]
- en N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups