Simetrie față de centru

În geometrie o inversiune față de centru, inversiune față de un punct sau reflexie față de un punct este un tip de izometrie a spațiului euclidian. Un obiect care este invariant⁠(d) în urma unei inversiuni față de un punct se spune că posedă simetrie față de un punct; dacă este invariant în urma inversiunii față de centrul său se spune că are simetrie față de centru sau că are simetrie centrală[1].

Într-un spațiu bidimensional o simetrie față de un punct este aceeași cu o rotație de 180°
Tetraedre duale, care sunt mutual simetrice față de centru

O reflexie față de un punct poate fi clasificată ca fiind o transformare afină⁠(d). Și anume, este o transformare afină izometrică involutivă, care are exact un punct fix, care este punctul de inversiune. Este echivalentă cu o transformare omotetică cu factor de scară egal cu −1. Punctul de inversiune este numit și centru de omotetie⁠(d).[2]

TerminologieModificare

Termenul reflexie este considerat de unii un abuz de limbaj, fiind preferat cel de inversiune; cu toate acestea, expresia reflexie față de punct este utilizată. Astfel de aplicații sunt involuții, adică sunt propriile lor inverse: aplicându-le de două ori rezultă o identitate — ceea ce este valabil și pentru alte aplicații numite reflexii. Mai restrâns, o reflexie se referă la o reflexie într-un hiperplan (subspațiu afin (n−1)-dimensional — un punct de pe o dreaptă, o dreaptă dintr-un plan, un plan dintr-un spațiu tridimensional), cu hiperplanul fiind fix, dar în sens larg termenul de reflexie se aplică oricărei involuții a spațiului euclidian, iar mulțimea fixă (un spațiu afin k-dimensional, unde  ) se numește oglindă. În dimensiunea 1 acestea coincid, deoarece un punct este un hiperplan din dreaptă.

În domeniul algebrei liniare, presupunând că originea este fixă, involuțiile sunt aplicațiile diagonalizabile cu toate valorile proprii fie 1, fie −1. Reflexia într-un hiperplan are o singură valoare proprie de −1 (și multiplicitatea n−1 la valoarea proprie 1), în timp ce reflexia față de punct are doar valoarea proprie −1 (cu multiplicitatea n).

Termenul inversiune nu trebuie confundat cu cel din geometria de inversiune⁠(d), unde inversiunea este definită față de cerc.

ExempleModificare

Exemple bidimensionale
 
Paralelogon hexagonal
 
Octogon

În două dimensiuni, o inversiune față de un punct este aceeași cu o rotație de 180°. În trei dimensiuni, o inversiune față de un punct poate fi descrisă ca o rotație de 180° compusă cu o reflexie față de un plan perpendicular pe axa de rotație. În dimensiunea n, inversiunile față de un punct conservă orientarea dacă n este par și inversează orientarea dacă n este impar.

FormuleModificare

Fiind dat un vector a în spațiul euclidian Rn, formula pentru reflexia lui a față de punctul p este

 

În cazul în care p este originea, reflexia punctului este pur și simplu schimbarea semnului vectorului a.

În geometria euclidiană, inversiunea unui punct X față de un punct P este un punct X* astfel încât P este punctul de mijloc al segmentului cu capetele X și X*. Cu alte cuvinte, vectorul de la X la P este congruent cu vectorul de la P la X*.

Formula pentru inversiunea față de P este

x* = 2ax

unde a, x și x* sunt vectorii de poziție ai punctelor P, X și respectiv X*.

Această aplicație este o transformare afină⁠(d) izometrică involutivă care are exact un punct fix , care este P.

Reflexia față de un punct ca un caz particular al scalării uniforme sau omotetieiModificare

Când punctul de inversiune P coincide cu originea, reflexia punctului este echivalentă cu un caz particular de scalare uniformă: cea cu factor de scară egal cu −1. (Acesta este un exemplu de transformare liniară.)

Când P nu coincide cu originea, reflexia față de un punct este echivalentă cu un caz particular de transformare omotetică: cea cu centrul de omotetie care coincide cu P și factorul de scară −1. Acesta este un exemplu de transformare afină neliniară.

Grup de reflexie punctualModificare

 
Într-un spațiu bidimensional compunerea a două reflexii față de puncte diferite este o translație

Compunerea⁠(d) a două reflexii față de două puncte diferite este o translație. Mai exact, reflexia punctului față de p urmată de reflexia punctului față de q este translația prin vectorul 2(q − p).

Mulțimea constând din toate translațiile și toate reflexiile față de un punct este subgrupul Lie al grupului euclidian⁠(d). Este un produs semidirect⁠(d) al lui Rn cu un grup ciclic⁠(d) de ordinul 2, acesta din urmă acționând asupra lui Rn prin negativare. Tocmai subgrupul grupului euclidian fixează punctual dreapta de la infinit.

În cazul n = 1, grupul de reflexie punctual este întregul grup de izometrie al dreptei.

Reflexiile față de un punct în matematicăModificare

Reflexia față de un punct în geometria analiticăModificare

Fiind dat punctul   și reflexia sa   față de punctul  , acesta din urmă este punctul din mijlocul segmentului  ;

 

Prin urmare, ecuațiile pentru a găsi coordonatele punctului reflectat sunt

 

Inversiunea față de origine este un caz particular în care coordonatele punctului C sunt  , caz în care relația de mai sus devine

 

ProprietățiModificare

Într-un spațiu euclidian cu un număr par de dimensiuni, de exemplu spațiul 2n-dimensional, inversiunea față de un punct P este echivalentă cu n rotații de unghi π din oricare plan ales arbitrar din setul de n plane reciproc ortogonale care se intersectează în P. Aceste rotații sunt reciproc comutative. Prin urmare, inversiunea față de un punct dintr-un astfel de spațiu este o izometrie care păstrează orientarea, adică o izometrie directă.

Într-un spațiu euclidian cu un număr impar de dimensiuni, de exemplu spațiul (2n+1)-dimensional, inversiunea față de un punct P este echivalentă cu n rotații de unghi π din oricare plan ales arbitrar din setul de n plane reciproc ortogonale care se intersectează în P combinate cu o reflexie în subspațiul 2n-dimensional generat de aceste plane de rotație. Prin urmare, inversiunea față de un punct dintr-un astfel de spațiu nu conservă orientarea, ci o inversează, este o izometrie indirectă.

Geometric, în spațiul tridimensional ea echivalează cu rotația în jurul unei axe prin P cu un unghi de 180°, combinată cu reflexia în planul prin P care este perpendicular pe axă; rezultatul nu depinde de orientarea axei. Notațiile pentru tipul de operație sau tipul de grup pe care îl generează sunt  , Ci, S2 și 1×. Tipul de grup este unul dintre cele trei tipuri de grupuri de simetrie în tridimensional fără nicio simetrie de rotație pură.

Următoarele grupuri punctuale în spațiul tridimensional⁠(d) conțin inversiuni:

  • Cnh și Dnh pentru n par
  • S2n și Dnd pentru n impar
  • Th, Oh și Ih

NoteModificare

  1. ^ Anastasiei, Geometrie…, p. 50
  2. ^ Anastasiei, Geometrie…, pp. 63–65

BibliografieModificare