Simetrie icosaedrică

Grupuri punctuale în spațiul tridimensional

Simetrie involutivă Cs, (*) [ ] =	Simetrie ciclică Cnv, (*nn) [n] =	Simetrie diedrală Dnh, (*n22) [n,2] =
Grup poliedric, [n,3], (*n32)
Simetrie tetraedrică Td, (*332) [3,3] =	Simetrie octaedrică Oh, (*432) [4,3] =	Simetrie icosaedrică Ih, (*532) [5,3] =

Simetria icosaedrică este cea a icosaedruui regulat, care are 60 de simetrii de rotație (care conservă orientarea) și 120 de simetrii în total. Acestea includ transformări care combină o reflexie și o rotație. Un dodecaedru are același set de simetrii, deoarece este dualul icosaedrului.

Domeniile fundamentale ale simetriei icosaedrice

Minge de fotbal, un exemplu comun de icosaedru trunchiat sferic, are simetrie icosaedrică completă

Rotațiile și reflexiile formează grupul de simetrie al marelui icosaedru

Grupul de simetrie completă (inclusiv reflexiile) este cunoscut sub numele de grupul Coxeter H₃ și este reprezentat prin notația Coxeter [5,3] și diagrama Coxeter . Setul de simetrii care conservă orientarea formează un subgrup care este izomorf cu grupul A₅ (grupul altern de 5 elemente).

Ca grup punctual

În afară de cele două serii infinite de simetrie prismatică și antiprismatică, simetria icosaedrică de rotație sau simetria icosaedrică chirală a obiectelor chirale și simetria icosaedrică completă sau simetria icosaedrică achirală sunt simetrii de puncte discrete (sau, echivalent, simetrii pe sferă) cu cele mai mari grupuri de simetrie.

Simetria icosaedrică nu este compatibilă cu simetria de translație, așa că nu există grupuri de puncte cristalografice sau grupuri spațiale^⁠(d) asociate.

Schoenflies	Coxeter		Orbifold	Structură abstractă	Ordin
I	[5,3]+		532	A5	60
Ih	[5,3]		*532	A5×2	120

Prezentările^⁠(d) corespunzătoare celor de mai sus sunt:

$I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \$

$I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\$

Acestea corespund grupurilor icosaedrice (de rotație și complete) fiind grupurile triunghiului^⁠(d) (2,3,5).

Prima prezentare a fost făcută de William Rowan Hamilton în 1856, în lucrarea sa despre calculul icosian.

Sunt posibile și alte prezentări, de exemplu ca grup altern (pentru I).

Vizualizări

Schoe. (Orb.)	Coxeter	Elemente	Diagrame de oglindiri
			Ortogonal	Proiecție stereografică
Ih (*532)	[5,3]	Drepte de oglindire: 15
I (532)	[5,3]+	Puncte de girație: 125 203 302

Structura grupului

Laturile unui compus de cinci octaedre sferic reprezintă cele 15 plane de oglindire ca cercuri mari colorate. Fiecare octaedru poate reprezenta 3 plane de oglindire ortogonale care conțin laturile sale.
Simetria piritoedrică este un subgrup cu indice 5 de simetrie icosaedrică, cu 3 linii de reflexie ortogonale verzi și 8 puncte de rotație de ordinul 3 roșii. Există 5 orientări diferite ale simetriei piritoedrice.

Grupul de rotație icosaedric I este de ordinul 60. Grupul I este izomorf cu A₅, grupul altern al permutărilor pare a cinci obiecte. Acest izomorfism poate fi realizat prin I care acționează asupra diverșilor compuși, în special compusul de cinci cuburi (care se înscrie în dodecaedru), compusul de cinci octaedre, sau oricare dintre cei doi compuși de cinci tetraedre (care sunt enantiomorfi, și se înscriu în dodecaedru).

Grupul conține 5 versiuni de T_h cu 20 de versiuni de D₃ (10 axe, 2 pe axă) și 6 versiuni de D₅.

Grupul icosaedric complet I_h are ordinul 120. Are I ca subgrup normal^⁠(d) de indice^⁠(d) 2. Grupul I_h este izomorf la I × Z₂ sau A₅ × Z₂, cu inversiunea față de centru corespunzătoare elementului (identitate, −1), unde Z₂ se scrie multiplicativ.

I_h acționează asupra compusului de cinci cuburi și compusului de cinci octaedre, dar −1 acționează ca identitate (deoarece cuburile și octaedrele au simetrie față de centru). Acționează asupra compusului de zece tetraedre: I acționează asupra celor două jumătăți chirale (compușii de cinci tetraedre), iar −1 interschimbă cele două jumătăți. De remarcat că el nu acționează ca S₅, iar aceste grupuri nu sunt izomorfe.

Grupul conține 10 versiuni de D_3d și 6 versiuni de D_5d (simetrii ca ale antiprismelor).

I este izomorf și cu PSL₂(5), dar I_h nu este izomorf cu SL₂(5).

Izomorfismul lui I cu A₅

Este util să se descrie explicit cum arată izomorfismul dintre I și A₅. În tabelul următor permutările P_i și Q_i acționează asupra a 5 și respectiv 12 elemente, în timp ce matricile de rotație M_i sunt elementele I. Dacă P_k este produsul permutării P_i cu aplicarea P_j, atunci pentru aceleași valori ale lui i, j și k este adevărat și că Q_k este produsul Q_i cu aplicarea Q_j, și că înmulțirea unui vector cu M_k este același lucru cu înmulțirea acelui vector cu M_i și apoi înmulțirea acelui rezultat cu M_j, adică M_k = M_j × M_i. Deoarece permutările P_i sunt toate cele 60 de permutări pare ale lui 1 2 3 4 5, corespondența unu-la-unu este explicită, deci și izomorfismul.

Matrice de rotație	Permutare de 5 pe 1 2 3 4 5	Permutare de 12 pe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
$M_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$	$P_{1}$ = ()	$Q_{1}$ = ()
$M_{2}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{2}$ = (3 4 5)	$Q_{2}$ = (1 11 8)(2 9 6)(3 5 12)(4 7 10)
$M_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{3}$ = (3 5 4)	$Q_{3}$ = (1 8 11)(2 6 9)(3 12 5)(4 10 7)
$M_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{4}$ = (2 3)(4 5)	$Q_{4}$ = (1 12)(2 8)(3 6)(4 9)(5 10)(7 11)
$M_{5}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{5}$ = (2 3 4)	$Q_{5}$ = (1 2 3)(4 5 6)(7 9 8)(10 11 12)
$M_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{6}$ = (2 3 5)	$Q_{6}$ = (1 7 5)(2 4 11)(3 10 9)(6 8 12)
$M_{7}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{7}$ = (2 4 3)	$Q_{7}$ = (1 3 2)(4 6 5)(7 8 9)(10 12 11)
$M_{8}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}$	$P_{8}$ = (2 4 5)	$Q_{8}$ = (1 10 6)(2 7 12)(3 4 8)(5 11 9)
$M_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{9}$ = (2 4)(3 5)	$Q_{9}$ = (1 9)(2 5)(3 11)(4 12)(6 7)(8 10)
$M_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{10}$ = (2 5 3)	$Q_{10}$ = (1 5 7)(2 11 4)(3 9 10)(6 12 8)
$M_{11}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}$	$P_{11}$ = (2 5 4)	$Q_{11}$ = (1 6 10)(2 12 7)(3 8 4)(5 9 11)
$M_{12}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{12}$ = (2 5)(3 4)	$Q_{12}$ = (1 4)(2 10)(3 7)(5 8)(6 11)(9 12)
$M_{13}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$	$P_{13}$ = (1 2)(4 5)	$Q_{13}$ = (1 3)(2 4)(5 8)(6 7)(9 10)(11 12)
$M_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{14}$ = (1 2)(3 4)	$Q_{14}$ = (1 5)(2 7)(3 11)(4 9)(6 10)(8 12)
$M_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{15}$ = (1 2)(3 5)	$Q_{15}$ = (1 12)(2 10)(3 8)(4 6)(5 11)(7 9)
$M_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{16}$ = (1 2 3)	$Q_{16}$ = (1 11 6)(2 5 9)(3 7 12)(4 10 8)
$M_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{17}$ = (1 2 3 4 5)	$Q_{17}$ = (1 6 5 3 9)(4 12 7 8 11)
$M_{18}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{18}$ = (1 2 3 5 4)	$Q_{18}$ = (1 4 8 6 2)(5 7 10 12 9)
$M_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{19}$ = (1 2 4 5 3)	$Q_{19}$ = (1 8 7 3 10)(2 12 5 6 11)
$M_{20}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}$	$P_{20}$ = (1 2 4)	$Q_{20}$ = (1 7 4)(2 11 8)(3 5 10)(6 9 12)
$M_{21}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{21}$ = (1 2 4 3 5)	$Q_{21}$ = (1 2 9 11 7)(3 6 12 10 4)
$M_{22}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{22}$ = (1 2 5 4 3)	$Q_{22}$ = (2 3 4 7 5)(6 8 10 11 9)
$M_{23}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{bmatrix}}$	$P_{23}$ = (1 2 5)	$Q_{23}$ = (1 9 8)(2 6 3)(4 5 12)(7 11 10)
$M_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{24}$ = (1 2 5 3 4)	$Q_{24}$ = (1 10 5 4 11)(2 8 9 3 12)
$M_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{25}$ = (1 3 2)	$Q_{25}$ = (1 6 11)(2 9 5)(3 12 7)(4 8 10)
$M_{26}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{26}$ = (1 3 4 5 2)	$Q_{26}$ = (2 5 7 4 3)(6 9 11 10 8)
$M_{27}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{27}$ = (1 3 5 4 2)	$Q_{27}$ = (1 10 3 7 8)(2 11 6 5 12)
$M_{28}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{28}$ = (1 3)(4 5)	$Q_{28}$ = (1 7)(2 10)(3 11)(4 5)(6 12)(8 9)
$M_{29}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{29}$ = (1 3 4)	$Q_{29}$ = (1 9 10)(2 12 4)(3 6 8)(5 11 7)
$M_{30}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{30}$ = (1 3 5)	$Q_{30}$ = (1 3 4)(2 8 7)(5 6 10)(9 12 11)
$M_{31}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{31}$ = (1 3)(2 4)	$Q_{31}$ = (1 12)(2 6)(3 9)(4 11)(5 8)(7 10)
$M_{32}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{32}$ = (1 3 2 4 5)	$Q_{32}$ = (1 4 10 11 5)(2 3 8 12 9)
$M_{33}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{33}$ = (1 3 5 2 4)	$Q_{33}$ = (1 5 9 6 3)(4 7 11 12 8)
$M_{34}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{34}$ = (1 3)(2 5)	$Q_{34}$ = (1 2)(3 5)(4 9)(6 7)(8 11)(10 12)
$M_{35}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{35}$ = (1 3 2 5 4)	$Q_{35}$ = (1 11 2 7 9)(3 10 6 4 12)
$M_{36}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{36}$ = (1 3 4 2 5)	$Q_{36}$ = (1 8 2 4 6)(5 10 9 7 12)
$M_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{37}$ = (1 4 5 3 2)	$Q_{37}$ = (1 2 6 8 4)(5 9 12 10 7)
$M_{38}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\end{bmatrix}}$	$P_{38}$ = (1 4 2)	$Q_{38}$ = (1 4 7)(2 8 11)(3 10 5)(6 12 9)
$M_{39}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{39}$ = (1 4 3 5 2)	$Q_{39}$ = (1 11 4 5 10)(2 12 3 9 8)
$M_{40}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{40}$ = (1 4 3)	$Q_{40}$ = (1 10 9)(2 4 12)(3 8 6)(5 7 11)
$M_{41}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}$	$P_{41}$ = (1 4 5)	$Q_{41}$ = (1 5 2)(3 7 9)(4 11 6)(8 10 12)
$M_{42}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{42}$ = (1 4)(3 5)	$Q_{42}$ = (1 6)(2 3)(4 9)(5 8)(7 12)(10 11)
$M_{43}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{43}$ = (1 4 5 2 3)	$Q_{43}$ = (1 9 7 2 11)(3 12 4 6 10)
$M_{44}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{44}$ = (1 4)(2 3)	$Q_{44}$ = (1 8)(2 10)(3 4)(5 12)(6 7)(9 11)
$M_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{45}$ = (1 4 2 3 5)	$Q_{45}$ = (2 7 3 5 4)(6 11 8 9 10)
$M_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{46}$ = (1 4 2 5 3)	$Q_{46}$ = (1 3 6 9 5)(4 8 12 11 7)
$M_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{47}$ = (1 4 3 2 5)	$Q_{47}$ = (1 7 10 8 3)(2 5 11 12 6)
$M_{48}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$	$P_{48}$ = (1 4)(2 5)	$Q_{48}$ = (1 12)(2 9)(3 11)(4 10)(5 6)(7 8)
$M_{49}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{49}$ = (1 5 4 3 2)	$Q_{49}$ = (1 9 3 5 6)(4 11 8 7 12)
$M_{50}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}$	$P_{50}$ = (1 5 2)	$Q_{50}$ = (1 8 9)(2 3 6)(4 12 5)(7 10 11)
$M_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{51}$ = (1 5 3 4 2)	$Q_{51}$ = (1 7 11 9 2)(3 4 10 12 6)
$M_{52}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{52}$ = (1 5 3)	$Q_{52}$ = (1 4 3)(2 7 8)(5 10 6)(9 11 12)
$M_{53}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}$	$P_{53}$ = (1 5 4)	$Q_{53}$ = (1 2 5)(3 9 7)(4 6 11)(8 12 10)
$M_{54}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{54}$ = (1 5)(3 4)	$Q_{54}$ = (1 12)(2 11)(3 10)(4 8)(5 9)(6 7)
$M_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{55}$ = (1 5 4 2 3)	$Q_{55}$ = (1 5 11 10 4)(2 9 12 8 3)
$M_{56}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{56}$ = (1 5)(2 3)	$Q_{56}$ = (1 10)(2 12)(3 11)(4 7)(5 8)(6 9)
$M_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{57}$ = (1 5 2 3 4)	$Q_{57}$ = (1 3 8 10 7)(2 6 12 11 5)
$M_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{58}$ = (1 5 2 4 3)	$Q_{58}$ = (1 6 4 2 8)(5 12 7 9 10)
$M_{59}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{59}$ = (1 5 3 2 4)	$Q_{59}$ = (2 4 5 3 7)(6 10 9 8 11)
$M_{60}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$	$P_{60}$ = (1 5)(2 4)	$Q_{60}$ = (1 11)(2 10)(3 12)(4 9)(5 7)(6 8)

Grupuri frecvent confundate

Toate grupurile următoare sunt de ordinul 120, dar nu sunt izomorfe:

• S₅, grupul simetric de 5 elemente;
• I_h, grupul icosaedric complet (subiectul acestui articol, cunoscut și ca H₃);
• 2I, grupul icosaedric binar^⁠(d).

Acestea corespund următoarelor secvențe:

$1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1$;

$I_{h}=A_{5}\times Z_{2}$;

$1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1$.

În cuvinte,

• $A_{5}$ este subgrupul normal al $S_{5}$;
• $A_{5}$ este factorul lui $I_{h}$, care este produsul direct^⁠(d);
• $A_{5}$ este grupul factor al $2I$

De observat că $A_{5}$ are o reprezentare tridimensională ireductibilă obiect excepțional^⁠(d) (ca grupul icosaedric de rotație), dar $S_{5}$ nu are o reprezentare tridimensională ireductibilă, corespunzătoare grupului icosaedric complet nefiind grupul simetric.

De asemenea, acestea pot fi legate de grupuri liniare peste corpuri finite cu cinci elemente, care prezintă subgrupurile și grupurile de acoperire direct; niciunul dintre acestea nu este grupul icosaedric complet:

• $A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),$ grup proiectiv liniar^⁠(d) special;
• $S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),$ grupul proiectiv liniar general;
• $2I\cong \operatorname {SL} (2,5),$ grupul liniar special^⁠(d).

Clase de conjugare

Cele 120 de simetrii se încadrează în 10 clase de conjugare.

Clase de conjugare

I

clase suplimentare ale Ih

identitate, de ordinul 1; 12 × rotație de ±72°, de ordinul 5, în jurul celor 6 axe prin centrele fețelor dodecaedrului; 12 × rotație de ±144°, de ordinul 5, în jurul celor 6 axe prin centrele fețelor dodecaedrului; 20 × rotație de ±120°, de ordinul 3, în jurul celor 10 axe prin vârfurile dodecaedrului; 15 × rotație de 180°, de ordinul 2, în jurul celor 15 axe prin mijloacele laturilor dodecaedrului.

inversiune față de centru, de ordinul 2 12 × reflexii improprii de ±36°, de ordinul 10, în jurul celor 6 axe prin centrele fețelor dodecaedrului; 12 × reflexii improprii de ±108°, de ordinul 10, în jurul celor 6 axe prin centrele fețelor dodecaedrului; 20 × reflexii improprii de ±60°, de ordinul 6, în jurul celor 10 axe prin vârfurile dodecaedrului; 15 × reflexii, de ordinul 2, față de 15 plane care conțin laturile dodecaedrului.

Subgrupuri ale grupului de simetrie icosaedrică completă

Relațiile subgrupului

Relațiile subgrupului chiral

Fiecare linie din următorul tabel reprezintă o clasă de subgrupuri conjugate (adică, echivalente geometric). Coloana „Mult.” (multiplicitatea) dă numărul de subgrupuri diferite din clasa de conjugare.
Legenda culorilor: verde = grupurile care sunt generate de reflexii, roșu = grupurile chirale (care conservă orientarea), care conțin doar rotații.

Grupurile sunt descrise geometric în termeni de dodecaedru. Abrevierea „j.î.s.(latură)” înseamnă „jumătate de întoarcere interschimbând această latură cu latura opusă ei” și, similar, pentru „față” și „vârf”.

Schoe.	Coxeter		Orb.	H-M	Structură	Ciclic	Ordin	Index	Mult.	Descriere
Ih	[5,3]		*532	532/m	A5×Z2		120	1	1	grup complet
D2h	[2,2]		*222	mmm	D4×D2=D23		8	15	5	menținând fixe două laturi opuse, eventual interschimbându-le
C5v	[5]		*55	5m	D10		10	12	6	menținând fixă o față
C3v	[3]		*33	3m	D6=S3		6	20	10	menținând fix un vârf
C2v	[2]		*22	2mm	D4=D22		4	30	15	menținând fixă o față
Cs	[ ]		*	2 or m	D2		2	60	15	reflexie interschimbând capetele unei laturi
Th	[3+,4]		3*2	m3	A4×Z2		24	5	5	grup piritoedric
D5d	[2+,10]		2*5	10m2	D20=Z2×D10		20	6	6	menținând fixe două laturi opuse, eventual interschimbându-le
D3d	[2+,6]		2*3	3m	D12=Z2×D6		12	10	10	menținând fixe două vârfuri opuse, eventual interschimbându-le
D1d = C2h	[2+,2]		2*	2/m	D4=Z2×D2		4	30	15	jumătate de rotație în jurul punctului din mijloc, plus inversiune față de centru
S10	[2+,10+]		5×	5	Z10=Z2×Z5		10	12	6	rotație a unei fețe, plus inversiune față de centru
S6	[2+,6+]		3×	3	Z6=Z2×Z3		6	20	10	rotație în jurul unui vârf, plus inversiune față de centru
S2	[2+,2+]		×	1	Z2		2	60	1	inversiune față de centru
I	[5,3]+		532	532	A5		60	2	1	toate rotațiile
T	[3,3]+		332	332	A4		12	10	5	rotații ale unui tetraedru conținut
D5	[2,5]+		522	522	D10		10	12	6	rotații în jurul centrului unei fețe și j.î.s.(față)
D3	[2,3]+		322	322	D6=S3		6	20	10	rotații în jurul unui vârf, și j.î.s.(vârf)
D2	[2,2]+		222	222	D4=Z22		4	30	15	jumătate de întoarcere în jurul punctului de mijloc al laturii și j.î.s.(latură)
C5	[5]+		55	5	Z5		5	24	6	rotații în jurul centrului unei fețe
C3	[3]+		33	3	Z3=A3		3	40	10	rotații în jurul unui vârf
C2	[2]+		22	2	Z2		2	60	15	jumătate de întoarcere în jurul punctului de mijloc al laturii
C1	[ ]+		11	1	Z1		1	120	1	grup trivial

Stabilizatori de vârfuri

Stabilizatorii unei perechi opuse de vârfuri pot fi interpretați ca stabilizatori ai axei pe care o generează. generate.

• stabilizatorii de vârfuri din I generează grupuri ciclice C₃;
• stabilizatorii de vârfuri din I_h generează grupuri diedrale D₃;
• stabilizatorii unei perechi de vârfuri opuse din I generează grupuri diedrale D₃;
• stabilizatorii unei perechi de vârfuri opuse din I_h generează $D_{3}\times \pm 1$.

Stabilizatori de laturi

Stabilizatorii unei perechi opuse de laturi pot fi interpretați ca stabilizatori ai dreptunghiului pe care îl generează.

• stabilizatorii de laturi din I generează grupuri ciclice Z₂;
• stabilizatorii de laturi din I_h generează grupuri Klein de patru $Z_{2}\times Z_{2}$;
• stabilizatorii unei perechi de laturi din I generează grupuri Klein de patru $Z_{2}\times Z_{2}$; există 5 dintre acestea, generate prin rotații de 180° în 3 axe perpendiculare;
• stabilizatorii unei perechi de laturi din I_h generează $Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}$; există 5 dintre acestea, generate prin reflexii în 3 axe perpendiculare.

Stabilizatori de fețe

Stabilizatorii unei perechi opuse de fețe pot fi interpretați ca stabilizatori ai antiprismei pe care o generează.

• stabilizatorii de fețe din I generează grupuri ciclice C₅
• stabilizatorii de fețe din I_h generează grupuri diedrale D₅
• stabilizatorii unei perechi de fețe opuse din I generează grupuri diedrale D₅
• stabilizatorii unei perechi de fețe opuse din I_h generează $D_{5}\times \pm 1$.

Stabilizatori de poliedre

Pentru fiecare dintre acestea există 5 copii conjugate, iar acțiunea de conjugare dă o aplicație care este un izomorfism, $I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}$.

• stabilizatorii tetraedrelor înscrise din I sunt o copie a T
• stabilizatorii tetraedrelor înscrise din I_h sunt o copie a T
• stabilizatorii cuburilor înscrise (sau perechi opuse de tetraedre sau octaedre) din I sunt o copie a T
• stabilizatorii cuburilor înscrise (sau perechi opuse de tetraedre sau octaedre) din I_h sunt o copie a T_h

Generatorii grupului Coxeter

Grupul de simetrie icosaedrică completă [5,3] () de ordinul 120 are generatorii reprezentați de matricile de reflexie R₀, R₁, R₂ mai jos în relațiile R₀² = R₁² = R₂² = (R₀×R₁)⁵ = (R₁×R₂)³ = (R₀×R₂)² = identitatea. Grupul [5,3]⁺ () de ordinul 60 este generat de oricare două dintre rotațiile S_0,1, S_1,2, S_0,2. O rotație improprie de ordinul 10 este generată de V_0,1,2, produsul tuturor celor 3 reflexii. Aici $\phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ este secțiunea de aur.

[5,3],

	Reflexii			Rotații			Rotații improprii
Nume	R0	R1	R2	S0,1	S1,2	S0,2	V0,1,2
Grup
Ordin	2	2	2	5	3	2	10
Matrice	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,0,0)n	$({\begin{smallmatrix}{\frac {\phi }{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {\phi -1}{2}}\end{smallmatrix}})$n	(0,1,0)n	$(0,-1,\phi )$axis	$(1-\phi ,0,\phi )$axis	$(0,0,1)$axis

Domeniu fundamental

Domeniile fundamentale pentru grupul icosaedric de rotație și grupul icosaedric complet sunt date de:

Grupul icosaedric de rotație I

Grupul icosaedric complet Ih

Fețele triacontaedrului disdiakis sunt domeniul fundamental

În tricontaedrul disdiakis o singură față este un domeniu fundamental; alte poliedre cu aceeași simetrie pot fi obținute prin ajustarea orientării fețelor, de exemplu aplatizarea subseturilor selectate de fețe pentru a combina fiecare subset într-o singură față sau înlocuirea fiecărei fețe cu mai multe fețe sau cu o suprafață curbată.

Poliedre cu simetrie icosaedrică

Poliedre chirale

Clasa	Simboluri	Imagine
Arhimedic	sr{5,3}
Catalan	V3.3.3.3.5

Poliedre cu simetrie completă

Poliedru platonic	Poliedre Kepler–Poinsot		Poliedre arhimedice
{5,3}	{5/2,5}	{5/2,3}	t{5,3}	t{3,5}	r{3,5}	rr{3,5}	tr{3,5}
Poliedru platonic	Poliedre Kepler–Poinsot		Poliedre Catalan
{3,5} =	{5,5/2} =	{3,5/2} =	V3.10.10	V5.6.6	V3.5.3.5	V3.4.5.4	V4.6.10

Bibliografie

• en Klein, F. (1878). „Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen” [On the order-seven transformation of elliptic functions]. Mathematische Annalen. 14 (3): 428–471. doi:10.1007/BF01677143.  Translated in Levy, Silvio, ed. (1999). The Eightfold Way. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66066-2. MR 1722410. 
• en Klein, F. (1879), „Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (On the eleventh order transformation of elliptic functions)”, Mathematische Annalen, 15 (3–4): 533–555, doi:10.1007/BF02086276, collected as pp. 140–165 in Oeuvres, Tome 3 
• en Klein, Felix (1888), Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree, Trübner & Co., ISBN 0-486-49528-0trans. George Gavin Morrice 
• en Tóth, Gábor (2002), Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli 
• en Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), p. 296
• en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), The Symmetries of Things, ISBN: 978-1-56881-220-5
• en Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 [1]
• en Norman Johnson, Geometries and Transformations, (2018) ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups

Vezi și

• Simetrie tetraedrică
• Simetrie octaedrică

Legături externe

• en Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.
• en THE subGROUPS OF W(H3) Arhivat în 30 august 2021, la Wayback Machine. (Subgroups of other Coxeter groups Arhivat în 2 august 2020, la Wayback Machine.) Gotz Pfeiffer