Simetrie icosaedrică

Grupuri punctuale în spațiul tridimensional
Sphere symmetry group cs.png
Simetrie involutivă
Cs, (*)
[ ] = CDel node c2.png
Sphere symmetry group c3v.png
Simetrie ciclică
Cnv, (*nn)
[n] = CDel node c1.pngCDel n.pngCDel node c1.png
Sphere symmetry group d3h.png
Simetrie diedrală
Dnh, (*n22)
[n,2] = CDel node c1.pngCDel n.pngCDel node c1.pngCDel 2.pngCDel node c1.png
Grup poliedric, [n,3], (*n32)
Sphere symmetry group td.png
Simetrie tetraedrică
Td, (*332)
[3,3] = CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
Sphere symmetry group oh.png
Simetrie octaedrică
Oh, (*432)
[4,3] = CDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
Sphere symmetry group ih.png
Simetrie icosaedrică
Ih, (*532)
[5,3] = CDel node c2.pngCDel 5.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c2.png

Simetria icosaedrică este cea a icosaedruui regulat, care are 60 de simetrii de rotație (care conservă orientarea) și 120 de simetrii în total. Acestea includ transformări care combină o reflexie și o rotație. Un dodecaedru are același set de simetrii, deoarece este dualul icosaedrului.

Domeniile fundamentale ale simetriei icosaedrice
Minge de fotbal, un exemplu comun de icosaedru trunchiat sferic, are simetrie icosaedrică completă
Rotațiile și reflexiile formează grupul de simetrie al marelui icosaedru

Grupul de simetrie completă (inclusiv reflexiile) este cunoscut sub numele de grupul Coxeter H3 și este reprezentat prin notația Coxeter [5,3] și diagrama Coxeter CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. Setul de simetrii care conservă orientarea formează un subgrup care este izomorf cu grupul A5 (grupul altern de 5 elemente).

Ca grup punctualModificare

În afară de cele două serii infinite de simetrie prismatică și antiprismatică, simetria icosaedrică de rotație sau simetria icosaedrică chirală a obiectelor chirale și simetria icosaedrică completă sau simetria icosaedrică achirală sunt simetrii de puncte discrete (sau, echivalent, simetrii pe sferă) cu cele mai mari grupuri de simetrie.

Simetria icosaedrică nu este compatibilă cu simetria de translație, așa că nu există grupuri de puncte cristalografice sau grupuri spațiale⁠(d) asociate.

Schoenflies Coxeter Orbifold Structură
abstractă
Ordin
I [5,3]+       532 A5 60
Ih [5,3]       *532 A5×2 120

Prezentările⁠(d) corespunzătoare celor de mai sus sunt:

 
 

Acestea corespund grupurilor icosaedrice (de rotație și complete) fiind grupurile triunghiului⁠(d) (2,3,5).

Prima prezentare a fost făcută de William Rowan Hamilton în 1856, în lucrarea sa despre calculul icosian.[1]

Sunt posibile și alte prezentări, de exemplu ca grup altern (pentru I).

VizualizăriModificare

Schoe.
(Orb.)
Coxeter Elemente Diagrame de oglindiri
Ortogonal Proiecție stereografică
Ih
(*532)
     
     
[5,3]
Drepte de
oglindire:
15  
       
I
(532)
     
 
[5,3]+
Puncte de
girație:
125 
203 
302 
   
 
 
 
 
 

Structura grupuluiModificare

   
Laturile unui compus de cinci octaedre sferic reprezintă cele 15 plane de oglindire ca cercuri mari colorate. Fiecare octaedru poate reprezenta 3 plane de oglindire ortogonale care conțin laturile sale.
   
Simetria piritoedrică este un subgrup cu indice 5 de simetrie icosaedrică, cu 3 linii de reflexie ortogonale verzi și 8 puncte de rotație de ordinul 3 roșii. Există 5 orientări diferite ale simetriei piritoedrice.

Grupul de rotație icosaedric I este de ordinul 60. Grupul I este izomorf cu A5, grupul altern al permutărilor pare a cinci obiecte. Acest izomorfism poate fi realizat prin I care acționează asupra diverșilor compuși, în special compusul de cinci cuburi (care se înscrie în dodecaedru), compusul de cinci octaedre, sau oricare dintre cei doi compuși de cinci tetraedre (care sunt enantiomorfi, și se înscriu în dodecaedru).

Grupul conține 5 versiuni de Th cu 20 de versiuni de D3 (10 axe, 2 pe axă) și 6 versiuni de D5.

Grupul icosaedric complet Ih are ordinul 120. Are I ca subgrup normal⁠(d) de indice⁠(d) 2. Grupul Ih este izomorf la I × Z2 sau A5 × Z2, cu inversiunea față de centru corespunzătoare elementului (identitate, −1), unde Z2 se scrie multiplicativ.

Ih acționează asupra compusului de cinci cuburi și compusului de cinci octaedre, dar −1 acționează ca identitate (deoarece cuburile și octaedrele au simetrie față de centru). Acționează asupra compusului de zece tetraedre: I acționează asupra celor două jumătăți chirale (compușii de cinci tetraedre), iar −1 interschimbă cele două jumătăți. De remarcat că el nu acționează ca S5, iar aceste grupuri nu sunt izomorfe.

Grupul conține 10 versiuni de D3d și 6 versiuni de D5d (simetrii ca ale antiprismelor).

I este izomorf și cu PSL2(5), dar Ih nu este izomorf cu SL2(5).

Izomorfismul lui I cu A5Modificare

Este util să se descrie explicit cum arată izomorfismul dintre I și A5. În tabelul următor permutările Pi și Qi acționează asupra a 5 și respectiv 12 elemente, în timp ce matricile de rotație Mi sunt elementele I. Dacă Pk este produsul permutării Pi cu aplicarea Pj, atunci pentru aceleași valori ale lui i, j și k este adevărat și că Qk este produsul Qi cu aplicarea Qj, și că înmulțirea unui vector cu Mk este același lucru cu înmulțirea acelui vector cu Mi și apoi înmulțirea acelui rezultat cu Mj, adică Mk = Mj × Mi. Deoarece permutările Pi sunt toate cele 60 de permutări pare ale lui 1 2 3 4 5, corespondența unu-la-unu este explicită, deci și izomorfismul.

Grupuri frecvent confundateModificare

Toate grupurile următoare sunt de ordinul 120, dar nu sunt izomorfe:

  • S5, grupul simetric de 5 elemente;
  • Ih, grupul icosaedric complet (subiectul acestui articol, cunoscut și ca H3);
  • 2I, grupul icosaedric binar⁠(d).

Acestea corespund următoarelor secvențe:

 ;
 ;
 .

În cuvinte,

  •   este subgrupul normal al  ;
  •   este factorul lui  , care este produsul direct⁠(d);
  •   este grupul factor al  

De observat că   are o reprezentare tridimensională ireductibilă obiect excepțional⁠(d) (ca grupul icosaedric de rotație), dar   nu are o reprezentare tridimensională ireductibilă, corespunzătoare grupului icosaedric complet nefiind grupul simetric.

De asemenea, acestea pot fi legate de grupuri liniare peste corpuri finite cu cinci elemente, care prezintă subgrupurile și grupurile de acoperire direct; niciunul dintre acestea nu este grupul icosaedric complet:

  •   grupul proiectiv liniar⁠(d) special;
  •   grupul proiectiv liniar general;
  •   grupul liniar special⁠(d).

Clase de conjugareModificare

Cele 120 de simetrii se încadrează în 10 clase de conjugare.

Clase de conjugare
I clase suplimentare ale Ih
  • identitate, de ordinul 1;
  • 12 × rotație de ±72°, de ordinul 5, în jurul celor 6 axe prin centrele fețelor dodecaedrului;
  • 12 × rotație de ±144°, de ordinul 5, în jurul celor 6 axe prin centrele fețelor dodecaedrului;
  • 20 × rotație de ±120°, de ordinul 3, în jurul celor 10 axe prin vârfurile dodecaedrului;
  • 15 × rotație de 180°, de ordinul 2, în jurul celor 15 axe prin mijloacele laturilor dodecaedrului.
  • inversiune față de centru, de ordinul 2
  • 12 × reflexii improprii de ±36°, de ordinul 10, în jurul celor 6 axe prin centrele fețelor dodecaedrului;
  • 12 × reflexii improprii de ±108°, de ordinul 10, în jurul celor 6 axe prin centrele fețelor dodecaedrului;
  • 20 × reflexii improprii de ±60°, de ordinul 6, în jurul celor 10 axe prin vârfurile dodecaedrului;
  • 15 × reflexii, de ordinul 2, față de 15 plane care conțin laturile dodecaedrului.

Subgrupuri ale grupului de simetrie icosaedrică completăModificare

 
Relațiile subgrupului
 
Relațiile subgrupului chiral

Fiecare linie din următorul tabel reprezintă o clasă de subgrupuri conjugate (adică, echivalente geometric). Coloana „Mult.” (multiplicitatea) dă numărul de subgrupuri diferite din clasa de conjugare.
Legenda culorilor: verde = grupurile care sunt generate de reflexii, roșu = grupurile chirale (care conservă orientarea), care conțin doar rotații.

Grupurile sunt descrise geometric în termeni de dodecaedru. Abrevierea „j.î.s.(latură)” înseamnă „jumătate de întoarcere interschimbând această latură cu latura opusă ei” și, similar, pentru „față” și „vârf”.

Schoe. Coxeter Orb. H-M Structură Ciclic Ordin Index Mult. Descriere
Ih [5,3]       *532 532/m A5×Z2 120 1 1 grup complet
D2h [2,2]       *222 mmm D4×D2=D23   8 15 5 menținând fixe două laturi opuse, eventual interschimbându-le
C5v [5]     *55 5m D10   10 12 6 menținând fixă o față
C3v [3]     *33 3m D6=S3   6 20 10 menținând fix un vârf
C2v [2]     *22 2mm D4=D22   4 30 15 menținând fixă o față
Cs [ ]   * 2 or m D2   2 60 15 reflexie interschimbând capetele unei laturi
Th [3+,4]       3*2 m3 A4×Z2   24 5 5 grup piritoedric
D5d [2+,10]       2*5 10m2 D20=Z2×D10   20 6 6 menținând fixe două laturi opuse, eventual interschimbându-le
D3d [2+,6]       2*3 3m D12=Z2×D6   12 10 10 menținând fixe două vârfuri opuse, eventual interschimbându-le
D1d = C2h [2+,2]       2* 2/m D4=Z2×D2   4 30 15 jumătate de rotație în jurul punctului din mijloc, plus inversiune față de centru
S10 [2+,10+]       5 Z10=Z2×Z5   10 12 6 rotație a unei fețe, plus inversiune față de centru
S6 [2+,6+]       3 Z6=Z2×Z3   6 20 10 rotație în jurul unui vârf, plus inversiune față de centru
S2 [2+,2+]       × 1 Z2   2 60 1 inversiune față de centru
I [5,3]+       532 532 A5 60 2 1 toate rotațiile
T [3,3]+       332 332 A4   12 10 5 rotații ale unui tetraedru conținut
D5 [2,5]+       522 522 D10   10 12 6 rotații în jurul centrului unei fețe și j.î.s.(față)
D3 [2,3]+       322 322 D6=S3   6 20 10 rotații în jurul unui vârf, și j.î.s.(vârf)
D2 [2,2]+       222 222 D4=Z22   4 30 15 jumătate de întoarcere în jurul punctului de mijloc al laturii și j.î.s.(latură)
C5 [5]+     55 5 Z5   5 24 6 rotații în jurul centrului unei fețe
C3 [3]+     33 3 Z3=A3   3 40 10 rotații în jurul unui vârf
C2 [2]+     22 2 Z2   2 60 15 jumătate de întoarcere în jurul punctului de mijloc al laturii
C1 [ ]+   11 1 Z1   1 120 1 grup trivial

Stabilizatori de vârfuriModificare

Stabilizatorii unei perechi opuse de vârfuri pot fi interpretați ca stabilizatori ai axei pe care o generează. generate.

  • stabilizatorii de vârfuri din I generează grupuri ciclice C3;
  • stabilizatorii de vârfuri din Ih generează grupuri diedrale D3;
  • stabilizatorii unei perechi de vârfuri opuse din I generează grupuri diedrale D3;
  • stabilizatorii unei perechi de vârfuri opuse din Ih generează  .

Stabilizatori de laturiModificare

Stabilizatorii unei perechi opuse de laturi pot fi interpretați ca stabilizatori ai dreptunghiului pe care îl generează.

  • stabilizatorii de laturi din I generează grupuri ciclice Z2;
  • stabilizatorii de laturi din Ih generează grupuri Klein de patru  ;
  • stabilizatorii unei perechi de laturi din I generează grupuri Klein de patru  ; există 5 dintre acestea, generate prin rotații de 180° în 3 axe perpendiculare;
  • stabilizatorii unei perechi de laturi din Ih generează  ; există 5 dintre acestea, generate prin reflexii în 3 axe perpendiculare.

Stabilizatori de fețeModificare

Stabilizatorii unei perechi opuse de fețe pot fi interpretați ca stabilizatori ai antiprismei pe care o generează.

  • stabilizatorii de fețe din I generează grupuri ciclice C5
  • stabilizatorii de fețe din Ih generează grupuri diedrale D5
  • stabilizatorii unei perechi de fețe opuse din I generează grupuri diedrale D5
  • stabilizatorii unei perechi de fețe opuse din Ih generează  .

Stabilizatori de poliedreModificare

Pentru fiecare dintre acestea există 5 copii conjugate, iar acțiunea de conjugare dă o aplicație care este un izomorfism,  .

  • stabilizatorii tetraedrelor înscrise din I sunt o copie a T
  • stabilizatorii tetraedrelor înscrise din Ih sunt o copie a T
  • stabilizatorii cuburilor înscrise (sau perechi opuse de tetraedre sau octaedre) din I sunt sunt o copie a T
  • stabilizatorii cuburilor înscrise (sau perechi opuse de tetraedre sau octaedre) din Ih sunt o copie a Th

Generatorii grupului CoxeterModificare

Grupul de simetrie icosaedrică completă [5,3] (     ) de ordinul 120 are generatorii reprezentați de matricile de reflexie R0, R1, R2 mai jos în relațiile R02 = R12 = R22 = (R0×R1)5 = (R1×R2)3 = (R0×R2)2 = identitatea. Grupul [5,3]+ (     ) de ordinul 60 este generat de oricare două dintre rotațiile S0,1, S1,2, S0,2. O rotație improprie de ordinul 10 este generată de V0,1,2, produsul tuturor celor 3 reflexii. Aici   este secțiunea de aur.

[5,3],      
Reflexii Rotații Rotații improprii
Nume R0 R1 R2 S0,1 S1,2 S0,2 V0,1,2
Grup                            
Ordin 2 2 2 5 3 2 10
Matrice              
(1,0,0)n  n (0,1,0)n  axis  axis  axis

Domeniu fundamentalModificare

Domeniile fundamentale pentru grupul icosaedric de rotație și grupul icosaedric complet sunt date de:

 
Grupul icosaedric de rotație
I
 
Grupul icosaedric complet
Ih
 
Fețele triacontaedrului disdiakis sunt domeniul fundamental

În tricontaedrul disdiakis o singură față este un domeniu fundamental; alte poliedre cu aceeași simetrie pot fi obținute prin ajustarea orientării fețelor, de exemplu aplatizarea subseturilor selectate de fețe pentru a combina fiecare subset într-o singură față sau înlocuirea fiecărei fețe cu mai multe fețe sau cu o suprafață curbată.

Poliedre cu simetrie icosaedricăModificare

Poliedre chiraleModificare

Clasa Simboluri Imagine
Arhimedic sr{5,3}
     
 
Catalan V3.3.3.3.5
     
 

Poliedre cu simetrie completăModificare

Poliedru platonic Poliedre Kepler–Poinsot Poliedre arhimedice
 
{5,3}
     
 
{5/2,5}
     
 
{5/2,3}
     
 
t{5,3}
     
 
t{3,5}
     
 
r{3,5}
     
 
rr{3,5}
     
 
tr{3,5}
     
Poliedru platonic Poliedre Kepler–Poinsot Poliedre Catalan
 
{3,5}
      =      
 
{5,5/2}
      =      
 
{3,5/2}
      =      
 
V3.10.10
     
 
V5.6.6
     
 
V3.5.3.5
     
 
V3.4.5.4
     
 
V4.6.10
     

NoteModificare

  1. ^ William Rowan Hamilton (), „Memorandum respecting a new System of Roots of Unity” (PDF), Philosophical Magazine, 12: 446 

BibliografieModificare

Vezi șiModificare

Legături externeModificare