Poliedru arhimedic

În geometrie, un poliedru arhimedic este unul dintre cele 13 poliedre enumerate pentru prima dată de Arhimede. Sunt poliedre uniforme convexe formate din poligoane regulate care se întâlnesc în vârfuri identice, cu excepția celor cinci poliedre platonice (care sunt compuse dintr-un singur tip de poligon) și a prismelor și antiprismelor. Ele diferă de poliedrele Johnson, ale căror fețe poligonale regulate nu se întâlnesc în vârfuri identice.

Tetraedru trunchiat, cuboctaedru și icosidodecaedru trunchiat. Primul și ultimul sunt cel mai mic, respectiv cel mai mare poliedru arhimedic.

Rombicuboctaedru și girobicupolă pătrată alungită

„Vârfuri identice” înseamnă că fiecare două vârfuri sunt simetrice între ele: o izometrie globală a întregului poliedru aplicată la două vârfuri conservă aspectul poliedrului din poziția inițială. Branko Grünbaum^[1] a observat că al 14-lea poliedru, girobicupola pătrată alungită (sau pseudorombicuboctaedrul), satisface mai slab definiția unui poliedru arhimedic, „vârfuri identice” însemnând doar că fețele care înconjoară fiecare vârf sunt de același tip (adică fiecare vârf arată la fel de aproape), deci este necesară doar o izometrie locală. Grünbaum a subliniat o eroare frecventă pe care o fac autorii care definesc poliedrele arhimedice folosind această definiție locală, dar omit poliedrul 14. Dacă trebuie enumerate doar 13 poliedre, definiția trebuie să se bazeze pe simetriile globale ale poliedrului în loc să se bazeze pe vecinătățile locale.

Prismele și antiprismele, ale căror grup de simetrie sunt grupul diedral, nu sunt în general considerate a fi poliedre arhimedice, chiar dacă fețele lor sunt poligoane regulate și grupurile lor de simetrie acționează tranzitiv pe vârfurile lor. Excluzând aceste două familii infinite, există 13 poliedre arhimedice. Toate poliedrele arhimedice (dar nu și girobicupola pătrată alungită) pot fi realizate prin construcții Wythoff din poliedrele platonice cu simetrie tetraedrică, octaedrică și icosaedrică.

Originea numelui

Poliedrele arhimedice sunt numite după Arhimede, care le-a discutat într-o lucrare acum pierdută. Pappus din Alexandria, referindu-se la această lucrare, afirmă că Arhimede a enumerat 13 poliedre.^[1] În timpul Renașterii, artiștii și matematicienii au apreciat formele pure cu simetrie ridicată, iar în jurul anului 1620 Johannes Kepler a finalizat redescoperirea celor 13 poliedre,^[2] precum și definirea prismelor, antiprismelor și a poliedrelor neconvexe cunoscute sub numele de poliedrele Kepler–Poinsot. (V. Schreiber, Fischer & Sternath 2008. pentru mai multe informații despre redescoperirea poliedrelor arhimedice în timpul Renașterii.)

Kepler poate că a găsit și girobicupola pătrată alungită (pseudorombicuboctaedrul); cel puțin, el a declarat odată că există 14 poliedre arhimedice. Totuși, enumerarea sa publicată cuprinde doar cele 13 poliedre uniforme, iar prima afirmație clară a existenței pseudorombicuboctaedrului a fost făcută în 1905 de Duncan Sommerville.^[1]

Clasificare

Există 13 poliedre arhimedice (fără a lua în considerare girobicupola pătrată alungită; 15 dacă imaginea în oglindă a două poliedre enantiomorfe, cubul și dodecaedrul snub, sunt numărate separat).

Aici configurația vârfului se referă la tipul de poligoane regulate care se întâlnesc la orice vârf dat. De exemplu, o configurație a vârfului (4,6,8) înseamnă că un pătrat, un hexagon și un octogon se întâlnesc într-un vârf (ordinea fiind în sensul acelor de ceasornic în jurul vârfului).

Nume (nume alternativ)	Schläfli Coxeter Gr. sim.	Transparent	Vârf config. fig.	Fețe		Vârfuri Muchii	Volum (latura = unitatea)	Sfericitate
tetraedru trunchiat	t{3,3} T_d	(Animație)	3.6.6	8	4 triunghiuri 4 hexagoane	12 18	2,710576	0,7754132
cuboctaedru (rombitetratetraedru, girobicupolă triunghiulară)	r{4,3} sau rr{3,3} sau O_h	(Animație)	3.4.3.4	14	8 triunghiuri 6 pătrate	12 24	2,357023	0,9049972
cub trunchiat	t{4,3} O_h	(Animație)	3.8.8	14	8 triunghiuri 6 octogoane	24 36	13,599663	0,8494937
octaedru trunchiat (tetratetraedru trunchiat)	t{3,4} sau tr{3,3} sau O_h	(Animație)	4.6.6	14	6 pătrate 8 hexagoane	24 36	11,313709	0,9099178
rombicuboctaedru (rombicuboctaedru mic, ortobicupolă pătrată alungită)	rr{4,3} O_h	(Animație)	3.4.4.4	26	8 triunghiuri 18 pătrate	24 48	8,714045	0,9540796
cuboctaedru trunchiat (rombicuboctaedru mare)	tr{4,3} O_h	(Animație)	4.6.8	26	12 pătrate 8 hexagoane 6 octogoane	48 72	41,798990	0,9431657
cub snub (cuboctahedru snub)	sr{4,3} O	(Animație)	3.3.3.3.4	38	32 triunghiuri 6 pătrate	24 60	7,889295	0,9651814
icosidodecaedru (girobirotondă pentagonală)	r{5,3} I_h	(Animație)	3.5.3.5	32	20 triunghiuri 12 pentagoane	30 60	13,835526	0,9510243
dodecaedru trunchiat	t{5,3} I_h	(Animație)	3.10.10	32	20 triunghiuri 12 decagoane	60 90	85,039665	0,9260125
icosaedru trunchiat	t{3,5} I_h	(Animație)	5.6.6	32	12 pentagoane 20 hexagoane	60 90	55,287731	0,9666219
rombicosidodecaedru (rombicosidodecaedru mic)	rr{5,3} I_h	(Animație)	3.4.5.4	62	20 triunghiuri 30 pătrate 12 pentagoane	60 120	41,615324	0,9792370
icosidodecaedru trunchiat (rombicosidodecaedru mare)	tr{5,3} I_h	(Animație)	4.6.10	62	30 pătrate 20 hexagoane 12 decagoane	120 180	206,803399	0,9703127
dodecaedru snub (icosidodecaedru snub)	sr{5,3} I	(Animație)	3.3.3.3.5	92	80 triunghiuri 12 pentagoane	60 150	37,616650	0,9820114

Unele definiții ale poliedrului semiregulat includ încă o figură, girobicupola pătrată alungită sau pseudorombicuboctaedrul.^[3]

Proprietăți

Numărul vârfurilor este de 720° împărțit la deficitul unghiular al vârfului.

Cuboctaedrul și icosidodecaedrul sunt uniforme după muchii și se numesc cvasiregulate.

Dualii poliedrelor arhimedice se sunt poliedrele Catalan. Împreună cu bipiramidele și trapezoedrele, acestea sunt poliedrele uniforme după fețe, cu vârfuri regulate.

Chiralitate

Cubul snub și dodecaedrul snub sunt chirali, deoarece pot avea o formă levomorfă („pe stânga”) și una dextromorfă („pe dreapta”). Când ceva se prezintă în mai multe forme tridimensionale care una este imaginea în oglindă a celeilalte, aceste forme pot fi numite enantiomorfe. (Această nomenclatură este utilizată și pentru formele anumitor compuși chimici.)

Construcția poliedrelor arhimedice

Poliedrele arhimedice pot fi construite ca poliedre uniforme

Diferitele poliedre arhimedice și platonice pot fi legate între ele folosind o metodă de construcție generală. Se începe cu un poliedru platonic și se taie colțurile prin trunchiere. Pentru a păstra simetria, tăietura trebuie să fie într-un plan perpendicular pe dreapta care unește un vârf cu centrul poliedrului și este la fel pentru toate colțurile. În funcție de cât este trunchiat (vezi tabelul de mai jos), se pot crea diferite poliedre platonice și arhimedice (și altele). Dacă trunchierea este exact atât de adâncă încât fiecare pereche de fețe de la vârfurile adiacente se ating într-un singur punct, operația numește rectificare. O expandare sau cantelare, implică îndepărtarea fiecărei fețe de centru (cu aceeași distanță astfel încât să se conserve simetria poliedrului platonic) și apoi trasarea anvelopei convexe. Expandarea cu răsucire implică și rotirea fețelor, divizând fiecare dreptunghi corespunzător unei fețe în două triunghiuri după una din diagonalele sale. Ultima construcție folosită aici este trunchierea atât a colțurilor, cât și a muchiilor. Ignorând scalarea, expandarea poate fi considerată și drept rectificarea rectificării. La fel, cantitrunchierea poate fi considerată drept trunchierea rectificării.

Construcția poliedrelor arhimedice
Simetrie		tetraedrică	octaedrică		icosaedrică
Poliedrul de pornire Operație	Simbol {p,q}	tetraedru {3,3}	cub {4,3}	octaedru {3,4}	dodecaedru {5,3}	icosaedru {3,5}
trunchiere (t)	t{p,q}	tetraedru trunchiat	cub trunchiat	octaedru trunchiat	dodecaedru trunchiat	icosaedru trunchiat
rectificare (r) Ambo (a)	r{p,q}	tetratetraedru (octaedru)	cuboctaedru		icosidodecaedru
Bitrunchiere (2t) Dual kis (dk)	2t{p,q}	tetraedru trunchiat	octaedru trunchiat	cub trunchiat	icosahedru trunchiat	dodecaedru trunchiat
Birectificare (2r) Dual (d)	2r{p,q}	tetraedru	octaedru	cub	icosaedru	dodecaedru
Cantelare (rr) Expandare (e)	rr{p,q}	rombitetratetraedru (cuboctaedru)	rombicuboctaedru		rombicosidodecaedru
Snub rectificat (sr) Snub (s)	sr{p,q}	tetratetraedru snub (icosaedru)	cuboctaedru snub		icosidodecaedru snub
Cantitrunchiere (tr) Bont (b)	tr{p,q}	tetratetraedru trunchiat (octaedru trunchiat)	cuboctaedru trunchiat		icosidodecaedru trunchiat

A se observa dualitatea dintre cub și octaedru și între dodecaedru și icosaedru. Pentru că tetraedrul este autodual, apare un singur poliedru arhimedic, care are cel mult simetrie tetraedrică. (Toate poliedrele platonice au cel puțin simetrie tetraedrică, deoarece simetria tetraedrică este inclusă în simetriile octaedrică și icosaedrică, lucru demonstrat de faptul că un octaedru poate fi considerat ca fiind tetraedru rectificat, iar un icosaedru poate fi considerat ca fiind un tetraedru snub.)

Note

^ ^a ^b ^c Grünbaum (2009)
^ en Field J., Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler, Archive for History of Exact Sciences, 50, 1997, 227
^ Malkevitch (1988), p. 85

Bibliografie

en Grünbaum, Branko (2009), „An enduring error”, Elemente der Mathematik, 64 (3): 89–101, doi:10.4171/EM/120  , MR 2520469 . Reprinted in Pitici, Mircea, ed. (2011), The Best Writing on Mathematics 2010, Princeton University Press, pp. 18–31
en Jayatilake, Udaya (martie 2005). „Calculations on face and vertex regular polyhedra”. Mathematical Gazette. 89 (514): 76–81.
en Malkevitch, Joseph (1988), „Milestones in the history of polyhedra”, În Senechal, Marjorie; Fleck, G., Shaping Space: A Polyhedral Approach, Boston: Birkhäuser, pp. 80–92
en Pugh, Anthony (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Chapter 2
en Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3–9)
en Schreiber, Peter; Fischer, Gisela; Sternath, Maria Luise (2008). „New light on the rediscovery of the Archimedean solids during the renaissance”. Archive for History of Exact Sciences. 62 (4): 457–467. doi:10.1007/s00407-008-0024-z. ISSN 0003-9519.