Diagramă Coxeter–Dynkin

În geometrie, o diagramă Coxeter–Dynkin (sau diagramă Coxeter, graf Coxeter) este un graf cu muchii marcate cu numere (numite ramuri) reprezentând relațiile spațiale dintre o colecție de oglinzi (sau hiperplane de reflexie). Descrie o construcție caleidoscopică: fiecare nod al grafului reprezintă o oglindă (fațetă a domeniului) și eticheta atașată unei ramuri codifică ordinul unghiului diedru între două oglinzi (pe o față a domeniului), care este raportul dintre 180° și unghiul dintre planele oglinzilor. O ramură neetichetată reprezintă implicit ordinul 3 (60°).

Fiecare diagramă reprezintă un grup Coxeter, iar grupurile Coxeter sunt clasificate după diagramele lor asociate.

Diagramele Dynkin sunt obiecte strâns legate, care diferă de diagramele Coxeter în două privințe: în primul rând, ramurile etichetate cu "4" sau mai mult sunt orientate, în timp ce diagramele Coxeter sunt neorientate; în al doilea rând, diagramele Dynkin trebuie să satisfacă o restricție suplimentară (cristalografică), și anume că singurele etichete permise ale ramurilor sunt 2, 3, 4 și 6. Diagramele Dynkin corespund și sunt utilizate pentru a clasifica sistemele de rădăcini și, prin urmare, algebra Lie semisimplă.^[1]

Descriere Modificare

Ramurile unei diagrame Coxeter–Dynkin sunt etichetate cu un număr rațional p, reprezentând un unghi diedru de 180°/p. $p = 2$ unghiul este de 90° și oglinzile nu au nicio interacțiune, astfel încât ramura poate fi omisă din diagramă. Dacă o ramură este nemarcată, se presupune că are $p = 3$ , reprezentând un unghi de 60°. Două oglinzi paralele au o ramură marcată cu "∞". În principiu, n oglinzi pot fi reprezentate printr-un graf complet în care sunt trasate toate cele n( $n - 1) / 2$ ramuri. În practică, aproape toate configurațiile interesante ale oglinzilor includ un număr de unghiuri drepte, astfel încât ramurile corespunzătoare sunt omise.

Diagramele pot fi etichetate după structura grafului lor. Primele forme studiate de Ludwig Schläfli sunt ortoscheme care au grafuri liniare care generează politopuri regulate și faguri regulați. Plagioschemele sunt simplexuri reprezentate prin grafuri ramificate, iar cicloschemele sunt simplexuri reprezentate prin grafuri ciclice.

Matricea Schläfli Modificare

Orice diagramă Coxeter are o matrice Schläfli corespunzătoare (așa numită după Ludwig Schläfli), cu elementele $a i,j = a j,i = -2cos (π / p)$ unde p este ordinul ramurilor dintre perechile de oglinzi. Ca matrice de cosinusuri, este numită și matrice Gramian după Jørgen Pedersen Gram. Toate matricile Schläfli ale grupurilor Coxeter sunt simetrice deoarece vectorii lor rădăcină sunt normalizați. Este legată îndeaproape de matricea Cartan, utilizată în graful similar dar orientat, diagrama Dynkin în cazurile cu p = 2, 3, 4 și 6, care NU sunt simetrice în general.

Determinantul matricei Schläfli, numit Schläflian, și semnul său determină dacă grupul este finit (pozitiv), afin (zero) sau nedefinit (negativ). Această regulă se numește Criteriul lui Schläfli.^[2]

Valorile proprii ale matricei Schläfli determină dacă un grup Coxeter este de tip finit (toate pozitive), de tip afin (toate nenegative, cel puțin una fiind zero) sau de tip nedefinit (altfel). Tipul nedefinit este uneori subdivizat, de ex. în grupuri Coxeter hiperbolice și alte grupuri Coxeter. Cu toate acestea, există mai multe definiții neechivalente pentru grupurile Coxeter hiperbolice. În articol se folosește următoarea definiție: Un grup Coxeter cu diagramă conectată este hiperbolic dacă nu este nici de tip finit, nici afin, dar fiecare subdiagramă conectată adecvat este de tip finit sau afin. Un grup Coxeter hiperbolic este compact dacă toate subgrupurile sunt finite (adică au determinanți pozitivi) și paracompact dacă toate subgrupurile sale sunt finite sau afine (adică au determinanți negativi).

Grupurile finite și afine sunt numite și eliptice, respectiv parabolice. Grupurile hiperbolice se mai numesc și Lannér, după F. Lannér care a enumerat grupurile hiperbolice compacte în 1950,^[3] și Koszul (sau cvasi-Lannér) pentru grupurile paracompacte.

Grupuri Coxeter de ordinul 2 Modificare

La ordinul 2, tipul unui grup Coxeter este complet determinat de determinantul matricei Schläfli, deoarece este pur și simplu produsul valorilor proprii: tip finit (determinant pozitiv), tip afin (determinant zero) sau hiperbolic (determinant negativ). Coxeter folosește o notație cu paranteze echivalentă care afișează o secvență cu ordinea ramurilor ca înlocuitor pentru diagramele grafice nod-ramură. Există și soluții raționale [p/q], , cu cmmdc(p, q) = 1, care definesc domenii fundamentale suprapuse. De exemplu, 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4. și 6/5.

Tip	Finit					Afin	Hiperbolic
Geometrie					...
Coxeter	[ ]	[2]	[3]	[4]	[p]	[∞]	[∞]	[iπ/λ]
Ordin	2	4	6	8	2p	∞
Liniile de reflexie sunt colorate pentru a corespunde nodurilor diagramei Coxeter. Domeniile fundamentale sunt colorate alternativ.

Grupuri Coxeter de ordinul 2
Ordin p	Grup	diagramă Coxeter		matrice Schläfli
Ordin p	Grup	diagramă Coxeter		$\left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]$	Determinant (4-a₂₁*a₁₂)
Finite (determinant > 0)
2	I₂(2) = A₁xA₁		[2]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]$	4
3	I₂(3) = A₂		[3]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	3
3/2			[3/2]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}}\right]$	3
4	I₂(4) = B₂		[4]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	2
4/3			[4/3]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	2
5	I₂(5) = H₂		[5]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-\phi \\-\phi &2\end{smallmatrix}}\right]$	$(5-{\sqrt {5}})/2$ ~1.38196601125
5/4			[5/4]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&\phi \\\phi &2\end{smallmatrix}}\right]$	$(5-{\sqrt {5}})/2$ ~1.38196601125
5/2			[5/2]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&1-\phi \\1-\phi &2\end{smallmatrix}}\right]$	$(5+{\sqrt {5}})/2$ ~3.61803398875
5/3			[5/3]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&\phi -1\\\phi -1&2\end{smallmatrix}}\right]$	$(5+{\sqrt {5}})/2$ ~3.61803398875
6	I₂(6) = G₂		[6]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	1
6/5			[6/5]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&{\sqrt {3}}\\{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	1
8	I₂(8)		[8]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\\-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	$2-{\sqrt {2}}$ ~0.58578643763
10	I₂(10)		[10]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {(5+{\sqrt {5}})/2}}\\-{\sqrt {(5+{\sqrt {5}})/2}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	$(3-{\sqrt {5}})/2$ ~0.38196601125
12	I₂(12)		[12]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\\-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	$2-{\sqrt {3}}$ ~0.26794919243
p	I₂(p)		[p]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi /p)\\-2\cos(\pi /p)&2\end{smallmatrix}}\right]$	$4\sin ^{2}(\pi /p)$
Afin (determinant = 0)
∞	I₂(∞) = ${\tilde {I}}_{1}$ = ${\tilde {A}}_{1}$		[∞]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]$	0
Hiperbolice (determinant ≤ 0)
∞			[∞]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]$	0
∞			[iπ/λ]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2cosh(2\lambda )\\-2cosh(2\lambda )&2\end{smallmatrix}}\right]$	$-4\sinh ^{2}(2\lambda )\leq 0$

Vizualizări geometrice Modificare

Diagrama Coxeter–Dynkin poate fi văzută ca o descriere grafică a domeniului fundamental al oglinzilor. O oglindă reprezintă un hiperplan într-un spațiu dimensional sferic sau euclidian sau hiperbolic dat. (În spațiile 2D, o oglindă este o dreaptă, iar în 3D o oglindă este un plan).

Aceste vizualizări arată domeniile fundamentale pentru grupurile euclidiene 2D și 3D, și grupurile sferice 2D. Pentru fiecare diagrama Coxeter poate fi dedusă prin identificarea hiperplanelor oglindă și etichetarea conectivității acestora, ignorând unghiurile diedrice de 90° (ordinul 2).

Grupuri Coxeter în planul euclidian cu diagrame echivalente. Reflexiile sunt etichetate ca noduri ale grafurilor: R1, R2 etc. și sunt colorate după ordinea lor de reflexie. Reflexiile la 90° sunt inactive, prin urmare sunt eliminate din diagramă. Oglinzile paralele sunt conectate printr-o ramură etichetată ∞. Grupul prismatic ${\tilde {I}}_{1}$ x ${\tilde {I}}_{1}$ este afișat ca o dublare a ${\tilde {C}}_{2}$ , dar pot fi create și ca domenii dreptunghiulare de la dublarea triunghiurilor ${\tilde {G}}_{2}$ . ${\tilde {A}}_{2}$ este o dublare a triunghiului ${\tilde {G}}_{2}$ .
Multe grupuri Coxeter din planul hiperbolic pot fi obținute din cazurile euclidiene ca o serie de soluții hiperbolice.
Grupuri Coxeter în spațiul tridimensional cu diagrame. Oglinzile (fețele triunghiului) sunt etichetate de vârful opus 0..3. Ramurile sunt colorate după ordinea lor de reflexie. ${\tilde {C}}_{3}$ umple 1/48 din cub. ${\tilde {B}}_{3}$ umple 1/24 din cub. ${\tilde {A}}_{3}$ umple 1/12 din cub.	Grupuri Coxeter în sferă cu diagrame echivalente. Un domeniu fundamental este conturat în galben. Vârfurile domeniului (și ramurile grafurilor) sunt colorate după ordinea lor de reflexie.

Grupuri Coxeter finite Modificare

Trei simboluri diferite sunt date pentru aceleași grupuri — ca literă/număr, ca set de numere între paranteze și ca diagramă Coxeter.
Grupurile bifurcate D_n sunt versiunea înjumătățită sau alternată a grupurilor regulate C_n.
Grupurile bifurcate D_n și E_n sunt, de asemenea, etichetate cu o notație cu exponenți [3^a,b,c] undea,b,csunt numărul de segmente din fiecare din cele trei ramuri.

Diagramele Coxeter–Dynkin finite conectate (de ordinul 1 la 9)
Ordin	Grupuri Lie simple			Grupuri Lie excepționale
Ordin	${A}_{1+}$	${B}_{2+}$	${D}_{2+}$	${E}_{3-8}$	${F}_{3-4}$	${G}_{2}$	${H}_{2-4}$	${I}_{2}(p)$
1	A₁=[ ]
2	A₂=[3]	B₂=[4]	D₂=A₁A₁			G₂=[6]	H₂=[5]	I₂[p]
3	A₃=[3²]	B₃=[3,4]	D₃=A₃	E₃=A₂A₁	F₃=B₃		H₃
4	A₄=[3³]	B₄=[3²,4]	D₄=[3^1,1,1]	E₄=A₄	F₄		H₄
5	A₅=[3⁴]	B₅=[3³,4]	D₅=[3^2,1,1]	E₅=D₅
6	A₆=[3⁵]	B₆=[3⁴,4]	D₆=[3^3,1,1]	E₆=[3^2,2,1]
7	A₇=[3⁶]	B₇=[3⁵,4]	D₇=[3^4,1,1]	E₇=[3^3,2,1]
8	A₈=[3⁷]	B₈=[3⁶,4]	D₈=[3^5,1,1]	E₈=[3^4,2,1]
9	A₉=[3⁸]	B₉=[3⁷,4]	D₉=[3^6,1,1]
10+	...	...	...	...

Aplicarea la politopuri uniforme Modificare

La construcția politopurilor uniforme, nodurile sunt marcate ca active de un inel dacă punctul generator se află în afara oglinzii, creând o nouă latură între punctul generator și imaginea sa oglindă. Un nod fără inel reprezintă o oglindă inactivă care nu generează puncte noi. Un inel fără nod se numește gaură.	Două oglinzi ortogonale pot fi utilizate pentru a genera un pătrat, , marcat aici cu un punct roșu generator și 3 copii virtuale în oglinzi. Generatorul trebuie să fie dezactivat de ambele oglinzi în acest caz ortogonal pentru a genera un interior. Marcarea inelului presupune că inelele active au generatoare la distanță egală de toate oglinzile, în timp ce un dreptunghi poate reprezenta și o soluție neuniformă.

Diagramele Coxeter–Dynkin pot descrie în mod explicit aproape toate clasele de politopuri uniforme și teselări uniforme. Fiecare politop uniform cu simetrie de reflexie pură (toate, cu excepția câtorva cazuri particulare, au simetrie de reflexie pură) poate fi reprezentat printr-o diagramă Coxeter–Dynkin cu permutări ale notațiilor. Fiecare politop uniform poate fi generat folosind astfel de oglinzi și un singur punct generator: imaginile în oglindă creează puncte noi ca reflexii, apoi laturile politopului pot fi definite între puncte și punctele imagini în oglindă. Fețele sunt generate de reflectarea repetată a unei laturi care eventual se înfășoară în jurul punctului generator inițial; forma finală, precum și orice fațete din dimensiunile superioare, sunt create în mod similar prin reflectarea feței pentru a închide o zonă.

Pentru a specifica vârful generator, unul sau mai multe noduri sunt marcate cu inele, ceea ce înseamnă că vârful nu este pe oglinzile reprezentate de nodul/nodurile inelate. (Dacă sunt marcate două sau mai multe oglinzi, vârful este echidistant de ele.) O oglindă este activă (creează reflexii) numai pentru punctele care nu se află pe ea. O diagramă are nevoie de cel puțin un nod activ pentru a reprezenta un politop. O diagramă neconectată (subgrupuri separate prin ramuri de ordinul 2 sau oglinzi ortogonale) necesită cel puțin un nod activ în fiecare subgraf.

Toate politopurile regulate, reprezentate prin simbolul Schläfli $\left\{p,q,r,...\right\}\,$ , pot avea domeniile lor fundamentale reprezentate de un set de n oglinzi cu o diagramă Coxeter–Dynkin aferentă a unei linii de noduri și ramuri etichetate cu $p,q,r,...\,$ cu primul nod inelat.

Politopurile uniforme cu un inel corespund punctelor generatoare în colțurile simplexului domeniului fundamental. Două inele corespund laturilor simplexului și au un grad de libertate, cu doar punctul de mijloc ca soluție uniformă pentru lungimi ale laturilor egale. În general k-punctele generatoare inelate sunt pe (k–1)-fețele simplexului, iar dacă toate nodurile sunt inelate, punctul generator se află în interiorul simplexului.

Cazul particular al politopurilor uniforme cu simetrie nereflexivă este reprezentat de un marcaj secundar în care punctul central al unui nod inelat este eliminat (numit gaură). Aceste forme sunt alternări ale politopurilor cu simetrie de reflexie, ceea ce înseamnă că nodurile alternate sunt șterse. Politopul rezultat va avea o subsimetrie a grupului Coxeter inițial. O alternare trunchiată se numește snub.

Există 7 construcții uniforme reflexive pe baza unui triunghi general, bazate pe 7 poziții generatoare topologice în domeniul fundamental. Fiecare oglindă activă generează o latură, cu două oglinzi active există generatoare pe laturile domeniului și cu trei oglinzi active generatorul este în interior. Unul sau două grade de libertate pot fi tratate astfel încât poziția rezultată să genereze laturi egale ale poliedrului sau ale plăcilor rezultate.

Exemple: 7 generatoare pe simetrie octaedrică, cu domeniul fundamental triunghiul (4 3 2), cu a 8-a generare snub ca alternare.

Un singur nod reprezintă o singură oglindă. Aceasta se numește grupul A₁. Dacă este inelat, el creează un segment de dreaptă perpendicular pe oglindă, reprezentat ca {}.
Două noduri neconectate reprezintă două oglinzi perpendiculare. Dacă ambele noduri sunt inelate, se poate crea un dreptunghi sau, dacă punctul este la distanță egală de ambele oglinzi, un pătrat.
Două noduri conectate printr-o ramură de ordinul n poate crea un n-gon dacă punctul este pe o singură oglindă și un 2n-gon dacă punctul este în afara ambelor oglinzi. Aceasta formează grupul I₁(n).
Două oglinzi paralele pot reprezenta un grup poligonal infinit I₁(∞), numit și Ĩ₁.
Trei oglinzi dispuse într-un triunghi formează imagini ca acelea văzute într-un caleidoscop tradițional și pot fi reprezentate prin trei noduri conectate într-un triunghi. Exemplele repetate vor avea ramuri etichetate ca (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), deși ultimele două pot fi trasate ca o linie (cu ramurile 2 ignorate). Acestea vor genera pavări uniforme.
Trei oglinzi pot genera poliedre uniforme (cu simetrie octaedrică Oh); numerele raționale oferă mulțimea triunghiurilor Schwarz.
Trei oglinzi cu una perpendiculară pe celelalte două pot forma prisme uniforme.

Dualele politopurilor uniforme sunt uneori marcate cu o bară perpendiculară care înlocuiește nodurile inelate și o gaură barată pentru găurile nodurilor snub. De exemplu, reprezintă un dreptunghi (prin două oglinzi ortogonale active), iar reprezintă poligonul său dual, rombul.

Exemple de poliedre și pavări Modificare

De exemplu, grupul Coxeter B₃ are diagrama: . Aceasta este numită și simetrie octaedrică.

Există 7 poliedre uniforme convexe care pot fi construite din acest grup de simetrie și 3 din subsimetriile sale alternate, fiecare cu o diagramă Coxeter–Dynkin marcată în mod unic. Simbolul Wythoff reprezintă un caz special al diagramei Coxeter pentru grafurile de ordinul 3, cu toate cele 3 ordine ale ramurilor denumite, în loc de suprimarea ramurilor de ordinul 2. Simbolul Wythoff este capabil să gestioneze forma snub, dar nu alternări generale fără toate nodurile inelate.

Poliedre octaedrice uniforme v • d • m
Simetrie: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3^1,1}	t{3,4} t{3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr{4,3} s₂{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h₂{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3^1,1}

		=	=	=				= sau	= sau	=

Dualele celor de mai sus
V4³	V3.8²	V(3.4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Aceleași construcții pot fi făcute pe grupuri Coxeter disjuncte (ortogonale), cum ar fi prismele uniforme, și pot fi văzute mai clar ca pavări sferice ale diedrelor și hosoedrelor, ca familia [6]×[] sau [6.2]:

Poliedre sferice diedrice hexagonale uniforme v • d • m
Simetrie: [6,2], (*622)							[6,2]⁺, (622)	[6,2⁺], (2*3)


{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{6,2}	tr{6,2}	sr{6,2}	s{2,6}
Dualele celor de mai sus

V6²	V12²	V6²	V4.4.6	V2⁶	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Prin comparație, familia [6,3], produce un set paralel de 7 pavări uniforme ale planului euclidian și pavările lor duale. Există din nou 3 alternări și unele versiuni cu simetria la jumătate.

Pavări hexagonale/triunghiulare uniforme v • d • m
Simetrie: [6,3], (*632)							[6,3]⁺ (632)	[6,3⁺] (3*3)
{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}	s{3,6}


6³	3.12²	(3.6)²	6.6.6	3⁶	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6	3.3.3.3.3.3
Dualele celor de mai sus

V6³	V3.12²	V(3.6)²	V6³	V3⁶	V3.4.6.4	V.4.6.12	V3⁴.6	V3⁶

În planul hiperbolic [7,3], familia produce un set paralel de pavări uniforme și pavările lor duale. Există doar o singură alternare snub deoarece toate ordinele ramurilor sunt impare. Există multe alte familii de pavări uniforme în planul hiperbolic.

Pavări heptagonale/triunghiulare uniforme v • d • m
Simetrie: [7,3], (*732)							[7,3]⁺, (732)


{7,3}	t{7,3}	r{7,3}	t{3,7}	{3,7}	rr{7,3}	tr{7,3}	sr{7,3}
Dualele celor de mai sus


V7³	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V3⁷	V3.4.7.4	V4.6.14	V3.3.3.3.7

Grupuri Coxeter afine Modificare

Familii de teselări euclidiene uniforme convexe sunt definite de grupurile Coxeter afine. Aceste grupuri sunt identice cu grupurile finite, cu adăugarea unui nod. În notațiile literale li se dă aceeași literă cu o „~” deasupra literei. Indicele se referă la grupul finit, deci ordinul este indicele plus 1. (Simbolurile Ernst Witt pentru grupurile afine sunt menționate în lista următoare în paranteze.)

${\tilde {A}}_{n-1}$ : diagramele de acest tip sunt cicluri. (P_n)
${\tilde {C}}_{n-1}$ este asociat cu familia teselărilor regulate hipercubice $\left\{p,q,r,...\right\}\,$ . (R_n)
${\tilde {B}}_{n-1}$ este legat de C, fără una dintre oglinzi. (S_n)
${\tilde {D}}_{n-1}$ este legat de C, fără două dintre oglinzi. (Q_n)
${\tilde {E}}_{6}$ , ${\tilde {E}}_{7}$ , ${\tilde {E}}_{8}$ . (T₇, T₈, T₉)
${\tilde {F}}_{4}$ formează teselarea regulată {3,4,3,3}. (U₅)
${\tilde {G}}_{2}$ formează domeniile fundamentale triunghiulare 30-60-90. (V₃)
${\tilde {I}}_{1}$ = ${\tilde {A}}_{1}$ = ${\tilde {C}}_{1}$ sunt două oglinzi paralele. (W₂)

De asemenea, grupurile compuse pot fi definite ca proiecții ortogonale. Cea mai obișnuită utilizare ${\tilde {A}}_{1}$ , ca și ${\tilde {A}}_{1}^{2}$ , reprezintă domenii pătrate sau dreptunghiulare în formă de tablă de șah în planul euclidian. Iar ${\tilde {A}}_{1}{\tilde {G}}_{2}$ reprezintă domeniile fundamentale al prismei triunghiulare în spațiul euclidian tridimensional.

Grafuri Coxeter afine pentru 2–10 noduri
Ordin	${\tilde {A}}_{1+}$ (P₂₊)	${\tilde {B}}_{3+}$ (S₄₊)	${\tilde {C}}_{1+}$ (R₂₊)	${\tilde {D}}_{4+}$ (Q₅₊)	${\tilde {E}}_{n}$ (T_n+1) / ${\tilde {F}}_{4}$ (U₅) / ${\tilde {G}}_{2}$ (V₃)
2	${\tilde {A}}_{1}$ =[∞]		${\tilde {C}}_{1}$ =[∞]
3	${\tilde {A}}_{2}$ =[3^[3]] *		${\tilde {C}}_{2}$ =[4,4] *		${\tilde {G}}_{2}$ =[6,3] *
4	${\tilde {A}}_{3}$ =[3^[4]] *	${\tilde {B}}_{3}$ =[4,3^1,1] *	${\tilde {C}}_{3}$ =[4,3,4] *	${\tilde {D}}_{3}$ =[3^1,1,3⁻¹,3^1,1] = ${\tilde {A}}_{3}$
5	${\tilde {A}}_{4}$ =[3^[5]] *	${\tilde {B}}_{4}$ =[4,3,3^1,1] *	${\tilde {C}}_{4}$ =[4,3²,4] *	${\tilde {D}}_{4}$ =[3^1,1,1,1] *	${\tilde {F}}_{4}$ =[3,4,3,3] *
6	${\tilde {A}}_{5}$ =[3^[6]] *	${\tilde {B}}_{5}$ =[4,3²,3^1,1] *	${\tilde {C}}_{5}$ =[4,3³,4] *	${\tilde {D}}_{5}$ =[3^1,1,3,3^1,1] *
7	${\tilde {A}}_{6}$ =[3^[7]] *	${\tilde {B}}_{6}$ =[4,3³,3^1,1]	${\tilde {C}}_{6}$ =[4,3⁴,4]	${\tilde {D}}_{6}$ =[3^1,1,3²,3^1,1]	${\tilde {E}}_{6}$ =[3^2,2,2]
8	${\tilde {A}}_{7}$ =[3^[8]] *	${\tilde {B}}_{7}$ =[4,3⁴,3^1,1] *	${\tilde {C}}_{7}$ =[4,3⁵,4]	${\tilde {D}}_{7}$ =[3^1,1,3³,3^1,1] *	${\tilde {E}}_{7}$ =[3^3,3,1] *
9	${\tilde {A}}_{8}$ =[3^[9]] *	${\tilde {B}}_{8}$ =[4,3⁵,3^1,1]	${\tilde {C}}_{8}$ =[4,3⁶,4]	${\tilde {D}}_{8}$ =[3^1,1,3⁴,3^1,1]	${\tilde {E}}_{8}$ =[3^5,2,1] *
10	${\tilde {A}}_{9}$ =[3^[10]] *	${\tilde {B}}_{9}$ =[4,3⁶,3^1,1]	${\tilde {C}}_{9}$ =[4,3⁷,4]	${\tilde {D}}_{9}$ =[3^1,1,3⁵,3^1,1]
11	...	...	...	...

Grupuri Coxeter hiperbolice Modificare

Există multe grupuri Coxeter hiperbolice infinite. Grupurile hiperbolice sunt clasificate ca fiind compacte sau nu, grupurile compacte având domenii fundamentale delimitate. Grupurile hiperbolice compacte de simplexuri (simplexuri Lannér) există de ordinele 3 – 5. Grupurile paracompacte de simplexuri (simplexuri Koszul) există până la ordinul 10. Grupurile hipercompacte (politopurile Vinberg) au fost explorate, dar nu sunt explorate complet. În 2006, Allcock a demonstrat că există infinit de multe politopuri Vinberg compacte pentru dimensiuni până la 6 și infinit de multe politopuri Vinberg cu volum finit pentru dimensiuni până la 19,^[4] astfel că o enumerare completă nu este posibilă. Toate aceste domenii reflexive fundamentale, atât simpliciale cât și nesimpliciale, sunt adesea numite politopuri Coxeter sau uneori mai puțin precis poliedre Coxeter.

Grupuri hiperbolice în H² Modificare

Modelul discului Poincaré, domeniul fundamental triunghiuri
Exemple cu triunghiuri dreptunghice [p,q]
[3,7]	[3,8]	[3,9]	[3,∞]
[4,5]	[4,6]	[4,7]	[4,8]	[∞,4]
[5,5]	[5,6]	[5,7]	[6,6]	[∞,∞]
Exemple cu triunghiuri oarecare [(p,q,r)]
[(3,3,4)]	[(3,3,5)]	[(3,3,6)]	[(3,3,7)]	[(3,3,∞)]
[(3,4,4)]	[(3,6,6)]	[(3,∞,∞)]	[(6,6,6)]	[(∞,∞,∞)]

Grupul triunghiular hiperbolic bidimensional există ca diagrame Coxeter de ordinul 3, definite prin triunghiul (p q r) pentru:

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1

.

Există infinit de multe grupuri Coxeter hiperbolice compacte triunghiulare, care conțin grafuri liniare și triunghiulare. Grafurile liniare există pentru triunghiurile dreptunghice (cu r=2).^[5]

Grupuri Coxeter hiperbolice compacte

Liniar

Ciclic

∞ [p,q],

:
2(p+q)<pq

...

...

...

∞ [(p,q,r)],

: p+q+r>9

			...

Grupurile Coxeter paracompacte de ordinul 3
există ca limită a celor compacte.

Grafuri liniare	Grafuri ciclice
[p,∞] [∞,∞]	[(p,q,∞)] [(p,∞,∞)] [(∞,∞,∞)]

Grupul triunghiular aritmetic Modificare

Grupurile triunghiulare hiperbolice care sunt și grupuri aritmetice formează o submulțime finit. Lista completă a fost făcută cu ajutorul calculatorului de Kisao Takeuchi în lucrarea sa din 1977 Arithmetic triangle groups (română Grupuri triunghiulare aritmetice).^[6] Există 85 în total, 76 compacte și 9 paracompacte.

Triunghiuri dreptunghice (p q 2)	Triunghiuri oarecare (p q r)
Grupuri compacte: (76) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Triunghiuri dreptunghice paracompacte: (4) , , ,	Triunghiuri oarecare: (39) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Triunghiuri oarecare paracompacte: (5) , , , ,
(2 3 7), (2 3 8), (2 3 9), (2 3 10), (2 3 11), (2 3 12), (2 3 14), (2 3 16), (2 3 18), (2 3 24), (2 3 30) (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7), (2 4 8), (2 4 10), (2 4 12), (2 4 18), (2 5 5), (2 5 6), (2 5 8), (2 5 10), (2 5 20), (2 5 30) (2 6 6), (2 6 8), (2 6 12) (2 7 7), (2 7 14), (2 8 8), (2 8 16), (2 9 18) (2 10 10) (2 12 12) (2 12 24), (2 15 30), (2 18 18) (2 3 ∞) (2,4 ∞) (2,6 ∞) (2 ∞ ∞)	(3 3 4), (3 3 5), (3 3 6), (3 3 7), (3 3 8), (3 3 9), (3 3 12), (3 3 15) (3 4 4), (3 4 6), (3 4 12), (3 5 5), (3 6 6), (3 6 18), (3 8 8), (3 8 24), (3 10 30), (3 12 12) (4 4 4), (4 4 5), (4 4 6), (4 4 9), (4 5 5), (4 6 6), (4 8 8), (4 16 16) (5 5 5), (5 5 10), (5 5 15), (5 10 10) (6 6 6), (6 12 12), (6 24 24) (7 7 7) (8 8 8) (9 9 9) (9 18 18) (12 12 12) (15 15 15) (3,3 ∞) (3 ∞ ∞) (4,4 ∞) (6 6 ∞) (∞ ∞ ∞)

Grupuri ale poligoanelor hiperbolice altele decât triunghiurile Modificare

Domenii fundamentale ale grupurilor patrulatere
Domenii cu vârfuri ideale
or [∞,3,∞] [iπ/λ₁,3,iπ/λ₂] (*3222)	or [((3,∞,3)),∞] [((3,iπ/λ₁,3)),iπ/λ₂] (*3322)	or [(3,∞)^[2]] [(3,iπ/λ₁,3,iπ/λ₂)] (*3232)	or [(4,∞)^[2]] [(4,iπ/λ₁,4,iπ/λ₂)] (*4242)	(*3333)
[iπ/λ₁,∞,iπ/λ₂] (*∞222)	(*∞∞22)	[(iπ/λ₁,∞,iπ/λ₂,∞)] (*2∞2∞)	(*∞∞∞∞)	(*4444)

Alte caleidoscoape hiperbolice H² pot fi construite din poligoane de ordin superior. La fel ca grupul triunghiular aceste caleidoscoape pot fi identificate printr-o secvență ciclică a ordinii de intersecție a oglinzilor în jurul domeniului fundamental, ca (a b c d ...), sau echivalent în notația orbifold ca *abcd.... Diagramele Coxeter–Dynkin pentru aceste caleidoscoape poligonale pot fi văzute ca domenii fundamentale degenerate de (n−1)-simplexuri, cu o ordine a ramurilor ciclică de ordinul a,b,c... și restul de n*(n–3) / 2 ramuri sunt etichetate ca infinite (∞) reprezentând oglinzile care nu se intersectează. Singurul exemplu nehiperbolic este simetria euclidiană cu patru oglinzi într-un pătrat sau dreptunghi ca , [∞,2,∞] (orbifold *2222). O altă reprezentare a ramurilor pentru oglinzile care nu se intersectează este folosită de Vinberg care notează ramurile infinite cu linii punctate sau întrerupte, astfel încât această diagramă poate fi afișată ca , cu patru ramuri de ordinul 2 suprimate în jurul perimetrului.

De exemplu, un domeniu patrulater (a b c d) va avea două ramuri de ordin infinit care conectează oglinzile ultratraparalele. Cel mai mic exemplu hiperbolic este , [∞,3,∞] saur [iπ/λ₁,3,iπ/λ₂] (orbifold *3222), unde (λ₁, λ₂) sunt distanța dintre oglinzile ultraparalele. Expresia alternativă este , cu trei ramuri de ordinul 2 suprimate în jurul perimetrului. Similar (2 3 2 3) (orbifold *3232) poate fi reprezentat ca , iar (3 3 3 3), (orbifold *3333) poate fi reprezentat ca un graf complet .

Cel mai înalt domeniu patrulater (∞ ∞ ∞ ∞) este un pătrat infinit, reprezentat printr-un graf tetraedric complet 4 ramuri pe perimetru ca vârfuri ideale și două ramuri diagonale infinite (prezentate ca linii punctate) pentru oglinzi ultraparalele: .

Compacte (grupuri simpliciale Lannér) Modificare

Grupurile hiperbolice compacte se numesc grupuri Lannér după Folke Lannér care le-a studiat prima dată în 1950.^[7] Ele există doar sub forma grafurilor de ordinul 4 și 5. Coxeter a studiat grupurile Coxeter hiperbolice liniare în lucrarea sa din 1954 Regular Honeycombs in hyperbolic space (română Faguri regulați în spațiul hiperbolic),^[8] care conțin două soluții raționale în 4-spațiul hiperbolic: [5/2,5,3,3] = și [5,5/2,5,3] = .

Ordinele 4–5 Modificare

Domeniul fundamental al oricăruia dintre cele două grupuri bifurcante, [5,3^1,1] și [5,3,3^1,1], este dublu față de cel al unui grup liniar corespunzător, [5,3,4] și respectiv [5,3,3,4]. Notațiile literale au fost date de Norman Johnson ca extensii ale simbolurilor Witt.^[9]

Grupuri Coxeter hiperbolice compacte
Dimensiune H^d	Ordin	Nr. total	Liniar	Bifurcat	Ciclic
H³	4	9	3: ${\overline {BH}}_{3}$ = [4,3,5]: ${\overline {K}}_{3}$ = [5,3,5]: ${\overline {J}}_{3}$ = [3,5,3]:	${\overline {DH}}_{3}$ = [5,3^1,1]:	${\widehat {AB}}_{3}$ = [(3³,4)]: ${\widehat {AH}}_{3}$ = [(3³,5)]: ${\widehat {BB}}_{3}$ = [(3,4)^[2]]: ${\widehat {BH}}_{3}$ = [(3,4,3,5)]: ${\widehat {HH}}_{3}$ = [(3,5)^[2]]:
H⁴	5	5	3: ${\overline {H}}_{4}$ = [3³,5]: ${\overline {BH}}_{4}$ = [4,3,3,5]: ${\overline {K}}_{4}$ = [5,3,3,5]:	${\overline {DH}}_{4}$ = [5,3,3^1,1]:	${\widehat {AF}}_{4}$ = [(3⁴,4)]:

Paracompacte (grupuri simpliciale Koszul) Modificare

Grupurile Coxeter hiperbolice paracompacte (numite și necompacte) conțin subgrupuri afine și au domenii fundamentale simpliciale asimptotice. Cel mai înalt grup Coxeter hiperbolic paracompact este de ordinul 10. Aceste grupuri poartă numele matematicianului francez Jean-Louis Koszul.^[10] Sunt numite și grupuri cvasi-Lannér care extind grupurile Lannér compacte. S-a stabilit că lista este completă prin căutare computerizată de către M. Chein și publicată în 1969.^[11]

După Vinberg, toate cu excepția a opt dintre aceste 72 de simplexuri compacte paracompacte sunt aritmetice. Două dintre grupurile nearitmetice sunt compacte: și . Celelalte șase grupuri nearitmetice sunt toate paracompacte, cu cinci grupuri tridimensionale , , , , și , și unul 5-dimensional .

Simplexuri ideale Modificare

Există 5 grupuri Coxeter hiperbolice care reprezintă simplexuri ideale, grafuri în care îndepărtarea unui nod oarecare le transformă într-un grup Coxeter afin. Astfel, toate vârfurile acestui simplex ideal sunt la infinit.^[12]

Ordin	Grup ideal	Subgrup afin
3	[(∞,∞,∞)]	[∞]
4	[4^[4]]	[4,4]
4	[3^[3,3]]	[3^[3]]
4	[(3,6)^[2]]	[3,6]
6	[(3,3,4)^[2]]	[4,3,3,4], [3,4,3,3]	,

Ordinele 4–10 Modificare

Există un total de 58 de grupuri Coxeter hiperbolice paracompacte de la ordinul 4 până la 10. Toate cele 58 sunt grupate mai jos în cinci categorii. Simbolurile literale sunt date de Johnson ca simboluri Witt extinse, folosind PQRSTWUV din simbolurile Witt afine și adăugând LMNOXYZ. Pentru scheme ciclice aceste grupuri hiperbolice primesc o suprabarare sau o acoladă unghiulară. Notația Coxeter cu paranteze este o reprezentare liniarizată a grupului Coxeter.

Grupuri hiperbolice paracompacte
Ordin	Nr. total	Grupuri
4	23	${\widehat {BR}}_{3}$ = [(3,3,4,4)]: ${\widehat {CR}}_{3}$ = [(3,4³)]: ${\widehat {RR}}_{3}$ = [4^[4]]: ${\widehat {AV}}_{3}$ = [(3³,6)]: ${\widehat {BV}}_{3}$ = [(3,4,3,6)]: ${\widehat {HV}}_{3}$ = [(3,5,3,6)]: ${\widehat {VV}}_{3}$ = [(3,6)^[2]]:	${\overline {P}}_{3}$ = [3,3^[3]]: ${\overline {BP}}_{3}$ = [4,3^[3]]: ${\overline {HP}}_{3}$ = [5,3^[3]]: ${\overline {VP}}_{3}$ = [6,3^[3]]: ${\overline {DV}}_{3}$ = [6,3^1,1]: ${\overline {O}}_{3}$ = [3,4^1,1]: ${\overline {M}}_{3}$ = [4^1,1,1]:	${\overline {R}}_{3}$ = [3,4,4]: ${\overline {N}}_{3}$ = [4³]: ${\overline {V}}_{3}$ = [3,3,6]: ${\overline {BV}}_{3}$ = [4,3,6]: ${\overline {HV}}_{3}$ = [5,3,6]: ${\overline {Y}}_{3}$ = [3,6,3]: ${\overline {Z}}_{3}$ = [6,3,6]:	${\overline {DP}}_{3}$ = [3^[]x[]]: ${\overline {PP}}_{3}$ = [3^[3,3]]:
5	9	${\overline {P}}_{4}$ = [3,3^[4]]: ${\overline {BP}}_{4}$ = [4,3^[4]]: ${\widehat {FR}}_{4}$ = [(3²,4,3,4)]: ${\overline {DP}}_{4}$ = [3^[3]x[]]:	${\overline {N}}_{4}$ = [4,3,((4,2,3))]: ${\overline {O}}_{4}$ = [3,4,3^1,1]: ${\overline {S}}_{4}$ = [4,3^2,1]:	${\overline {R}}_{4}$ = [(3,4)²]:	${\overline {M}}_{4}$ = [4,3^1,1,1]:
6	12	${\overline {P}}_{5}$ = [3,3^[5]]: ${\widehat {AU}}_{5}$ = [(3⁵,4)]: ${\widehat {AR}}_{5}$ = [(3,3,4)^[2]]:	${\overline {S}}_{5}$ = [4,3,3^2,1]: ${\overline {O}}_{5}$ = [3,4,3^1,1]: ${\overline {N}}_{5}$ = [3,(3,4)^1,1]:	${\overline {U}}_{5}$ = [3³,4,3]: ${\overline {X}}_{5}$ = [3,3,4,3,3]: ${\overline {R}}_{5}$ = [3,4,3,3,4]:	${\overline {Q}}_{5}$ = [3^2,1,1,1]: ${\overline {M}}_{5}$ = [4,3,3^1,1,1]: ${\overline {L}}_{5}$ = [3^1,1,1,1,1]:
7	3	${\overline {P}}_{6}$ = [3,3^[6]]:	${\overline {Q}}_{6}$ = [3^1,1,3,3^2,1]:	${\overline {S}}_{6}$ = [4,3²,3^2,1]:
8	4	${\overline {P}}_{7}$ = [3,3^[7]]:	${\overline {Q}}_{7}$ = [3^1,1,3²,3^2,1]:	${\overline {S}}_{7}$ = [4,3³,3^2,1]:	${\overline {T}}_{7}$ = [3^3,2,2]:
9	4	${\overline {P}}_{8}$ = [3,3^[8]]:	${\overline {Q}}_{8}$ = [3^1,1,3³,3^2,1]:	${\overline {S}}_{8}$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]