Diagramă Coxeter–Dynkin

(Redirecționat de la Diagramă Coxeter)
Diagramele Coxeter–Dynkin ale grupurilor Coxeter finite fundamentale
Diagramele Coxeter–Dynkin ale grupurilor Coxeter afine fundamentale

În geometrie, o diagramă Coxeter–Dynkin (sau diagramă Coxeter, graf Coxeter) este un graf cu muchii marcate cu numere (numite ramuri) reprezentând relațiile spațiale dintre o colecție de oglinzi (sau hiperplane de reflexie). Descrie o construcție caleidoscopică: fiecare nod al grafului reprezintă o oglindă (fațetă a domeniului) și eticheta atașată unei ramuri codifică ordinul unghiului diedru între două oglinzi (pe o față a domeniului), care este raportul dintre 180° și unghiul dintre planele oglinzilor. O ramură neetichetată reprezintă implicit ordinul 3 (60°).

Fiecare diagramă reprezintă un grup Coxeter, iar grupurile Coxeter sunt clasificate după diagramele lor asociate.

Diagramele Dynkin sunt obiecte strâns legate, care diferă de diagramele Coxeter în două privințe: în primul rând, ramurile etichetate cu "4" sau mai mult sunt orientate, în timp ce diagramele Coxeter sunt neorientate; în al doilea rând, diagramele Dynkin trebuie să satisfacă o restricție suplimentară (cristalografică), și anume că singurele etichete permise ale ramurilor sunt 2, 3, 4 și 6. Diagramele Dynkin corespund și sunt utilizate pentru a clasifica sistemele de rădăcini și, prin urmare, algebra Lie semisimplă.[1]

DescriereModificare

Ramurile unei diagrame Coxeter–Dynkin sunt etichetate cu un număr rațional p, reprezentând un unghi diedru de 180°/p. p = 2 unghiul este de 90° și oglinzile nu au nicio interacțiune, astfel încât ramura poate fi omisă din diagramă. Dacă o ramură este nemarcată, se presupune că are p = 3, reprezentând un unghi de 60°. Două oglinzi paralele au o ramură marcată cu "∞". În principiu, n oglinzi pot fi reprezentate printr-un graf complet în care sunt trasate toate cele n(n − 1) / 2 ramuri. În practică, aproape toate configurațiile interesante ale oglinzilor includ un număr de unghiuri drepte, astfel încât ramurile corespunzătoare sunt omise.

Diagramele pot fi etichetate după structura grafului lor. Primele forme studiate de Ludwig Schläfli sunt ortoscheme care au grafuri liniare care generează politopuri regulate și faguri regulați. Plagioschemele sunt simplexuri reprezentate prin grafuri ramificate, iar cicloschemele sunt simplexuri reprezentate prin grafuri ciclice.

Matricea SchläfliModificare

Orice diagramă Coxeter are o matrice Schläfli corespunzătoare (așa numită după Ludwig Schläfli), cu elementele ai,j = aj,i = −2cos (π / p) unde p este ordinul ramurilor dintre perechile de oglinzi. Ca matrice de cosinusuri, este numită și matrice Gramian după Jørgen Pedersen Gram. Toate matricile Schläfli ale grupurilor Coxeter sunt simetrice deoarece vectorii lor rădăcină sunt normalizați. Este legată îndeaproape de matricea Cartan, utilizată în graful similar dar orientat, diagrama Dynkin în cazurile cu p = 2, 3, 4 și 6, care NU sunt simetrice în general.

Determinantul matricei Schläfli, numit Schläflian, și semnul său determină dacă grupul este finit (pozitiv), afin (zero) sau nedefinit (negativ). Această regulă se numește Criteriul lui Schläfli.[2]

Valorile proprii ale matricei Schläfli determină dacă un grup Coxeter este de tip finit (toate pozitive), de tip afin (toate nenegative, cel puțin una fiind zero) sau de tip nedefinit (altfel). Tipul nedefinit este uneori subdivizat, de ex. în grupuri Coxeter hiperbolice și alte grupuri Coxeter. Cu toate acestea, există mai multe definiții neechivalente pentru grupurile Coxeter hiperbolice. În articol se folosește următoarea definiție: Un grup Coxeter cu diagramă conectată este hiperbolic dacă nu este nici de tip finit, nici afin, dar fiecare subdiagramă conectată adecvat este de tip finit sau afin. Un grup Coxeter hiperbolic este compact dacă toate subgrupurile sunt finite (adică au determinanți pozitivi) și paracompact dacă toate subgrupurile sale sunt finite sau afine (adică au determinanți negativi).

Grupurile finite și afine sunt numite și eliptice, respectiv parabolice. Grupurile hiperbolice se mai numesc și Lannér, după F. Lannér care a enumerat grupurile hiperbolice compacte în 1950,[3] și Koszul (sau cvasi-Lannér) pentru grupurile paracompacte.

Grupuri Coxeter de ordinul 2Modificare

La ordinul 2, tipul unui grup Coxeter este complet determinat de determinantul matricei Schläfli, deoarece este pur și simplu produsul valorilor proprii: tip finit (determinant pozitiv), tip afin (determinant zero) sau hiperbolic (determinant negativ). Coxeter folosește o notație cu paranteze echivalentă care afișează o secvență cu ordinea ramurilor ca înlocuitor pentru diagramele grafice nod-ramură. Există și soluții raționale [p/q], CDel node.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel q.pngCDel node.png, cu cmmdc(p, q) = 1, care definesc domenii fundamentale suprapuse. De exemplu, 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4. și 6/5.

Tip Finit Afin Hiperbolic
Geometrie Dihedral symmetry domains 1.png Dihedral symmetry domains 2.png Dihedral symmetry domains 3.png Dihedral symmetry domains 4.png ... Dihedral symmetry domains infinity.png Horocycle mirrors.png Dihedral symmetry ultra.png
Coxeter CDel node c1.png
[ ]
CDel node c1.pngCDel 2.pngCDel node c3.png
[2]
CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
[3]
CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c3.png
[4]
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png
[p]
CDel node c1.pngCDel infin.pngCDel node c3.png
[∞]
CDel node c2.pngCDel infin.pngCDel node c3.png
[∞]
CDel node c2.pngCDel ultra.pngCDel node c3.png
[iπ/λ]
Ordin 2 4 6 8 2p
Liniile de reflexie sunt colorate pentru a corespunde nodurilor diagramei Coxeter.
Domeniile fundamentale sunt colorate alternativ.

Vizualizări geometriceModificare

Diagrama Coxeter–Dynkin poate fi văzută ca o descriere grafică a domeniului fundamental al oglinzilor. O oglindă reprezintă un hiperplan într-un spațiu dimensional sferic sau euclidian sau hiperbolic dat. (În spațiile 2D, o oglindă este o dreaptă, iar în 3D o oglindă este un plan).

Aceste vizualizări arată domeniile fundamentale pentru grupurile euclidiene 2D și 3D, și grupurile sferice 2D. Pentru fiecare diagrama Coxeter poate fi dedusă prin identificarea hiperplanelor oglindă și etichetarea conectivității acestora, ignorând unghiurile diedrice de 90° (ordinul 2).

Coxeter-dynkin plane groups.png

Grupuri Coxeter în planul euclidian cu diagrame echivalente. Reflexiile sunt etichetate ca noduri ale grafurilor: R1, R2 etc. și sunt colorate după ordinea lor de reflexie. Reflexiile la 90° sunt inactive, prin urmare sunt eliminate din diagramă. Oglinzile paralele sunt conectate printr-o ramură etichetată ∞. Grupul prismatic x este afișat ca o dublare a , dar pot fi create și ca domenii dreptunghiulare de la dublarea triunghiurilor . este o dublare a triunghiului .

Hyperbolic kaleidoscopes.png
Multe grupuri Coxeter din planul hiperbolic pot fi obținute din cazurile euclidiene ca o serie de soluții hiperbolice.
Coxeter-Dynkin 3-space groups.png
Grupuri Coxeter în spațiul tridimensional cu diagrame. Oglinzile (fețele triunghiului) sunt etichetate de vârful opus 0..3. Ramurile sunt colorate după ordinea lor de reflexie.
umple 1/48 din cub. umple 1/24 din cub. umple 1/12 din cub.
Coxeter-Dynkin sphere groups.png
Grupuri Coxeter în sferă cu diagrame echivalente. Un domeniu fundamental este conturat în galben. Vârfurile domeniului (și ramurile grafurilor) sunt colorate după ordinea lor de reflexie.

Grupuri Coxeter finiteModificare

  • Trei simboluri diferite sunt date pentru aceleași grupuri — ca literă/număr, ca set de numere între paranteze și ca diagramă Coxeter.
  • Grupurile bifurcate Dn sunt versiunea înjumătățită sau alternată a grupurilor regulate Cn.
  • Grupurile bifurcate Dn și En sunt, de asemenea, etichetate cu o notație cu exponenți [3a,b,c] undea,b,csunt numărul de segmente din fiecare din cele trei ramuri.
Diagramele Coxeter–Dynkin finite conectate (de ordinul 1 la 9)
Ordin Grupuri Lie simple Grupuri Lie excepționale  
1 A1=[ ]
CDel node.png
 
2 A2=[3]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B2=[4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
D2=A1A1
CDel nodes.png
  G2=[6]
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
H2=[5]
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
I2[p]
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png
3 A3=[32]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B3=[3,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D3=A3
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
E3=A2A1
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png CDel nodeb.png
F3=B3
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
H3 
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 A4=[33]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B4=[32,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D4=[31,1,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
E4=A4
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.png
F4
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H4 
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5 A5=[34]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B5=[33,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D5=[32,1,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
E5=D5
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
   
6 A6=[35]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B6=[34,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D6=[33,1,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
E6=[32,2,1]
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
7 A7=[36]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B7=[35,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D7=[34,1,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
E7=[33,2,1]
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
8 A8=[37]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B8=[36,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D8=[35,1,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
E8=[34,2,1]
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
9 A9=[38]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B9=[37,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D9=[36,1,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
 
10+ ... ... ... ...

Aplicarea la politopuri uniformeModificare

Coxeter diagram elements.png
La construcția politopurilor uniforme, nodurile sunt marcate ca active de un inel dacă punctul generator se află în afara oglinzii, creând o nouă latură între punctul generator și imaginea sa oglindă. Un nod fără inel reprezintă o oglindă inactivă care nu generează puncte noi. Un inel fără nod se numește gaură.
Kaleidoscopic construction of square.png
Două oglinzi ortogonale pot fi utilizate pentru a genera un pătrat, CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png, marcat aici cu un punct roșu generator și 3 copii virtuale în oglinzi. Generatorul trebuie să fie dezactivat de ambele oglinzi în acest caz ortogonal pentru a genera un interior. Marcarea inelului presupune că inelele active au generatoare la distanță egală de toate oglinzile, în timp ce un dreptunghi poate reprezenta și o soluție neuniformă.

Diagramele Coxeter–Dynkin pot descrie în mod explicit aproape toate clasele de politopuri uniforme și teselări uniforme. Fiecare politop uniform cu simetrie de reflexie pură (toate, cu excepția câtorva cazuri particulare, au simetrie de reflexie pură) poate fi reprezentat printr-o diagramă Coxeter–Dynkin cu permutări ale notațiilor. Fiecare politop uniform poate fi generat folosind astfel de oglinzi și un singur punct generator: imaginile în oglindă creează puncte noi ca reflexii, apoi laturile politopului pot fi definite între puncte și punctele imagini în oglindă. Fețele sunt generate de reflectarea repetată a unei laturi care eventual se înfășoară în jurul punctului generator inițial; forma finală, precum și orice fațete din dimensiunile superioare, sunt create în mod similar prin reflectarea feței pentru a închide o zonă.

Pentru a specifica vârful generator, unul sau mai multe noduri sunt marcate cu inele, ceea ce înseamnă că vârful nu este pe oglinzile reprezentate de nodul/nodurile inelate. (Dacă sunt marcate două sau mai multe oglinzi, vârful este echidistant de ele.) O oglindă este activă (creează reflexii) numai pentru punctele care nu se află pe ea. O diagramă are nevoie de cel puțin un nod activ pentru a reprezenta un politop. O diagramă neconectată (subgrupuri separate prin ramuri de ordinul 2 sau oglinzi ortogonale) necesită cel puțin un nod activ în fiecare subgraf.

Toate politopurile regulate, reprezentate prin simbolul Schläfli , pot avea domeniile lor fundamentale reprezentate de un set de n oglinzi cu o diagramă Coxeter–Dynkin aferentă a unei linii de noduri și ramuri etichetate cu cu primul nod inelat.

Politopurile uniforme cu un inel corespund punctelor generatoare în colțurile simplexului domeniului fundamental. Două inele corespund laturilor simplexului și au un grad de libertate, cu doar punctul de mijloc ca soluție uniformă pentru lungimi ale laturilor egale. În general k-punctele generatoare inelate sunt pe (k–1)-fețele simplexului, iar dacă toate nodurile sunt inelate, punctul generator se află în interiorul simplexului.

Cazul particular al politopurilor uniforme cu simetrie nereflexivă este reprezentat de un marcaj secundar în care punctul central al unui nod inelat este eliminat (numit gaură). Aceste forme sunt alternări ale politopurilor cu simetrie de reflexie, ceea ce înseamnă că nodurile alternate sunt șterse. Politopul rezultat va avea o subsimetrie a grupului Coxeter inițial. O alternare trunchiată se numește snub.

Există 7 construcții uniforme reflexive pe baza unui triunghi general, bazate pe 7 poziții generatoare topologice în domeniul fundamental. Fiecare oglindă activă generează o latură, cu două oglinzi active există generatoare pe laturile domeniului și cu trei oglinzi active generatorul este în interior. Unul sau două grade de libertate pot fi tratate astfel încât poziția rezultată să genereze laturi egale ale poliedrului sau ale plăcilor rezultate.
Exemple: 7 generatoare pe simetrie octaedrică, cu domeniul fundamental triunghiul (4 3 2), cu a 8-a generare snub ca alternare.
  • Un singur nod reprezintă o singură oglindă. Aceasta se numește grupul A1. Dacă este inelat, el creează un segment de dreaptă perpendicular pe oglindă, reprezentat ca {}.
  • Două noduri neconectate reprezintă două oglinzi perpendiculare. Dacă ambele noduri sunt inelate, se poate crea un dreptunghi sau, dacă punctul este la distanță egală de ambele oglinzi, un pătrat.
  • Două noduri conectate printr-o ramură de ordinul n poate crea un n-gon dacă punctul este pe o singură oglindă și un 2n-gon dacă punctul este în afara ambelor oglinzi. Aceasta formează grupul I1(n).
  • Două oglinzi paralele pot reprezenta un grup poligonal infinit I1(∞), numit și Ĩ1.
  • Trei oglinzi dispuse într-un triunghi formează imagini ca acelea văzute într-un caleidoscop tradițional și pot fi reprezentate prin trei noduri conectate într-un triunghi. Exemplele repetate vor avea ramuri etichetate ca (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), deși ultimele două pot fi trasate ca o linie (cu ramurile 2 ignorate). Acestea vor genera pavări uniforme.
  • Trei oglinzi pot genera poliedre uniforme (cu simetrie octaedrică Oh); numerele raționale oferă mulțimea triunghiurilor Schwarz.
  • Trei oglinzi cu una perpendiculară pe celelalte două pot forma prisme uniforme.

Dualele politopurilor uniforme sunt uneori marcate cu o bară perpendiculară care înlocuiește nodurile inelate și o gaură barată pentru găurile nodurilor snub. De exemplu, CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png reprezintă un dreptunghi (prin două oglinzi ortogonale active), iar CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png reprezintă poligonul său dual, rombul.

Exemple de poliedre și pavăriModificare

De exemplu, grupul Coxeter B3 are diagrama: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. Aceasta este numită și simetrie octaedrică.

Există 7 poliedre uniforme convexe care pot fi construite din acest grup de simetrie și 3 din subsimetriile sale alternate, fiecare cu o diagramă Coxeter–Dynkin marcată în mod unic. Simbolul Wythoff reprezintă un caz special al diagramei Coxeter pentru grafurile de ordinul 3, cu toate cele 3 ordine ale ramurilor denumite, în loc de suprimarea ramurilor de ordinul 2. Simbolul Wythoff este capabil să gestioneze forma snub, dar nu alternări generale fără toate nodurile inelate.

Poliedre octaedrice uniforme    
Simetrie: [4,3], (*432) [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)
[3+,4]
(3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{31,1}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png =
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png sau CDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png =
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png sau CDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h0.png =
CDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.png
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg
Uniform polyhedron-33-t02.png
Uniform polyhedron-43-t12.svg
Uniform polyhedron-33-t012.png
Uniform polyhedron-43-t2.svg
Uniform polyhedron-33-t1.png
Uniform polyhedron-43-t02.png
Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png
Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t0.pngUniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t01.pngUniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
Uniform polyhedron-33-s012.svg
Dualele celor de mai sus
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V33 V3.62 V35
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Dodecahedron.svg

Aceleași construcții pot fi făcute pe grupuri Coxeter disjuncte (ortogonale), cum ar fi prismele uniforme, și pot fi văzute mai clar ca pavări sferice ale diedrelor și hosoedrelor, ca familia [6]×[] sau [6.2]:

Poliedre sferice diedrice hexagonale uniforme    
Simetrie: [6,2], (*622) [6,2]+, (622) [6,2+], (2*3)
Hexagonal dihedron.png Dodecagonal dihedron.png Hexagonal dihedron.png Spherical hexagonal prism.png Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical truncated trigonal prism.png Spherical dodecagonal prism2.png Spherical hexagonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
{6,2} t{6,2} r{6,2} t{2,6} {2,6} rr{6,2} tr{6,2} sr{6,2} s{2,6}
Dualele celor de mai sus
Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical dodecagonal hosohedron.png Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical hexagonal bipyramid.png Hexagonal dihedron.png Spherical hexagonal bipyramid.png Spherical dodecagonal bipyramid.png Spherical hexagonal trapezohedron.png Spherical trigonal trapezohedron.png
V62 V122 V62 V4.4.6 V26 V4.4.6 V4.4.12 V3.3.3.6 V3.3.3.3

Prin comparație, familia [6,3], CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png produce un set paralel de 7 pavări uniforme ale planului euclidian și pavările lor duale. Există din nou 3 alternări și unele versiuni cu simetria la jumătate.

Pavări hexagonale/triunghiulare uniforme    
Simetrie: [6,3], (*632) [6,3]+
(632)
[6,3+]
(3*3)
{6,3} t{6,3} r{6,3} t{3,6} {3,6} rr{6,3} tr{6,3} sr{6,3} s{3,6}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform tiling 63-t0.svg Uniform tiling 63-t01.svg Uniform tiling 63-t1.svg Uniform tiling 63-t12.svg Uniform tiling 63-t2.svg Uniform tiling 63-t02.png Uniform tiling 63-t012.svg Uniform tiling 63-snub.png Uniform tiling 63-h12.png
63 3.122 (3.6)2 6.6.6 36 3.4.6.4 4.6.12 3.3.3.3.6 3.3.3.3.3.3
Dualele celor de mai sus
1-uniform 1 dual.svg 1-uniform 4 dual.svg 1-uniform 7 dual.svg 1-uniform 1 dual.svg 1-uniform 11 dual.svg 1-uniform 6 dual.svg 1-uniform 3 dual.svg 1-uniform 10 dual.svg 1-uniform 11 dual.svg
V63 V3.122 V(3.6)2 V63 V36 V3.4.6.4 V.4.6.12 V34.6 V36

În planul hiperbolic [7,3], familia CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png produce un set paralel de pavări uniforme și pavările lor duale. Există doar o singură alternare snub deoarece toate ordinele ramurilor sunt impare. Există multe alte familii de pavări uniforme în planul hiperbolic.

Pavări heptagonale/triunghiulare uniforme    
Simetrie: [7,3], (*732) [7,3]+, (732)
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 7.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Heptagonal tiling.svg Truncated heptagonal tiling.svg Triheptagonal tiling.svg Truncated order-7 triangular tiling.svg Order-7 triangular tiling.svg Rhombitriheptagonal tiling.svg Truncated triheptagonal tiling.svg Snub triheptagonal tiling.svg
{7,3} t{7,3} r{7,3} t{3,7} {3,7} rr{7,3} tr{7,3} sr{7,3}
Dualele celor de mai sus
CDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 7.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 7.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 7.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Order-7 triangular tiling.svg Order-7 triakis triangular tiling.svg 7-3 rhombille tiling.svg Heptakis heptagonal tiling.svg Heptagonal tiling.svg Deltoidal triheptagonal tiling.svg 3-7 kisrhombille.svg 7-3 floret pentagonal tiling.svg
V73 V3.14.14 V3.7.3.7 V6.6.7 V37 V3.4.7.4 V4.6.14 V3.3.3.3.7


Grupuri Coxeter afineModificare

Familii de teselări euclidiene uniforme convexe sunt definite de grupurile Coxeter afine. Aceste grupuri sunt identice cu grupurile finite, cu adăugarea unui nod. În notațiile literale li se dă aceeași literă cu o „~” deasupra literei. Indicele se referă la grupul finit, deci ordinul este indicele plus 1. (Simbolurile Ernst Witt pentru grupurile afine sunt menționate în lista următoare în paranteze.)

  1. : diagramele de acest tip sunt cicluri. (Pn)
  2. este asociat cu familia teselărilor regulate hipercubice . (Rn)
  3. este legat de C, fără una dintre oglinzi. (Sn)
  4. este legat de C, fără două dintre oglinzi. (Qn)
  5. , , . (T7, T8, T9)
  6. formează teselarea regulată {3,4,3,3}. (U5)
  7. formează domeniile fundamentale triunghiulare 30-60-90. (V3)
  8. = = sunt două oglinzi paralele. (W2)

De asemenea, grupurile compuse pot fi definite ca proiecții ortogonale. Cea mai obișnuită utilizare , ca și , CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png reprezintă domenii pătrate sau dreptunghiulare în formă de tablă de șah în planul euclidian. Iar CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png reprezintă domeniile fundamentale al prismei triunghiulare în spațiul euclidian tridimensional.

Grafuri Coxeter afine pentru 2–10 noduri
Ordin (P2+) (S4+) (R2+) (Q5+) (Tn+1) / (U5) / (V3)
2 =[∞]
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
  =[∞]
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
   
3 =[3[3]]
* CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,4]
* CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[6,3]
* CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 =[3[4]]
* CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,31,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,3,4]
* CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,3−1,31,1]
CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png =
5 =[3[5]]
* CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,3,31,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,32,4]
* CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,1,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
=[3,4,3,3]
* CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6 =[3[6]]
* CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,32,31,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,33,4]
* CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,3,31,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
 
7 =[3[7]]
* CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,33,31,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,34,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,32,31,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
=[32,2,2]
CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
8 =[3[8]]
* CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,34,31,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,35,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,33,31,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
=[33,3,1]
* CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
9 =[3[9]]
* CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,35,31,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,36,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,34,31,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
=[35,2,1]
* CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
10 =[3[10]]
* CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,36,31,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,37,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,35,31,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
11 ... ... ... ...

Grupuri Coxeter hiperboliceModificare

Există multe grupuri Coxeter hiperbolice infinite. Grupurile hiperbolice sunt clasificate ca fiind compacte sau nu, grupurile compacte având domenii fundamentale delimitate. Grupurile hiperbolice compacte de simplexuri (simplexuri Lannér) există de ordinele 3 – 5. Grupurile paracompacte de simplexuri (simplexuri Koszul) există până la ordinul 10. Grupurile hipercompacte (politopurile Vinberg) au fost explorate, dar nu sunt explorate complet. În 2006, Allcock a demonstrat că există infinit de multe politopuri Vinberg compacte pentru dimensiuni până la 6 și infinit de multe politopuri Vinberg cu volum finit pentru dimensiuni până la 19,[4] astfel că o enumerare completă nu este posibilă. Toate aceste domenii reflexive fundamentale, atât simpliciale cât și nesimpliciale, sunt adesea numite politopuri Coxeter sau uneori mai puțin precis poliedre Coxeter.

Grupuri hiperbolice în H2Modificare

Modelul discului Poincaré, domeniul fundamental triunghiuri
Exemple cu triunghiuri dreptunghice [p,q]
H2checkers 237.png
[3,7]
H2checkers 238.png
[3,8]
Hyperbolic domains 932 black.png
[3,9]
H2checkers 23i.png
[3,∞]
H2checkers 245.png
[4,5]
H2checkers 246.png
[4,6]
H2checkers 247.png
[4,7]
H2checkers 248.png
[4,8]
H2checkers 24i.png
[∞,4]
H2checkers 255.png
[5,5]
H2checkers 256.png
[5,6]
H2checkers 257.png
[5,7]
H2checkers 266.png
[6,6]
H2checkers 2ii.png
[∞,∞]
Exemple cu triunghiuri oarecare [(p,q,r)]
H2checkers 334.png
[(3,3,4)]
H2checkers 335.png
[(3,3,5)]
H2checkers 336.png
[(3,3,6)]
H2checkers 337.png
[(3,3,7)]
H2checkers 33i.png
[(3,3,∞)]
H2checkers 344.png
[(3,4,4)]
H2checkers 366.png
[(3,6,6)]
H2checkers 3ii.png
[(3,∞,∞)]
H2checkers 666.png
[(6,6,6)]
Infinite-order triangular tiling.svg
[(∞,∞,∞)]

Grupul triunghiular hiperbolic bidimensional există ca diagrame Coxeter de ordinul 3, definite prin triunghiul (p q r) pentru:

.

Există infinit de multe grupuri Coxeter hiperbolice compacte triunghiulare, care conțin grafuri liniare și triunghiulare. Grafurile liniare există pentru triunghiurile dreptunghice (cu r=2).[5]

Grupuri Coxeter hiperbolice compacte
Liniar Ciclic
[p,q], CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png:
2(p+q)<pq

CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
...
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
...
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
...

∞ [(p,q,r)], CDel pqr.png: p+q+r>9

CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.png

CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.png

CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.png

CDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png
...

Grupurile Coxeter paracompacte de ordinul 3
există ca limită a celor compacte.

Grafuri liniare Grafuri ciclice
  • [p,∞] CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
  • [∞,∞] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
  • [(p,q,∞)] CDel 3.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel 3.png
  • [(p,∞,∞)] CDel 3.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel 3.png
  • [(∞,∞,∞)] CDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel 3.png


Grupul triunghiular aritmeticModificare

Grupurile triunghiulare hiperbolice care sunt și grupuri aritmetice formează o submulțime finit. Lista completă a fost făcută cu ajutorul calculatorului de Kisao Takeuchi în lucrarea sa din 1977 Arithmetic triangle groups (română Grupuri triunghiulare aritmetice).[6] Există 85 în total, 76 compacte și 9 paracompacte.

Triunghiuri dreptunghice (p q 2) Triunghiuri oarecare (p q r)
Grupuri compacte: (76)
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 11.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 14.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 16.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 18.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel 4.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3x.pngCDel 0x.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 18.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 20.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3x.pngCDel 0x.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 14.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 16.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 18.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel 4.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 15.pngCDel node.pngCDel 3x.pngCDel 0x.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 18.pngCDel node.pngCDel 18.pngCDel node.png

Triunghiuri dreptunghice paracompacte: (4)

CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
Triunghiuri oarecare: (39)
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 9.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 12.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 15.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 12.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 18.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel 4.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 3x.pngCDel 0x.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 12.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 9.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 16.pngCDel node.pngCDel 16.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 10.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 15.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 10.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 12.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel 4.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 9.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 18.pngCDel node.pngCDel 18.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 12.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 15.pngCDel node.pngCDel 15.pngCDel node.pngCDel 15.png

Triunghiuri oarecare paracompacte: (5)

CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel infin.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel infin.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.png
(2 3 7), (2 3 8), (2 3 9), (2 3 10), (2 3 11), (2 3 12), (2 3 14), (2 3 16), (2 3 18), (2 3 24), (2 3 30)
(2 4 5), (2 4 6), (2 4 7), (2 4 8), (2 4 10), (2 4 12), (2 4 18),
(2 5 5), (2 5 6), (2 5 8), (2 5 10), (2 5 20), (2 5 30)
(2 6 6), (2 6 8), (2 6 12)
(2 7 7), (2 7 14), (2 8 8), (2 8 16), (2 9 18)
(2 10 10) (2 12 12) (2 12 24), (2 15 30), (2 18 18)
(2 3 ∞) (2,4 ∞) (2,6 ∞) (2 ∞ ∞)
(3 3 4), (3 3 5), (3 3 6), (3 3 7), (3 3 8), (3 3 9), (3 3 12), (3 3 15)
(3 4 4), (3 4 6), (3 4 12), (3 5 5), (3 6 6), (3 6 18), (3 8 8), (3 8 24), (3 10 30), (3 12 12)
(4 4 4), (4 4 5), (4 4 6), (4 4 9), (4 5 5), (4 6 6), (4 8 8), (4 16 16)
(5 5 5), (5 5 10), (5 5 15), (5 10 10)
(6 6 6), (6 12 12), (6 24 24)
(7 7 7) (8 8 8) (9 9 9) (9 18 18) (12 12 12) (15 15 15)
(3,3 ∞) (3 ∞ ∞)
(4,4 ∞) (6 6 ∞) (∞ ∞ ∞)

Grupuri ale poligoanelor hiperbolice altele decât triunghiurileModificare

Domenii fundamentale ale grupurilor patrulatere
Hyperbolic domains 3222.png
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png or CDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes.png
[∞,3,∞]
[iπ/λ1,3,iπ/λ2]
(*3222)
Hyperbolic domains 2233.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png or CDel branch.pngCDel 3a2b-cross.pngCDel nodes.png
[((3,∞,3)),∞]
[((3,iπ/λ1,3)),iπ/λ2]
(*3322)
H2chess 246a.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png or CDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel branch.png
[(3,∞)[2]]
[(3,iπ/λ1,3,iπ/λ2)]
(*3232)
H2chess 248a.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png or CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel branch.pngCDel label4.png
[(4,∞)[2]]
[(4,iπ/λ1,4,iπ/λ2)]
(*4242)
H2chess 246b.png
CDel branch.pngCDel 3a3b-cross.pngCDel branch.png


(*3333)
Domenii cu vârfuri ideale
Hyperbolic domains i222.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes.png
[iπ/λ1,∞,iπ/λ2]
(*∞222)
Hyperbolic domains ii22.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel ia2b-cross.pngCDel nodes.png

(*∞∞22)
H2chess 24ia.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png
[(iπ/λ1,∞,iπ/λ2,∞)]
(*2∞2∞)
H2chess 24ib.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel iaib-cross.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png

(*∞∞∞∞)
H2chess 248b.png
CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 4a4b-cross.pngCDel branch.pngCDel label4.png

(*4444)

Alte caleidoscoape hiperbolice H2 pot fi construite din poligoane de ordin superior. La fel ca grupul triunghiular aceste caleidoscoape pot fi identificate printr-o secvență ciclică a ordinii de intersecție a oglinzilor în jurul domeniului fundamental, ca (a b c d ...), sau echivalent în notația orbifold ca *abcd.... Diagramele Coxeter–Dynkin pentru aceste caleidoscoape poligonale pot fi văzute ca domenii fundamentale degenerate de (n−1)-simplexuri, cu o ordine a ramurilor ciclică de ordinul a,b,c... și restul de n*(n–3) / 2 ramuri sunt etichetate ca infinite (∞) reprezentând oglinzile care nu se intersectează. Singurul exemplu nehiperbolic este simetria euclidiană cu patru oglinzi într-un pătrat sau dreptunghi ca CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png, [∞,2,∞] (orbifold *2222). O altă reprezentare a ramurilor pentru oglinzile care nu se intersectează este folosită de Vinberg care notează ramurile infinite cu linii punctate sau întrerupte, astfel încât această diagramă poate fi afișată ca CDel nodes.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes.png, cu patru ramuri de ordinul 2 suprimate în jurul perimetrului.

De exemplu, un domeniu patrulater (a b c d) va avea două ramuri de ordin infinit care conectează oglinzile ultratraparalele. Cel mai mic exemplu hiperbolic este CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png, [∞,3,∞] saur [iπ/λ1,3,iπ/λ2] (orbifold *3222), unde (λ1, λ2) sunt distanța dintre oglinzile ultraparalele. Expresia alternativă este CDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes.png, cu trei ramuri de ordinul 2 suprimate în jurul perimetrului. Similar (2 3 2 3) (orbifold *3232) poate fi reprezentat ca CDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel branch.png, iar (3 3 3 3), (orbifold *3333) poate fi reprezentat ca un graf complet CDel branch.pngCDel 3a3b-cross.pngCDel branch.png.

Cel mai înalt domeniu patrulater (∞ ∞ ∞ ∞) este un pătrat infinit, reprezentat printr-un graf tetraedric complet 4 ramuri pe perimetru ca vârfuri ideale și două ramuri diagonale infinite (prezentate ca linii punctate) pentru oglinzi ultraparalele: CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel iaib-cross.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png.

Compacte (grupuri simpliciale Lannér)Modificare

Grupurile hiperbolice compacte se numesc grupuri Lannér după Folke Lannér care le-a studiat prima dată în 1950.[7] Ele există doar sub forma grafurilor de ordinul 4 și 5. Coxeter a studiat grupurile Coxeter hiperbolice liniare în lucrarea sa din 1954 Regular Honeycombs in hyperbolic space (română Faguri regulați în spațiul hiperbolic),[8] care conțin două soluții raționale în 4-spațiul hiperbolic: [5/2,5,3,3] = CDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png și [5,5/2,5,3] = CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Ordinele 4–5Modificare

Domeniul fundamental al oricăruia dintre cele două grupuri bifurcante, [5,31,1] și [5,3,31,1], este dublu față de cel al unui grup liniar corespunzător, [5,3,4] și respectiv [5,3,3,4]. Notațiile literale au fost date de Norman Johnson ca extensii ale simbolurilor Witt.[9]

Grupuri Coxeter hiperbolice compacte
Dimensiune
Hd
Ordin Nr. total Liniar Bifurcat Ciclic
H3 4 9 3:

= [4,3,5]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
= [5,3,5]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
= [3,5,3]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

= [5,31,1]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png

= [(33,4)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png 
= [(33,5)]: CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png 
= [(3,4)[2]]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png
= [(3,4,3,5)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png
= [(3,5)[2]]: CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png

H4 5 5 3:

= [33,5]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
= [4,3,3,5]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
= [5,3,3,5]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

= [5,3,31,1]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png

= [(34,4)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png

Paracompacte (grupuri simpliciale Koszul)Modificare

Un exemplu de pavare apeirogonală de ordinul 3, {∞,3} cu un apeirogon verde și oriciclul său circumscris

Grupurile Coxeter hiperbolice paracompacte (numite și necompacte) conțin subgrupuri afine și au domenii fundamentale simpliciale asimptotice. Cel mai înalt grup Coxeter hiperbolic paracompact este de ordinul 10. Aceste grupuri poartă numele matematicianului francez Jean-Louis Koszul.[10] Sunt numite și grupuri cvasi-Lannér care extind grupurile Lannér compacte. S-a stabilit că lista este completă prin căutare computerizată de către M. Chein și publicată în 1969.[11]

După Vinberg, toate cu excepția a opt dintre aceste 72 de simplexuri compacte paracompacte sunt aritmetice. Două dintre grupurile nearitmetice sunt compacte: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png și CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png. Celelalte șase grupuri nearitmetice sunt toate paracompacte, cu cinci grupuri tridimensionale CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label6.png, și CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label6.png, și unul 5-dimensional CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png.

Simplexuri idealeModificare

Domeniile fundamentale ideale a CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel split2-ii.pngCDel node.png, [(∞,∞,∞)] prezentate în modelul discului Poincaré

Există 5 grupuri Coxeter hiperbolice care reprezintă simplexuri ideale, grafuri în care îndepărtarea unui nod oarecare le transformă într-un grup Coxeter afin. Astfel, toate vârfurile acestui simplex ideal sunt la infinit.[12]

Ordin Grup ideal Subgrup afin
3 [(∞,∞,∞)] CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel split2-ii.pngCDel node.png [∞] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
4 [4[4]] CDel label4.pngCDel branch.pngCdel 4-4.pngCDel branch.pngCDel label4.png [4,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
4 [3[3,3]] CDel tet.png [3[3]] CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
4 [(3,6)[2]] CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label6.png [3,6] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
6 [(3,3,4)[2]] CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png [4,3,3,4], [3,4,3,3] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

Ordinele 4–10Modificare

Celulele euclidiene infinite, cum ar fi o pavare hexagonală, scalate corespunzător converg într-un singur punct ideal la infinit, ca fagurele pavare hexagonală, {6,3,3}, așa cum se arată cu această singură celulă într-o proiecție a modelului discului Poincaré

Există un total de 58 de grupuri Coxeter hiperbolice paracompacte de la ordinul 4 până la 10. Toate cele 58 sunt grupate mai jos în cinci categorii. Simbolurile literale sunt date de Johnson ca simboluri Witt extinse, folosind PQRSTWUV din simbolurile Witt afine și adăugând LMNOXYZ. Pentru scheme ciclice aceste grupuri hiperbolice primesc o suprabarare sau o acoladă unghiulară. Notația Coxeter cu paranteze este o reprezentare liniarizată a grupului Coxeter.

Grupuri hiperbolice paracompacte
Ordin Nr. total Grupuri
4 23

= [(3,3,4,4)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 4-3.pngCDel branch.pngCDel 2.png
= [(3,43)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 4-3.pngCDel branch.pngCDel label4.png
= [4[4]]: CDel label4.pngCDel branch.pngCdel 4-4.pngCDel branch.pngCDel label4.png
= [(33,6)]: CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel 2.png
= [(3,4,3,6)]: CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png
= [(3,5,3,6)]: CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png
= [(3,6)[2]]: CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label6.png

= [3,3[3]]: CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [4,3[3]]: CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
= [5,3[3]]: CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
= [6,3[3]]: CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
= [6,31,1]: CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
= [3,41,1]: CDel nodes.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [41,1,1]: CDel nodes.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

= [3,4,4]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [43]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
= [3,3,6]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
= [4,3,6]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
= [5,3,6]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
= [3,6,3]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [6,3,6]: CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png

= [3[]x[]]: CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.png
= [3[3,3]]: CDel tet.png

5 9

= [3,3[4]]: CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [4,3[4]]: CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
= [(32,4,3,4)]: CDel branch.pngCdel 4-4.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
= [3[3]x[]]: CDel node.pngCDel split1.pngCDel branchbranch.pngCDel split2.pngCDel node.png

= [4,3,((4,2,3))]: CDel nodes.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
= [3,4,31,1]: CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [4,32,1]: CDel nodes.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

= [(3,4)2]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

= [4,31,1,1]: CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
6 12

= [3,3[5]]: CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [(35,4)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
= [(3,3,4)[2]]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png

= [4,3,32,1]: CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
= [3,4,31,1]: CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [3,(3,4)1,1]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png

= [33,4,3]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [3,3,4,3,3]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [3,4,3,3,4]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

= [32,1,1,1]: CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

= [4,3,31,1,1]: CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
= [31,1,1,1,1]: CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png

7 3

= [3,3[6]]:
CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

= [31,1,3,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
= [4,32,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
8 4 = [3,3[7]]:
CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [31,1,32,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
= [4,33,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
= [33,2,2]:
CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
9 4 = [3,3[8]]:
CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [31,1,33,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
= [4,34,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
= [34,3,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
10 4 = [3,3[9]]:
CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [31,1,34,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
= [4,35,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
= [36,2,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Relațiile subgrupurilor grupurilor hiperbolice paracompacteModificare

Acești arbori reprezintă relațiile subgrupurilor grupurilor hiperbolice paracompacte. Indicii de subgrup pe fiecare conexiune sunt colorați în roșu.[13] Subgrupurile cu indicele 2 reprezintă o eliminare a oglinzii și dublarea fundamentală a domeniului. Altele pot fi deduse inferând comensurabilitatea (raportul întreg al volumelor) pentru domeniile tetraedrice.

Grupuri Coxeter hipercompacte (politopuri Vinberg)Modificare

La fel cum planul hiperbolic H2 are domenii poligonale netriunghiulare, există și domenii hiperbolice reflexive cu dimensiuni superioare. Aceste domenii nesimpliciale pot fi considerate simplexuri degenerate cu oglinzi de ordin infinit care nu se intersectează, sau, într-o diagramă Coxeter, astfel de ramuri sunt trasate cu linii punctate sau întrerupte. Aceste domenii nesimpliciale sunt numite politopuri Vinberg, după algoritmul Vinberg pentru găsirea domeniului fundamental nesimplicial al unui grup de reflexie hiperbolică. Geometric, aceste domenii fundamentale pot fi clasificate drept piramide patrulatere, sau prisme sau alte politopuri cu muchii generate de intersecție a două oglinzi având unghiurile diedre de π/n pentru n = 2, 3, 4... .

Într-un domeniu bazat pe un simplex există n+1 oglinzi pentru spațiul n-dimensional. În domeniile nesimpliciale, există mai mult de n+1 oglinzi. Lista este finită, dar nu este complet cunoscută. În schimb, au fost stabilite listele parțiale cu n+k oglinzi pentru k = 2, 3 și 4.

Grupurile Coxeter hipercompacte în spațiile tridimensionale sau mai mult diferă de grupurile bidimensionale într-un aspect esențial. Două n-goane hiperbolice având aceleași unghiuri în aceeași ordine ciclică pot avea laturi de lungimi diferite și nu sunt în general congruente. În schimb, politopurile Vinberg tridimensionale sau mai mult sunt complet determinate de unghiurile diedre. Acest fapt se bazează pe Teorema rigidității Mostow, că două grupuri izomorfe generate de reflexii în Hn pentru n ≥ 3, definesc domenii fundamentale congruente (politopurile Vinberg).

Politopuri Vinberg de ordinul n+2 din spațiul n-dimensionalModificare

Lista completă a politopurilor Vinberg hiperbolice compacte cu oglinzi de ordinul "n+2 din spațiul n-dimensional a fost stabilită de F. Esselmann în 1996.[14] O listă parțială a fost publicată în 1974 de I. M. Kaplinskaya.[15] Lista completă a soluțiilor paracompacte a fost publicată de P. Tumarkin în 2003, pentru dimensiuni de la 3 la 17.[16]

Cea mai mică formă paracompactă din H3 poate fi reprezentată de CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, sau [∞,3,3,∞] care poate fi construită printr-o îndepărtare în oglindă a grupului hiperbolic paracompact [3,4,4] ca [3,4,1+,4]. Domeniul fundamental dublat se schimbă de la un tetraedru la o piramidă patrulateră. Alte piramide includ [4,4,1+,4] = [∞,4,4,∞], CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png. Îndepărtarea unei oglinzi din unele dintre graficele Coxeter hiperbolice ciclice devin grafuri papion: [(3,3,4,1+,4)] = [((3,∞,3)),((3,∞,3))] sau CDel branchu.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, [(3,4,4,1+,4)] = [((4,∞,3)),((3,∞,4))] or CDel branchu.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel branchu.png, [(4,4,4,1+,4)] = [((4,∞,4)),((4,∞,4))] or CDel branchu.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel split1-44.pngCDel branchu.png.

Alte grafuri paracompacte valide cu domenii fundamentale piramide patrulatere includ:

Dimensiune Ordin Grafuri
H3 5
CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
CDel branchu.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
CDel branchu.pngCDel split2-53.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-54.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-55.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-63.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-64.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-65.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-66.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
CDel branchu.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-53.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel split1-44.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-54.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-55.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-63.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-64.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-65.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-66.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png

Alt subgrup [1+,41,1,1] = [∞,4,1+,4,∞] = [∞[6]]. CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.pngCDel split1-44.pngCDel nodes.png = CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel split1-uu.pngCDel nodes.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes.pngCDel split2-uu.pngCDel node.png.[17]

Politopuri Vinberg de ordinul n+3 din spațiul n-dimensionalModificare

Există un număr finit de simplexuri fundamentale degenerate care există până în 8 dimensiuni. Lista completă a politopurilor Vinberg compacte cu oglinzi de ordinul "n+3 pentru spații n-dimensionale a fost stabilită de P. Tumarkin în 2004. Aceste grupuri sunt etichetate prin linii punctate/întrerupte pentru ramurile ultraparalele. Lista completă a politopurilor Vinberg necompacte cu oglinzi de ordinul n+3 și cu un vârf nesimplu din n-dimensiuni a fost stabilită de Mike Roberts.[18]

De la dimensiunile 4 până la 8, grupurile Coxeter de ordinele 7 până 11 sunt enumerate ca 44, 16, 3, 1 și respectiv 1.[19] Cel mai mare a fost descoperit de Bugaenko în 1984 în dimensiunea 8, ordinul 11:[20]

Dimensiuni Ordin Cazuri Grafuri
H4 7 44 ...
H5 8 16 ..
H6 9 3 CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.pngCDel ua3b.pngCDel nodes u0.pngCDel ua3b.pngCDel nodes.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3aub.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel 10a.pngCDel nodea.png CDel nodea.pngCDel 5a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3aub.pngCDel nodes.pngCDel splitcross.pngCDel branch.pngCDel label5.png
H7 10 1 CDel node.pngCDel split1-53.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel ua3b.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2-53.pngCDel node.png
H8 11 1 CDel nodea.pngCDel 5a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3aub.pngCDel nodes 0u.pngCDel 3aub.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 5a.pngCDel nodea.png

Politopuri Vinberg de ordinul n+4 din spațiul n-dimensionalModificare

Există un număr finit de simplexuri fundamentale degenerate până îa 8 dimensiuni. Politopurile compacte Vinberg cu oglinzi de ordinul "n+4 din spațiul n-dimensional au fost explorate de A. Felikson și P. Tumarkin în 2005.[21]

Grupuri lorentzieneModificare

Faguri regulați cu grupuri lorentziene
Hyperbolic honeycomb 3-3-7 poincare cc.png
{3,3,7} văzut din afara modelului bilei Poincaré
Hyperbolic honeycomb 7-3-3 poincare vc.png
{7,3,3} văzut din afara modelului bilei Poincaré
Grupuri lorentziene de ordinul 5 aranjate ca subgrupuri ale [6,3,3,3] și [6,3,6,3]. Grupul foarte simetric CDel pent.png, [3[3,3,3]] este un subgrup indice 120 al [6,3,3,3]

Grupurile lorentziene pentru domeniile simpliciale pot fi definite ca grafuri dincolo de formele hiperbolice paracompacte. Acestea sunt uneori numite simplexuri superideale și sunt legate de o geometrie lorentziană, numită astfel după Hendrik Lorentz, în domeniul relativității restrânse și generale a spațiu–timpului, conținând una (sau mai multe) componente dimensionale „asemănătoare timpului” ale căror produse scalare proprii sunt negative.[9] Danny Calegari numește acestea grupuri Coxeter cocompacte convexe în spațiul hiperbolic n-dimensional.[22][23]

O lucrare din 1982 a lui George Maxwell, Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups (română Împachetarea sferelor și grupuri de reflexie hiperbolice), publică lista completă a lorentzienelor de la ordinul 5 la 11. El le numește de nivel 2, adică eliminarea oricărei permutări a 2 noduri duce la un graf finit sau euclidian. Enumerarea sa este completă, dar nu a enumerat grafurile care sunt un subgrup al altuia. Toate grupurile Coxeter cu ramuri de ordin superior lui 4 sunt lorentziene, terminându-se la limită ca un graf complet 3-simplex diagramă Coxeter–Dynkin cu 6 ramuri de ordin infinit, care poate fi exprimat ca [∞[3,3]]. Ordinele 5–11 au un număr finit de grupuri 186, 66, 36, 13, 10, 8 și respectiv 4 grupuri lorentziene.[24] Un articol din 2013, H. Chen și J.-P. Labbé, Lorentzian Coxeter groups and Boyd–Maxwell ball packings (română Grupuri Coxeter lorentziene și impachetări ale sferelor Boyd–Maxwell), au recalculat și publicat lista completă.[25]

Pentru ordinele superioare 8–11, listele complete sunt:

Grupuri Coxeter lorentziene
Ordin Nr. total Grupuri
4 [3,3,7] ... [∞,∞,∞]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png... CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png

[4,3[3]] ... [∞,∞[3]]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png... CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel split1-ii.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png
[5,41,1] ... [∞1,1,1]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1-44.pngCDel nodes.png... CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel split1-ii.pngCDel nodes.png
... [(5,4,3,3)] ... [∞[4]]: ... CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 4a3b.pngCDel branch.png... CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel iaib.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png
... [4[]×[]] ... [∞[]×[]]: ... CDel node.pngCDel split1-ii-i.pngCDel branch.pngCDel split2-ii.pngCDel node.png
... [4[3,3]] ... [∞[3,3]]

5 186 ...[3[3,3,3]]:CDel pent.png...
6 66
7 36 [31,1,1,1,1,1]: CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3.pngCDel node.png...
8 13

[3,3,3[6]]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
[3,3[6],3]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3,3[2+4],3]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[3,3[1+5],3]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
[3[ ]e×[3]]:CDel node.pngCDel splitsplit1.pngCDel nodeabc.pngCDel 3abc.pngCDel nodeabc.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.png

[4,3,3,33,1]:CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[31,1,3,33,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[3,(3,3,4)1,1]:CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[32,1,3,32,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

[4,3,3,32,2]:CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png
[31,1,3,32,2]:CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png

9 10

[3,3[3+4],3]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3,3[9]]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
[3,3[2+5],3]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split5b.pngCDel nodes.png

[32,1,32,32,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png [33,1,33,4]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png

[33,1,3,3,31,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

[33,3,2]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

[32,2,4]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[32,2,33,4]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[32,2,3,3,31,1]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png

10 8 [3,3[8],3]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

[3,3[3+5],3]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[3,3[9]]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png

[32,1,33,32,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png [35,3,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

[33,1,34,4]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
[33,1,33,31,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

[34,4,1]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
11 4 [32,1,34,32,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png [32,1,36,4]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png

[32,1,35,31,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

[37,2,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

Diagrame Coxeter foarte extinseModificare

Uneori se folosesc expresii care particularizează utilizarea directă a diagramei Dynkin. Folosirea diagramelor la grupuri afine este considerată „extinsă” (engleză extended), la grupuri hiperbolice „supraextinsă” (engleză over-extended), iar la grupuri simpliciale „foarte extinsă” (engleză very-extended). Aceste extensii sunt de obicei marcate cu un exponent de 1, 2 sau 3 simboluri „+” pentru numărul de noduri extinse. Această serie extinsă poate fi extinsă înapoi prin eliminarea secvențială a nodurile din aceeași poziție în graf, deși procesul se oprește după îndepărtarea nodului de ramificare. Familia extinsă E8 este cel mai frecvent exemplu de extindere înapoi la E3 și înainte spre E11.

Procesul de extindere poate defini o serie limitată de grafuri Coxeter care progresează de la finit la afin, la hiperbolic, la lorentzian. Determinantul matricelor Cartan determină unde seria se schimbă de la finit (pozitiv) la afin (zero) la hiperbolic (negativ) și se termină ca un grup lorentzian, conținând cel puțin un subgrup hiperbolic.[26] Grupurile necristalografice Hn formează o serie extinsă unde H4 este extensia ca grup hiperbolic compact și supraextensia ca grup lorentzian.

Determinanții matricilor Schläfli sunt:[27]

  • det(A1n=[2n-1]) = 2n (Finit pentru orice n)
  • det(An=[3n-1]) = n+1 (Finit pentru orice n)
  • det(Bn=[4,3n-2]) = 2 (Finit pentru orice n)
  • det(Dn=[3n-3,1,1]) = 4 (Finit pentru orice n)

Determinanții matricilor Schläfli din seriile excepționale sunt:

  • det(En=[3n-3,2,1]) = 9-n (Finit pentru E3(=A2A1), E4(=A4), E5(=D5), E6, E7 și E8, afin pentru E9 (), hiperbolic pentru E10)
  • det([3n-4,3,1]) = 2(8-n) (Finit pentru n=4 – 7, afin pentru () și hiperbolic pentru n=8)
  • det([3n-4,2,2]) = 3(7-n) (Finit pentru n=4 – 6, afin pentru () și hiperbolic pentru n=7)
  • det(Fn=[3,4,3n-3]) = 5-n (Finit pentru F3(=B3) – F4, afin pentru F5 () și hiperbolic pentru F6)
  • det(Gn=[6,3n-2]) = 3-n (Finit pentru G2, afin pentru G3 () și hiperbolic pentru G4)
Serii extinse mai mici
Finite
Ordin n [3[3],3n-3] [4,4,3n-3] Gn=[6,3n-2] [3[4],3n-4] [4,31,n-3] [4,3,4,3n-4] Hn=[5,3n-2]
2 [3]
A2
CDel branch.png
[4]
C2
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[6]
G2
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
[2]
A12
CDel nodes.png
[4]
C2
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[5]
H2
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
3 [3[3]]
A2+=
CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node c1.png
[4,4]
C2+=
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.png
[6,3]
G2+=
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png