Prismă triunghiulară

prismă cu trei fețe laterale
Acest articol se referă la un corp geometric. Pentru o prismă de difracție, vedeți prismă (optică).
Prismă triunghiulară uniformă
Triangular prism.png
(model 3D)
Descriere
Tippoliedru prismatic uniform
Fețe5 (2 triunghiuri, 3 paralelograme)
Laturi (muchii)9
Vârfuri6
χ2
Configurația vârfului4.4.3
Simbol Wythoff2 3 | 2
Simbol Schläflit{2,3} sau {3}×{}
Diagramă CoxeterCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Grup de simetrieD3h, [3,2], (*322), ordin 12
Grup de rotațieD3, [3,2]+, (322), ordin 6
Volum
Poliedru dualbipiramidă triunghiulară
Proprietățiconvexă
Figura vârfului
Triangular prism vertfig.svg
Desfășurată
Net of triangular prism.svg

În geometrie o prismă triunghiulară este o prismă cu trei fețe laterale; este un poliedru format dintr-o bază triunghiulară, o copie translată a ei și 3 fețe care unesc laturile bazelor. Ca poliedru cu cinci fețe, este un pentaedru.

O prismă triunghiulară dreaptă are fețele laterale dreptunghiulare, altfel este oblică. O prismă triunghiulară uniformă este o prismă triunghiulară dreptunghiulară cu bazele triunghiuri echilaterale și fețele laterale pătrate.

Echivalent, este un poliedru în care două fețe sunt paralele, în timp ce normalele celor trei fețe laterale sunt în același plan (care nu este neapărat paralel cu planele bazelor). Aceste trei fețe sunt paralelograme. Toate secțiunile paralele cu bazele sunt congruente cu bazele.

Ca poliedru semiregulat (sau uniform)Modificare

O prismă triunghiulară dreaptă este un poliedru semiregulat sau, dacă fețele de bază sunt triunghiuri echilaterale, iar celelalte trei fețe sunt pătrate, un poliedru uniform. Acesta poate fi văzut ca un hosoedru trigonal trunchiat, reprezentat de simbolul Schläfli t{2,3}. Alternativ, poate fi văzut ca produsul cartezian al unui triunghi și al unui segment. Dualul său este bipiramida triunghiulară.

Grupul de simetrie al unei prisme drepte triunghiulare este D3h de ordinul 12. Grupul de rotație⁠(d) este D3 de ordinul 6. Grupul de simetrie nu conține inversiunea față de centru.

VolumModificare

Volumul oricărei prisme este produsul dintre aria bazei și distanța dintre cele două baze. În acest caz, baza este un triunghi, așa că trebuie pur și simplu să se calculeze aria triunghiului și să se înmulțească aceasta cu lungimea prismei:

 

unde b este lungimea unei laturi a triunghiului, h este lungimea înălțimii ridicate pe acea latură, iar l este distanța dintre baze.

Prismă triunghiulară trunchiatăModificare

 
Prismă triunghiulară trunchiată

O prismă triunghiulară dreaptă trunchiată are o față triunghiulară trunchiată oblic la un unghi față de baza inițială.[1]

Volumul unei prisme triunghiulare trunchiate cu aria bazei A și cele trei înălțimi h1, h2 și h3 este determinat de[2]

 

FațetareModificare

Există două fațetări cu simetrie D3h complete ale unei prisme triunghiulare, ambele cu 6 fețe în formă de triunghi isoscel, una conservând triunghiurile inițiale de sus și de jos și cealaltă conservând pătratele inițiale. Două fațetări cu simetrie C3v inferioară au un triunghi ca bază, 3 fețe laterale pătrate intersectate și 3 fețe laterale triunghiulare isoscele.

Convexă Fațetări
Simetrie D3h Simetrie C3v
         
2 {3}
3 {4}
3 {4}
6 ( ) v { }
2 {3}
6 ( ) v { }
1 {3}
3 t'{2}
6 ( ) v { }
1 {3}
3 t'{2}
3 ( ) v { }

Poliedre și pavări înruditeModificare

 
Un tetraedru regulat (disfenoid tetragonal) poate fi divizat în două jumătăți de un pătrat central. Fiecare jumătate este topologic o prismă triunghiulară.
Familia prismelor n-gonale uniforme
Denumirea prismei Prismă digonală Prismă triunghiulară Prismă tetragonală Prismă pentagonală Prismă hexagonală Prismă heptagonală Prismă octogonală Prismă eneagonală Prismă decagonală Prismă endecagonală Prismă dodecagonală ... Prismă apeirogonală
Imagine                       ...
Pavare sferică                 Pavare plană  
Config. vârfului 2.4.4 3.4.4 4.4.4 5.4.4 6.4.4 7.4.4 8.4.4 9.4.4 10.4.4 11.4.4 12.4.4 ... ∞.4.4
Diagramă Coxeter                                                                   ...      
Familia cupolelor convexe
n 2 3 4 5 6
Schläfli {2} || t{2} {3} || t{3} {4} || t{4} {5} || t{5} {6} || t{6}
Cupolă  
Cupolă digonală
 
Cupolă triunghiulară
 
Cupolă pătrată
 
Cupolă pentagonală
 
Cupolă hexagonală
(plată)
Poliedre
uniforme
înrudite
Prismă triunghiulară
     
Cubocta-
edru

     
Rombi-
cubocta-
edru

     
Romb-
icosidodeca-
edru

     
Pavare
rombi-
trihexagonală

     

Variante de simetrieModificare

Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre trunchiate uniforme cu configurațiile vârfurilor cu simetriile grupurilor Coxeter (3.2n.2n) și [n,3].

Variante ale pavărilor trunchiate cu simetrie *n32: t{n,3}
Smetrie
*n32
[n,3]
Sferice Euclid. Hiperb. compacte Paracomp. Hiperbolice necompacte
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
[12i,3] [9i,3] [6i,3]
Figuri
trunchiate
                     
Schläfli t{2,3} t{3,3} t{4,3} t{5,3} t{6,3} t{7,3} t{8,3} t{∞,3} t{12i,3} t{9i,3} t{6i,3}
Figuri
triakis
               
Config. V3.4.4 V3.6.6 V3.8.8 V3.10.10 V3.12.12 V3.14.14 V3.16.16 V3.∞.∞

Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre cantelate cu figura vârfurilor (3.4.n.4) și continuă ca pavări ale planului hiperbolic. Aceste figuri tranzitive pe vârfuri au simetrie (*n32).

Variante de pavări expandate cu simetrie *n32: 3.4.n.4
Simetrie
*n32
[n,3]
Sferice Euclid. Hiperb. compacte Paracomp.
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
Imagine                
Vârf 3.4.2.4 3.4.3.4 3.4.4.4 3.4.5.4 3.4.6.4 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4

CompușiModificare

Există 4 compuși uniformi ai prismelor triunghiulare:

compus de patru prisme triunghiulare, compus de opt prisme triunghiulare, compus de zece prisme triunghiulare, compus de douăzeci de prisme triunghiulare.

FaguriModificare

Există 9 faguri uniformi care au celule în formă de prisme triunghiulare:

fagure cubic alternat giroalungit, fagure cubic alternat alungit, fagure prismatic triunghiular girat, fagure prismatic pătrat snub, fagure prismatic triunghiular, fagure prismatic triunghiular-hexagonal, fagure prismatic hexagonal trunchiat, fagure prismatic rombitriunghiular-hexagonal, fagure prismatic triunghiular-hexagonal snub, fagure prismatic triunghiular alungit.

Politopuri înruditeModificare

Prisma triunghiulară este prima dintr-o serie dimensională de politopuri semiregulate. Fiecare politop uniform progresiv este construit pe baza figurii vârfului care este politopul anterior. Thorold Gosset a identificat această serie în 1900, politopurile conținând toate fațetele politopurilor regulate, toate simplexurile și ortoplexurile (triunghiuri echilaterale și pătrate în cazul prismei triunghiulare). În notația Coxeter prismei triunghiulare i se dă simbolul −121.

Politopuri k21 în spațiul n-dimensional
Spațiu Finit Euclidian Hiperbolic
En 3 4 5 6 7 8 9 10
Grup
Coxeter
               
Diagramă
Coxeter
                                                                                         
Simetrie [3−1,2,1] [30,2,1] [31,2,1] [32,2,1] [33,2,1] [34,2,1] [35,2,1] [36,2,1]
Ordin 12 120 1920 51 840 2 903 040 696 729 600
Graf            
Nume −121 021 121 221 321 421 521 621

În spațiul cvadridimensionalModificare

Prisma triunghiulară există ca celule ale unui număr de 4-politopuri uniforme, inclusiv:

NoteModificare

  1. ^ en Kern, William F.; Bland, James R. (). Solid Mensuration with proofs. p. 81. OCLC 1035479. 
  2. ^ en „Volume of truncated prism”. Mathematics Stack Exchange. Accesat în . 

BibliografieModificare

Vezi șiModificare