Icosaedru triakis

poliedru Catalan
Icosaedru triakis
(animație și model 3D)
Descriere
TipPoliedru Catalan
Fețe60 triunghiuri isoscele
Laturi (muchii)90
Vârfuri32
χ2
Configurația vârfului20{3}+12{10}
Simbol ConwaykI
Diagramă Coxeter
Grup de simetrieIh, H3, [5,3], (*532)
Grup de rotațieI, [5,3]+, (532)
Unghi diedru160° 36′ 45″ = arccos(−24 + 155/61)
Poliedru dualDodecaedru trunchiat
ProprietățiPoliedru convex, tranzitiv pe fețe
Desfășurată

În geometrie un icosaedru triakis este un poliedru Catalan cu 60 de fețe. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Dualul icosaedrului triakis este dodecaedrul trunchiat. Este tranzitiv pe fețe.

Dual: Dodecaedru trunchiat

Coordonate carteziene și dimensiuni

modificare

Fie   secțiunea de aur. Cele 12 puncte date de   și permutările ciclice ale acestor coordonate sunt vârfurile unui icosaedru regulat. Dualul său, dodecaedrul regulat, ale cărui laturi intersectează pe cele ale icosaedrului în unghi drept, are ca vârfuri punctele   împreună cu punctele   și permutările ciclice ale acestor coordonate.[1] Înmulțind toate coordonatele acestui dodecaedru cu factorul   se obține un dodecaedru ceva mai mic. Cele 20 de vârfuri ale acestui dodecaedru, împreună cu vârfurile icosaedrului, sunt vârfurile unui icosaedru triakis centrat în origine. Lungimea laturilor sale lungi este de  . Fețele sale sunt triunghiuri isoscele cu un unghi obtuz de   și două ascuțite de  . Raportul lungimilor laturilor lungi și scurte ale acestor triunghiuri este  .

Proiecții ortogonale

modificare

Icosaedrul triakis are trei proiecții ortogonale particulare: una pe mijlocul laturilor și două pe vârfuri: ultimele două corespund planelor Coxeter A2 și H2.

Proiecții ortogonale sub formă de cadre de sârmă
Simetrie
proiectivă
[2] [6] [10]
Imagini      
Imagini
duale
     

Poliedre asemănătoare

modificare

Galeria prezintă o stelare și patru Kleetopuri ale icosaedrului triakis, cu piramide de diferite înălțimi.[2]

Poliedre înrudite

modificare
 
Icosaedrul triakis sferic

Este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre trunchiate uniforme cu configurațiile vârfurilor (3.2n.2n) și simetriile grupului Coxeter [n,3].

Familia de poliedre icosaedrice uniforme
Simetrie: [5,3], (*532) [5,3]+, (532)
               
                                               
{5,3} t{5,3} r{5,3} t{3,5} {3,5} rr{5,3} tr{5,3} sr{5,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
               
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

Icosaedrul triakis face parte dintr-o secvență de poliedre și pavări care se extinde în spațiul hiperbolic. Aceste figuri tranzitive pe fețe au simetria (*n32) în notația orbifold.

Variante ale pavărilor trunchiate cu simetrie *n32: t{n,3}
Smetrie
*n32
[n,3]
Sferice Euclid. Hiperb. compacte Paracomp. Hiperbolice necompacte
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
[12i,3] [9i,3] [6i,3]
Figuri
trunchiate
                     
Schläfli t{2,3} t{3,3} t{4,3} t{5,3} t{6,3} t{7,3} t{8,3} t{∞,3} t{12i,3} t{9i,3} t{6i,3}
Figuri
triakis
               
Config. V3.4.4 V3.6.6 V3.8.8 V3.10.10 V3.12.12 V3.14.14 V3.16.16 V3.∞.∞
  1. ^ en Koca, Mehmet; Ozdes Koca, Nazife; Koc, Ramazon (). „Catalan Solids Derived From 3D-Root Systems and Quaternions”. Journal of Mathematical Physics. 51 (4). arXiv:0908.3272 . doi:10.1063/1.3356985. 
  2. ^ en Brigaglia, Aldo; Palladino, Nicla; Vaccaro, Maria Alessandra (). „Historical notes on star geometry in mathematics, art and nature”. În Emmer, Michele; Abate, Marco. Imagine Math 6: Between Culture and Mathematics. Springer International Publishing. pp. 197–211. doi:10.1007/978-3-319-93949-0_17. 
  3. ^ en Cromwell, Peter R. (). Polyhedra. Cambridge University Press. p. 270. ISBN 0-521-66405-5. 
  4. ^ en Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (). The Symmetries of Things. AK Peters. p. 284. ISBN 978-1-56881-220-5. 
  5. ^ en Grünbaum, Branko (). „Can every face of a polyhedron have many sides?”. Geometry, games, graphs and education. The Joe Malkevitch Festschrift. Papers from Joe Fest 2008, York College–The City University of New York (CUNY), Jamaica, NY, USA, November 8, 2008. Bedford, MA: Comap, Inc. pp. 9–26. hdl:1773/4593. ISBN 978-1-933223-17-9. Zbl 1185.52009. 

Bibliografie

modificare

Legături externe

modificare