Tetraedru triakis

Tetraedru triakis
Triakistetrahedron.jpg
(animație și model 3D)
Descriere
TipPoliedru Catalan
Fețe12 (triunghiuri isoscele)
Laturi (muchii)18
Vârfuri8
χ2
Configurația fețeiV3.6.6
Simbol ConwaykT
Diagramă CoxeterCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Grup de simetrieTd, A3, [3,3], (*332), ordin 24
Grup de rotațieT, [3,3]+, (332), ordin 12
Arie≈ 5,528 a2   (a = latura mică)
Volum≈ 0,982 a3   (a = latura mică)
Unghi diedru129° 31′ 16″ = arccos(−7/11)
Poliedru dualTetraedru trunchiat
ProprietățiPoliedru convex, tranzitiv pe fețe
Desfășurată
Triakistetrahedron net.png

În geometrie, un tetraedru triakis este un poliedru Catalan cu 12 fețe. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Dualul tetraedrului triakis este tetraedrul trunchiat.

Dual: Tetraedru trunchiat

Tetraedrul triakis poate fi considerat un tetraedru cu o piramidă triunghiulară adăugată pe fiecare față, adică este un Kleetop al tetraedrului. Este foarte asemănător cu desfășurata unui 5-celule, deoarece dacă desfășurata unui tetraedru este un triunghi cu alte triunghiuri adăugate la fiecare latură, desfășurata a 5-celule este un tetraedru cu piramide atașate la fiecare față. Această interpretare este exprimată prin nume.

Lungimea laturilor mai scurte este de 3/5 din cea a laturilor mai lungi.[1] Dacă tetraedrul triakis are lungimea laturii mai scurte 1, are aria 5/311 și volumul 25/362.

Coordonate cartezieneModificare

Coordonatele carteziene ale celor 8 vârfuri ale unui tetraedru triakis centrat în origine sunt punctele (±5/3, ±5/3, ±5/3) cu un număr par de semne minus, împreună cu punctele (±1, ±1, ±1) cu un număr impar de semne minus:

  • (5/3, 5/3, 5/3), (5/3, −5/3, −5/3), (−5/3, 5/3, −5/3), (−5/3, −5/3, 5/3)
  • (−1, 1, 1), (1, −1, 1), (1, 1, −1), (−1, −1, −1)

Lungimea laturilor mai scurte ale acestui tetraedru triakis este egală cu  . Fețele sunt triunghiuri isoscele cu un unghi obtuz și două unghiuri ascuțite. Unghiul obtuz are valoarea   iar cele ascuțite  .

Simetrie tetartoidăModificare

Tetraedrul triakis poate fi construit ca o limită degenerată a unui tetartoid:

Exemple de variații tetartoide
 
Tetartoid 0%
(Dodecaedru regulat)
 
Tetartoid 10%
 
Tetartoid 20%
 
Tetartoid 30%
 
Tetartoid 60%
 
Tetartoid 80%
 
Tetartoid 95%
 
Tetartoid 100%
(Tetraedru triakis)

Proiecții ortogonaleModificare

Proiecții ortogonale (grafuri)
Centrat pe Latura scurtă Față Vîrf Latura lungă
Tetraedru triakis        
(Dual)
Tetraedru
trunchiat
       
Simetrie
proiectivă
[1] [3] [4]

VariațiiModificare

 
5-celule

Un tetraedru triakis cu fețe triunghiulare echilaterale este desfășurata politopului regulat cvadridimensional cunoscut sub numele de 5-celule.

Dacă triunghiurile sunt dreptunghice isoscele, fețele vor fi coplanare și vor forma un volum cubic. Acest lucru poate fi văzut prin adăugarea celor 6 laturi ale tetraedrului în interiorul unui cub (disfenoid rombic).

StelăriModificare

Această figură chirală este una dintre cele treisprezece stelări permise de regulile lui Miller.[2]

Poliedre înruditeModificare

 
Tetraedru triakis sferic

Tetraedrul triakis este o parte a unei secvențe de poliedre și pavări, extinzându-se în planul hiperbolic. Aceste figuri tranzitive pe fețe au simetrie de reflexie (*n32) în Notația orbifold.

Variante ale pavărilor trunchiate cu simetrie *n32: t{n,3}
Smetrie
*n32
[n,3]
Sferice Euclid. Hiperb. compacte Paracomp. Hiperbolice necompacte
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
[12i,3] [9i,3] [6i,3]
Figuri
trunchiate
                     
Schläfli t{2,3} t{3,3} t{4,3} t{5,3} t{6,3} t{7,3} t{8,3} t{∞,3} t{12i,3} t{9i,3} t{6i,3}
Figuri
triakis
               
Config. V3.4.4 V3.6.6 V3.8.8 V3.10.10 V3.12.12 V3.14.14 V3.16.16 V3.∞.∞
Familia poliedrelor tetraedrice uniforme
Simetrie: [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
               
                                               
{3,3} t{3,3} r{3,3} t{3,3} {3,3} rr{3,3} tr{3,3} sr{3,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
               
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3

NoteModificare

  1. ^ en „Triakis Tetrahedron - Geometry Calculator”. 
  2. ^ en H.S.M. Coxeter, Patrick du Val, H.T. Flather, J.F. Petrie (1938) The Fifty-nine Icosahedra, University of Toronto studies, mathematical series 6: 1–26

BibliografieModificare

Legături externeModificare