Tetraedru triakis
| Tetraedru triakis | |
 | |
| (animație și model 3D) | |
| Descriere | |
|---|---|
| Tip | Poliedru Catalan |
| Fețe | 12 (triunghiuri isoscele) |
| Laturi (muchii) | 18 |
| Vârfuri | 8 |
| χ | 2 |
| Configurația feței | V3.6.6 |
| Simbol Conway | kT |
| Diagramă Coxeter |    |
| Grup de simetrie | Td, A3, [3,3], (*332), ordin 24 |
| Grup de rotație | T, [3,3]+, (332), ordin 12 |
| Arie | ≈ 5,528 a2 (a = latura mică) |
| Volum | ≈ 0,982 a3 (a = latura mică) |
| Unghi diedru | 129° 31′ 16″ = arccos(−711) |
| Poliedru dual | Tetraedru trunchiat |
| Proprietăți | Poliedru convex, tranzitiv pe fețe |
| Desfășurată | |
 | |
În geometrie, un tetraedru triakis este un poliedru Catalan cu 12 fețe. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Dualul tetraedrului triakis este tetraedrul trunchiat.
Tetraedrul triakis poate fi considerat un tetraedru cu o piramidă triunghiulară adăugată pe fiecare față, adică este un Kleetop al tetraedrului. Este foarte asemănător cu desfășurata unui 5-celule, deoarece dacă desfășurata unui tetraedru este un triunghi cu alte triunghiuri adăugate la fiecare latură, desfășurata a 5-celule este un tetraedru cu piramide atașate la fiecare față. Această interpretare este exprimată prin nume.
Lungimea laturilor mai scurte este de 35 din cea a laturilor mai lungi.[1] Dacă tetraedrul triakis are lungimea laturii mai scurte 1, are aria 53√11 și volumul 2536√2.
Coordonate carteziene
modificareCoordonatele carteziene ale celor 8 vârfuri ale unui tetraedru triakis centrat în origine sunt punctele (±5/3, ±5/3, ±5/3) cu un număr par de semne minus, împreună cu punctele (±1, ±1, ±1) cu un număr impar de semne minus:
- (5/3, 5/3, 5/3), (5/3, −5/3, −5/3), (−5/3, 5/3, −5/3), (−5/3, −5/3, 5/3)
- (−1, 1, 1), (1, −1, 1), (1, 1, −1), (−1, −1, −1)
Lungimea laturilor mai scurte ale acestui tetraedru triakis este egală cu . Fețele sunt triunghiuri isoscele cu un unghi obtuz și două unghiuri ascuțite. Unghiul obtuz are valoarea iar cele ascuțite .
Simetrie tetartoidă
modificareTetraedrul triakis poate fi construit ca o limită degenerată a unui tetartoid:
 Tetartoid 0% (Dodecaedru regulat) |
 Tetartoid 10% |
 Tetartoid 20% |
 Tetartoid 30% |
 Tetartoid 60% |
 Tetartoid 80% |
 Tetartoid 95% |
Tetartoid 100% (Tetraedru triakis) |
Proiecții ortogonale
modificare| Proiecții ortogonale (grafuri) | ||||
|---|---|---|---|---|
| Centrat pe | Latura scurtă | Față | Vîrf | Latura lungă |
| Tetraedru triakis | 
|
|
|
|
| (Dual) Tetraedru trunchiat |
|
|
|
|
| Simetrie proiectivă |
[1] | [3] | [4] | |
| Proiecții ortogonale (corpuri) | ||||
|---|---|---|---|---|
| Tetraedru triakis |
|
|
|
|
| Compus dual |
|
|
|
|
| (Dual) Tetraedru trunchiat |
|
|
|
|
| Simetrie proiectivă |
[1] | [2] | [3] | |
Variații
modificare
Un tetraedru triakis cu fețe triunghiulare echilaterale este desfășurata politopului regulat cvadridimensional cunoscut sub numele de 5-celule.
Dacă triunghiurile sunt dreptunghice isoscele, fețele vor fi coplanare și vor forma un volum cubic. Acest lucru poate fi văzut prin adăugarea celor 6 laturi ale tetraedrului în interiorul unui cub (bisfenoid rombic).
Stelări
modificare
Această figură chirală este una dintre cele treisprezece stelări permise de regulile lui Miller.[2]
Poliedre înrudite
modificare
Tetraedrul triakis este o parte a unei secvențe de poliedre și pavări, extinzându-se în planul hiperbolic. Aceste figuri tranzitive pe fețe au simetrie de reflexie (*n32) în Notația orbifold.
| Variante ale pavărilor trunchiate cu simetrie *n32: t{n,3} | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Smetrie *n32 [n,3] |
Sferice | Euclid. | Hiperb. compacte | Paracomp. | Hiperbolice necompacte | ||||||
| *232 [2,3] |
*332 [3,3] |
*432 [4,3] |
*532 [5,3] |
*632 [6,3] |
*732 [7,3] |
*832 [8,3]... |
*∞32 [∞,3] |
[12i,3] | [9i,3] | [6i,3] | |
| Figuri trunchiate |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Schläfli | t{2,3} | t{3,3} | t{4,3} | t{5,3} | t{6,3} | t{7,3} | t{8,3} | t{∞,3} | t{12i,3} | t{9i,3} | t{6i,3} |
| Figuri triakis |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
| Config. | V3.4.4 | V3.6.6 | V3.8.8 | V3.10.10 | V3.12.12 | V3.14.14 | V3.16.16 | V3.∞.∞ | |||
| Familia poliedrelor tetraedrice uniforme | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Simetrie: [3,3], (*332) | [3,3]+, (332) | ||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| {3,3} | t{3,3} | r{3,3} | t{3,3} | {3,3} | rr{3,3} | tr{3,3} | sr{3,3} |
| Duale ale poliedrelor uniforme | |||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| V3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3.3 |
Note
modificare- ^ en „Triakis Tetrahedron - Geometry Calculator”.
- ^ en H.S.M. Coxeter, Patrick du Val, H.T. Flather, J.F. Petrie (1938) The Fifty-Nine Icosahedra, University of Toronto studies, mathematical series 6: 1–26
Bibliografie
modificare- en Williams, Robert (). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
- en Wenninger, Magnus (), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 14, Triakistetrahedron)
- en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008). The Symmetries of Things, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 284, Triakis tetrahedron )
Legături externe
modificare
- en Eric W. Weisstein, Triakis tetrahedron la MathWorld.
- en Eric W. Weisstein, Catalan solid la MathWorld.