Octaedru triakis

poliedru Catalan
Octaedru triakis
Triakisoctahedron.jpg
(animație și model 3D)
Descriere
TipPoliedru Catalan
Fețe24 (triunghiuri isoscele)
Laturi (muchii)36
Vârfuri14
χ2
Configurația vârfului8{3}+6{8}
Configurația fețeiV3.8.8
Simbol ConwaykO
Diagramă CoxeterCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Grup de simetrieOh, B3, [4,3], (*432), ordin
Grup de rotațieO, [4,3]+, (432), ordin
Arie≈ 10,673 a2   (a = latura mică)
Volum≈   2,914 a3   (a = latura mică)
Unghi diedru147° 21′ 00″
arccos(−3 + 82/17)
Poliedru dualCub trunchiat
ProprietățiPoliedru convex, tranzitiv pe fețe
Desfășurată
Triakisoctahedron net.png

În geometrie, un octaedru triakis este un poliedru Catalan cu 24 de fețe. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Dualul tetraedrului triakis este cubul trunchiat.

Dual: Cub trunchiat

Octaedrul triakis poate fi considerat un octaedru cu o piramidă triunghiulară adăugată pe fiecare față, adică este un Kleetop al octaedrului. Numele său exprimă faptul că are câte trei fețe triunghiulare pentru fiecare față a octaedrului.

Acest poliedru convex este similar topologic cu octaedrul stelat concav. Au aceeași conexiune a fețelor, dar diferă distanțele relative față de centru ale vârfurilor.

Dacă laturile sale mai scurte au lungimea 1, aria și volumul acestuia sunt:

Coordonate cartezieneModificare

Cu  , cele 14 puncte   și  ,   și   sunt vârfurile octaedrului triakis centrat în origine.

Dacă lungimea laturilor lungi este  , cea a laturilor scurte este  .

Fețele sunt triunghiuri isoscele cu un unghi obtuz și două unghiuri ascuțite. Unghiul obtuz este de   iar cele ascuțite de  .

Proiecții ortogonaleModificare

Octaedrul triakis are trei poziții de simetrie particulare, două situate pe vârfuri și una la mijlocul laturilor:

Proiecții ortogonale
Simetrie
proiectivă
[2] [4] [6]
Octaedru
triakis
     
Cub
trunchiat
     

Poliedre înruditeModificare

 
Animație cu octaedrul triakis și alte poliedre înrudite
 
Octaedru triakis sferic

Octaedrul triakis face parte din familia dualelor poliedrelor uniforme legate de cub și de octaedrul regulat.

Poliedre octaedrice uniforme    
Simetrie: [4,3], (*432) [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)
[3+,4]
(3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{31,1}
                                                     
     
=    
     
=    
     
=    
            =
    sau    
      =
    sau    
      =
   
     
 
 
 
 
 
 
 
           
 
Dualele celor de mai sus
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V33 V3.62 V35
                                                                 
                                         
                     


Octaedrul triakis este o parte a unei secvențe de poliedre și pavări, extinzându-se în planul hiperbolic. Aceste figuri tranzitive pe fețe au simetrie de reflexie (*n32) în notația orbifold.

Variante ale pavărilor trunchiate cu simetrie *n32: t{n,3}
Smetrie
*n32
[n,3]
Sferice Euclid. Hiperb. compacte Paracomp. Hiperbolice necompacte
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
[12i,3] [9i,3] [6i,3]
Figuri
trunchiate
                     
Schläfli t{2,3} t{3,3} t{4,3} t{5,3} t{6,3} t{7,3} t{8,3} t{∞,3} t{12i,3} t{9i,3} t{6i,3}
Figuri
triakis
               
Config. V3.4.4 V3.6.6 V3.8.8 V3.10.10 V3.12.12 V3.14.14 V3.16.16 V3.∞.∞

Octaedrul triakis este și o parte a unei secvențe de poliedre și pavări, extinzându-se în planul hiperbolic. Aceste figuri tranzitive pe fețe au simetrie de reflexie (*n42) în notația orbifold.

Variante de simetrii *n42 ale pavărilor trunchiate: n.8.8
Simetrie
*n42
[n,4]
Sferice] Euclidiană Compacte hiperbolice Paracompactă
*242
[2,4]
*342
[3,4]
*442
[4,4]
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]...
*∞42
[∞,4]
Figuri
trunchiate
               
Config. 2.8.8 3.8.8 4.8.8 5.8.8 6.8.8 7.8.8 8.8.8 ∞.8.8
Figuri
n-kis
               
Config. V2.8.8 V3.8.8 V4.8.8 V5.8.8 V6.8.8 V7.8.8 V8.8.8 V∞.8.8

NoteModificare


BibliografieModificare

  • en Williams, Robert (). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  • en Wenninger, Magnus (), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 17, Triakisoctahedron)
  • en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008) The Symmetries of Things ISBN: 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 284, Triakis octahedron)

Legături externeModificare