Dodecaedru trunchiat

poliedru arhimedic
Dodecaedru trunchiat
(animație și model 3D)
Descriere
TipPoliedru arhimedic
(Poliedru uniform)
Fețe32 (20 triunghiuri, 12 decagoane)
Laturi (muchii)90
Vârfuri60
χ2
Configurația vârfului3.10.10
Simbol Wythoff2 3 | 5
Simbol Schläflit{5,3}
t0,1{5,3}
Simbol ConwaytD
Diagramă Coxeter
Grup de simetrieIh, H3, [5,3], (*532), ordin 120
Grup de rotațieI, [5,3]+, (532), ordin 60
Arie≈ 100,991 a2   (a = latura)
Volum≈   85,039 a3   (a = latura)
Unghi diedru10-10: 116,57°
  3-10: 142,62°
Poliedru dualIcosaedru triakis
ProprietățiPoliedru semiregulat (paraleloedru, permutoedru, zonoedru) convex cu fețe poligoane regulate, tranzitiv pe vârfuri
Figura vârfului
Desfășurată

În geometrie dodecaedrul trunchiat este un poliedru arhimedic. Se obține dintr-un dodecaedru regulat prin îndepărtarea a douăzeci de piramide, câte una din fiecare vârf al dodecaedrului. Astfel, fețele pentagonale ale dodecaedrului inițial devin decagoane, iar vârfurile devin triunghiuri echilaterale. Are 32 de fețe regulate (20 de triunghiuri și 12 decagoane), 90 de laturi și 60 de vârfuri. Deoarece fiecare dintre fețele sale are simetrie față de centru, dodecaedrul trunchiat este un zonoedru.

Poliedrul său dual este icosaedrul triakis.

Poate tesela spațiul hiperbolic sub forma fagurelui icosaedric bitrunchiat, caz în care este tranzitiv pe celule.

Are indicele de poliedru uniform U26,[1] indicele Coxeter C29 și indicele Wenninger W10.

Aria și voluml

modificare

Aria A și volumul V al dodecaedrului trunchiat cu lungimea laturii a sunt:

 

Coordonate carteziene

modificare

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui dodecaedru trunchiat cu lungimea laturii 2φ − 2, centrat în origine,[2] sunt permutările a:

 
 
 

unde   este secțiunea de aur.

Proiecții ortogonale

modificare

Dodecaedrul trunchiat are cinci proiecții ortogonale particulare, centrate: pe un vârf, pe două tipuri de laturi și pe două tipuri de fețe. Ultimele două corespund planelor Coxeter A2 și H2

Proiecții ortogonale
Centrată pe Vârf Latură
3-10
Latură
10-10
Față
triunghi
Față
decagon
Imagine      
Cadru de sârmă          
Simetrie
proiectivă
[2] [2] [2] [6] [10]
Dual          

Pavări sferice și diagrame Schlegel

modificare
Proiecții ortogonale Proiecții stereografice
   
Centrată pe decagon
 
Centrată pe triunghi
     

Diagramele Schlegel sunt similare cu o proiecție în perspectivă cu muchii drepte.

Dodecaedrul trunchiat poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat în plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, conservând unghiurile, dar nu și ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.

Dispunerea vârfurilor

modificare

Are aceeași dispunere a vârfurilor cu trei poliedre uniforme neconvexe:

Poliedre cu aceeași dispunere a vârfurilor
 
Dodecaedru trunchiat
 
Marele icosicosidodecaedru
 
Marele dodecicosidodecaedru ditrigonal
 
Marele dodecicosaedru

Poliedre și pavări înrudite

modificare
 
Dual, icosaedru triakis

Face parte din procesele de trunchiere între un dodecaedru și un icosaedru:

Familia de poliedre icosaedrice uniforme
Simetrie: [5,3], (*532) [5,3]+, (532)
               
                                               
{5,3} t{5,3} r{5,3} t{3,5} {3,5} rr{5,3} tr{5,3} sr{5,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
               
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre trunchiate uniforme cu configurațiile vârfurilor (3.2n.2n) și simetriile grupului Coxeter [n,3].

Variante de simetrii *n32 ale pavărilor sferice trunchiate: t{n,3}
Simetrii
*n32
[n,3]
Sferice Euclidiană Hiperb. compacte Paracomp.
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
Figuri
trunchiate
               
Schläfli t{2,3} t{3,3} t{4,3} t{5,3} t{6,3} t{7,3} t{8,3} t{∞,3}
Figuri
triakis
               
Config. V3.4.4 V3.6.6 V3.8.8 V3.10.10 V3.12.12 V3.14.14 V3.16.16 V3.∞.∞

Bibliografie

modificare
  • en Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., ISBN: 0-486-23729-X. (Section 3-9)
  • en Cromwell, P. (). Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. pp. 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2. 

Vezi și

modificare

Legături externe

modificare