Dodecaedru trunchiat

Dodecaedru trunchiat
Fișier:TruncatedDodecahedron.svg
(animație și model 3D)
Descriere
Tip	Poliedru arhimedic (Poliedru uniform)
Fețe	32 (20 triunghiuri, 12 decagoane)
Laturi (muchii)	90
Vârfuri	60
χ	2
Configurația vârfului	3.10.10
Simbol Wythoff	2 3 | 5
Simbol Schläfli	t{5,3} t0,1{5,3}
Simbol Conway	tD
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	Ih, H3, [5,3], (*532), ordin 120
Grup de rotație	I, [5,3]+, (532), ordin 60
Arie	≈ 100,991 a2   (a = latura)
Volum	≈   85,039 a3   (a = latura)
Unghi diedru	10-10: 116,57°   3-10: 142,62°
Poliedru dual	Icosaedru triakis
Proprietăți	Poliedru semiregulat (paraleloedru, permutoedru, zonoedru) convex cu fețe poligoane regulate, tranzitiv pe vârfuri
Figura vârfului
Desfășurată

În geometrie dodecaedrul trunchiat este un poliedru arhimedic. Se obține dintr-un dodecaedru regulat prin îndepărtarea a douăzeci de piramide, câte una din fiecare vârf al dodecaedrului. Astfel, fețele pentagonale ale dodecaedrului inițial devin decagoane, iar vârfurile devin triunghiuri echilaterale. Are 32 de fețe regulate (20 de triunghiuri și 12 decagoane), 90 de laturi și 60 de vârfuri. Deoarece fiecare dintre fețele sale are simetrie față de centru, dodecaedrul trunchiat este un zonoedru.

Poliedrul său dual este icosaedrul triakis.

Poate tesela spațiul hiperbolic sub forma fagurelui icosaedric bitrunchiat, caz în care este tranzitiv pe celule.

Are indicele de poliedru uniform U₂₆, indicele Coxeter C₂₉ și indicele Wenninger W₁₀.

Aria și voluml

Aria A și volumul V al dodecaedrului trunchiat cu lungimea laturii a sunt:

${\begin{aligned}A&=5\left({\sqrt {3}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}&&\approx 100,990\,76~a^{2}\\V&={\tfrac {5}{12}}\left(99+47{\sqrt {5}}\right)a^{3}&&\approx 85,039\,6646~a^{3}\end{aligned}}$

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui dodecaedru trunchiat cu lungimea laturii 2φ − 2, centrat în origine, sunt permutările a:

$\left(\,0,\,\pm (\varphi -1),\,\pm (\varphi +2)\,\right)$

$\left(\,\pm (\varphi -1),\,\pm \varphi ,\,\pm 2\varphi \,\right)$

$\left(\,\pm {\varphi },\,\pm 2,\,\pm (\varphi +1)\,\right)$

unde $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ este secțiunea de aur.

Proiecții ortogonale

Dodecaedrul trunchiat are cinci proiecții ortogonale particulare, centrate: pe un vârf, pe două tipuri de laturi și pe două tipuri de fețe. Ultimele două corespund planelor Coxeter A₂ și H₂

Proiecții ortogonale

Centrată pe	Vârf	Latură 3-10	Latură 10-10	Față triunghi	Față decagon
Imagine
Cadru de sârmă
Simetrie proiectivă	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
Dual

Pavări sferice și diagrame Schlegel

Proiecții ortogonale	Proiecții stereografice
	Centrată pe decagon	Centrată pe triunghi

Diagramele Schlegel sunt similare cu o proiecție în perspectivă cu muchii drepte.

Dodecaedrul trunchiat poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat în plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, conservând unghiurile, dar nu și ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.

Dispunerea vârfurilor

Are aceeași dispunere a vârfurilor cu trei poliedre uniforme neconvexe:

Poliedre cu aceeași dispunere a vârfurilor

Dodecaedru trunchiat

Marele icosicosidodecaedru

Marele dodecicosidodecaedru ditrigonal

Marele dodecicosaedru

Poliedre și pavări înrudite

Dual, icosaedru triakis

Face parte din procesele de trunchiere între un dodecaedru și un icosaedru:

Familia de poliedre icosaedrice uniforme
Simetrie: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
			Fișier:PentakisDodecahedron.svg
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre trunchiate uniforme cu configurațiile vârfurilor (3.2n.2n) și simetriile grupului Coxeter [n,3].

Variante de simetrii *n32 ale pavărilor sferice trunchiate: t{n,3}
Simetrii *n32 [n,3]	Sferice				Euclidiană	Hiperb. compacte		Paracomp.
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Figuri trunchiate
Schläfli	t{2,3}	t{3,3}	t{4,3}	t{5,3}	t{6,3}	t{7,3}	t{8,3}	t{∞,3}
Figuri triakis
Config.	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14	V3.16.16	V3.∞.∞

Bibliografie

• en Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., ISBN: 0-486-23729-X. (Section 3-9)
• en Cromwell, P. (1997). Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. pp. 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2. 

Vezi și

• Lista poliedrelor uniforme

Legături externe

• en Eric W. Weisstein, Truncated dodecahedron la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Archimedean solid la MathWorld.
• en Editable printable net of a truncated dodecahedron with interactive 3D view
• en The Uniform Polyhedra
• en Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra

• en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: tid