Icosidodecaedru trunchiat

poliedru arhimedic
Icosidodecaedru trunchiat
Truncatedicosidodecahedron.jpg
(animație și model 3D)
Descriere
TipPoliedru arhimedic
(Poliedru uniform)
Fețe62 (30 pătrate, 20 hexagoane, 12 decagoane)
Laturi (muchii)180
Vârfuri120
χ2
Configurația vârfului4.6.10
Simbol Wythoff2 3 5 |
Simbol Schläflitr{5,3} sau
Simbol ConwaybD sau taD
Diagramă CoxeterCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Grup de simetrieIh, H3, [5,3], (*532), ordin 120
Grup de rotațieI, [5,3]+, (532), ordin 60
Arie≈ 174,292 a2   (a = latura)
Volum≈ 206,803 a3   (a = latura)
Unghi diedru6-10: 142,62°
4-10: 148,28°
4-6:   159,095°
Poliedru dualTriacontaedru disdiakis
ProprietățiPoliedru semiregulat (zonoedru) convex cu fețe poligoane regulate, tranzitiv pe vârfuri
Figura vârfului
Polyhedron great rhombi 12-20 vertfig.svg
Desfășurată
Polyhedron great rhombi 12-20 net.svg

În geometrie icosidodecaedrul trunchiat este un poliedru arhimedic. Are 62 de fețe regulate (30 de pătrate, 20 de hexagoane și 12 decagoane), 180 de laturi și 120 de vârfuri. Deoarece fiecare dintre fețele sale are simetrie față de centru, icosidodecaedrul trunchiat este un zonoedru.

Are cele mai multe laturi și vârfuri dintre toate poliedrele platonice și arhimedice, însă dodecaedrul snub are mai multe fețe. Dintre toate poliedrele tranzitive pe vârfuri are cel mai mare procent (89,80 %) din volumul unei sfere în care este înscris, doar cu puțin mai mult ca dodecaedrul snub (care are 89,63 %) și micul rombicosidodecaedru (care are 89,23 %), respectiv icosaedrul trunchiat (care are 86,74 %). De asemenea, are de departe cel mai mare volum (206,8 unități cubice) pentru lungimea laturii de 1. Dintre toate poliedrele tranzitive pe vârfuri care nu sunt prisme sau antiprisme, are cea mai mare sumă a unghiurilor la vârfuri (90° + 120° + 144° = 354°); doar o prismă sau o antiprismă cu mai mult de 60 de laturi ar avea o sumă mai mare.

Poliedrul său dual este triacontaedru disdiakis.

Are indicele de poliedru uniform U28,[1] indicele Coxeter C31 și indicele Wenninger W16.

Nume alternativeModificare

 
Icosidodecaedrul,
 
trunchierea sa
 
Dual, Triacontaedru disdiakis

Numele de icosidodecaedru trunchiat i-a fost dat de Johannes Kepler. Aceste nume poate crea confuzii, deoarece actual prin trunchiere un icosidodecaedru are dreptunghiuri în locul pătratelor, însă acel poliedru neuniform este topologic echivalent cu poliedrul arhimedic numit astfel (nu tocmai riguros). Alte nume sunt:

Există un poliedru uniform neconvex cu un nume asemănător: marele rombicosaedru neconvex.

Arie și volumModificare

Aria A și volumul V ale icosidodecaedrului trunchiat cu latura de lungime a sunt:

 

Dintre toate poliedrele arhimedice cu lungimile laturilor egale, icosidodecaedrul trunchiat ar fi cel mai mare.

Coordonate cartezieneModificare

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui icosidodecaedru trunchiat cu lungimea laturii 2φ − 2, centrat în origine,[3] sunt permutările a:

1/φ, ±1/φ, ±(3 + φ)),
2/φ, ±φ, ±(1 + 2φ)),
1/φ, ±φ2, ±(−1 + 3φ)),
(±(2φ − 1), ±2, ±(2 + φ)) and
φ, ±3, ±2φ),

unde φ = 1 + 5/2 este secțiunea de aur.

DivizareModificare

Imagini de divizare
     
Aceste imagini arată rombicosidodecaedrul (violet) și icosidodecaedrul trunchiat (verde). Dacă lungimea laturilorlor este 1, distanța dintre pătratele corespunzătoare este φ. Poliedrul toroidal rămas după ce nucleul și cele douăsprezece rotonde sunt îndepărtate

Icosidodecaedrul trunchiat este anvelopa convexă a unui rombicosidodecaedru cu paralelipipede dreptunghice deasupra celor 30 de pătrate, al cărui raport înălțime/bază este φ. Restul spațiului său poate fi divizat în cupole neuniforme, și anume 12 cupole pentagonale între pentagoanele interioare și decagoanele exterioare și 20 de cupole triunghiulare între triunghiurile interioare hexagoanele exterioare.

O divizare alternativă are și un nucleu rombicosidodecaedral. Are 12 rotonde pentagonale între pentagoanele interioare și decagoanele exterioare. Partea rămasă este un poliedru toroidal.

Proiecții ortogonaleModificare

Icosidodecaedrul trunchiat are șapte proiecții ortogonale particulare, centrate: pe un vârf, pe trei tipuri de muchii și pe trei tipuri de fețe. Ultimele două corespund planelor Coxeter A2 și H2

Proiecții ortogonale
Centrată pe Vârf Latură
4-6
Latură
4-10
Latură
6-10
Față
pătrat
Față
hexagon
Față
decagon
Imagine      
Cadru de sârmă              
Simetrie
proiectivă
[2]+ [2] [2] [2] [2] [6] [10]
Imagine
dual
             

Pavări sferice și diagrame SchlegelModificare

Icosidodecaedrul trunchiat poate fi considerat și ca o pavare sferică și proiectat într-un plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, păstrând unghiurile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.

Diagramele Schlegel sunt similare cu o proiecție în perspectivă cu muchii drepte.

Proiecții ortogonale Proiecții stereografice
Centrată pe decagon Centrată pe hexagon Centrată pe pătrat
       


Variații geometriceModificare

În simetria icosaedrică există variații geometrice nelimitate ale icosidodecaedrului trunchiat cu fețe izogonale. Dodecaedrul trunchiat, rombicosidodecaedrul și icosaedrul trunchiat sunt cazuri la limită degenerate.

               
                       

Poliedre și pavări înruditeModificare

   
Icosaedrul și dodecaedrul „papion” conțin două fețe trapezoidale în locul pătratului.[4]
Familia de poliedre icosaedrice uniforme
Simetrie: [5,3], (*532) [5,3]+, (532)
               
                                               
{5,3} t{5,3} r{5,3} t{3,5} {3,5} rr{5,3} tr{5,3} sr{5,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
               
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

Acest poliedru face parte dintr-o secvență de modele uniforme cu configurația vârfului (4.6.2p) și diagrama Coxeter–Dynkin      . Pentru p < 6, membrii secvenței sunt poliedre omnitrunchiate (zonoedre), prezentate mai jos ca pavări sferice. Pentru p > 6, acestea sunt pavări ale planului hiperbolic, începând cu pavarea triheptagonală trunchiată.

Variante de pavări omnitrunchiate cu simetrie *n32: 4.6.2n
Simetrie
*n32
[n,3]
Sferice Euclid. Hiperb. compacte Paraco. Hiperbolice necompacte
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]
*∞32
[∞,3]
 
[12i,3]
 
[9i,3]
 
[6i,3]
 
[3i,3]
Imagini                        
Config. 4.6.4 4.6.6 4.6.8 4.6.10 4.6.12 4.6.14 4.6.16 4.6.∞ 4.6.24i 4.6.18i 4.6.12i 4.6.6i
Duale                        
Config. V4.6.4 V4.6.6 V4.6.8 V4.6.10 V4.6.12 V4.6.14 V4.6.16 V4.6.∞ V4.6.24i V4.6.18i V4.6.12i V4.6.6i

NoteModificare

BibliografieModificare

  • en Wenninger, Magnus (), Polyhedron Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09859-5, MR 0467493 
  • en Cromwell, P. (). Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. pp. 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2. 
  • en Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., ISBN: 0-486-23729-X. (Section 3-9)
  • en Cromwell, P.; Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
  • en Eric W. Weisstein, GreatRhombicosidodecahedron la MathWorld.
  • en Eric W. Weisstein, Archimedean solid la MathWorld.
  • en Klitzing, Richard. „3D convex uniform polyhedra x3x5x - grid”. 

Legături externeModificare