Lista poliedrelor uniforme

articol-listă în cadrul unui proiect Wikimedia

În geometrie un poliedru uniform este un poliedru care are fețele poligoane regulate și este tranzitiv pe vârfuri, adică există o izometrie care aplică orice vârf pe oricare altul. Rezultă că toate vârfurile sunt congruente, iar poliedrul are un grad ridicat de simetrie de reflexie și de rotație.

Poliedrele uniforme pot fi împărțite în forme convexe cu fețe poligonale regulate convexe și forme neconvexe (cele regulate sunt stelate). Formele econvexe au fie fețele, fie figurile vârfului, fie ambele, în formă de poligoane stelate.

Lista de față cuprinde:

  • toate cele 75 de poliedre uniforme neprismatice;
  • câțiva reprezentanți ai mulțimilor infinite de prisme și antiprisme;
  • un caz particular de poliedru degenerat, figura lui Skilling, cu laturi care coincid (sunt dublate).

S-a demonstrat de către Sopov că există doar 75 de poliedre uniforme, altele decât familiile infinite de prisme și antiprisme.[1] John Skilling a descoperit un exemplu degenerat trecut cu vederea, prin relaxarea condiției ca doar două fețe să se întâlnească pe o latură. Acesta este mai degrabă un poliedru uniform degenerat decât un poliedru uniform, deoarece unele perechi de laturi coincid.

Aici nu sunt cuprinse:

Indexare modificare

Există patru scheme de numerotare pentru poliedrele uniforme, distinse prin litere:

  • [C] Coxeter ș.a., 1954, au numerotat poliedrele convexe cu numerele 15–32; trei forme prismatice cu 33–35 și formele neconvexe cu 36–92.[2]
  • [W] Wenninger, 1974, a numerotat cu 1–5 poliedrele platonice, cu 6–18 cele arhimedice, cu 19–66 restul poliedrelor stelate, inclusiv cele 4 regulate (stelate) și cu 67–119 restul poliedrelor neconvexe.[3]
  • [K] Kaleido, 1993: Grupate după simetrii: cu 1–5 reprezentanți ai familiilor infinite de forme prismatice cu simetrie diedrală, cu 6–9 cele cu simetrie tetraedrică, cu 10–26 cele cu simetrie octaedrică și cu 27–80 cele cu simetrie icosaedrică.
  • [U] Mathematica, 1993, la fel ca seria Kaleido, dar cu cele 5 forme prismatice mutate la sfârșit, astfel încât formele neprismatice devin 1–75.

Denumirile poliedrelor după numărul de laturi modificare

Există nume generice pentru cele mai comune poliedre. Cele 5 poliedre platonice se numesc tetraedru, hexaedru, octaedru, dodecaedru și icosaedru cu 4, 6, 8, 12 și respectiv 20 de laturi. Hexaedrul comun este cubul.

Tabelul poliedrelor modificare

Formele convexe sunt listate în ordinea configurației vârfului, de la 3 fețe/vârf în sus, urmată de numărul laturilor unei fețe. Această ordonare permite afișarea asemănărilor topologice.

Există numere infinite de prisme și antiprisme, câte una pentru fiecare poligon regulat; sunt enumerate până la cele 12-gonale.

Poliedre uniforme convexe modificare

Denumire Imagine Config.
vârfului
Simb.
Wyth.
Sim. C# W# U# K# Vârf Lat. Fețe Tip fețe
Tetraedru    
3.3.3
3 | 2 3 Td C15 W001 U01 K06 4 6 4 4{3}
Prismă
triunghiulară
   
3.4.4
2 3 | 2 D3h C33a U76a K01a 6 9 5 2{3}
+3{4}
Tetraedru
trunchiat
   
3.6.6
2 3 | 3 Td C16 W006 U02 K07 12 18 8 4{3}
+4{6}
Cub
trunchiat
   
3.8.8
2 3 | 4 Oh C21 W008 U09 K14 24 36 14 8{3}
+6{8}
Dodecaedru
trunchiat
   
3.10.10
2 3 | 5 Ih C29 W010 U26 K31 60 90 32 20{3}
+12{10}
Cub    
4.4.4
3 | 2 4 Oh C18 W003 U06 K11 8 12 6 6{4}
Prismă
pentagonală
   
4.4.5
2 5 | 2 D5h C33b U76b K01b 10 15 7 5{4}
+2{5}
Prismă
hexagonală
   
4.4.6
2 6 | 2 D6h C33c U76c K01c 12 18 8 6{4}
+2{6}
Prismă
heptagonală
   
4.4.7
2 7 | 2 D7h C33d U76d K01d 14 21 9 7{4}
+2{7}
Prismă
octogonală
   
4.4.8
2 8 | 2 D8h C33e U76e K01e 16 24 10 8{4}
+2{8}
Prismă
eneagonală
   
4.4.9
2 9 | 2 D9h C33f U76f K01f 18 27 11 9{4}
+2{9}
Prismă
decagonală
   
4.4.10
2 10 | 2 D10h C33g U76g K01g 20 30 12 10{4}
+2{10}
Prismă
endecagonală
   
4.4.11
2 11 | 2 D11h C33h U76h K01h 22 33 13 11{4}
+2{11}
Prismă
dodecagonală
   
4.4.12
2 12 | 2 D12h C33i U76i K01i 24 36 14 12{4}
+2{12}
Octaedru
trunchiat
   
4.6.6
2 4 | 3 Oh C20 W007 U08 K13 24 36 14 6{4}
+8{6}
Cuboctaedru
trunchiat
   
4.6.8
2 3 4 | Oh C23 W015 U11 K16 48 72 26 12{4}
+8{6}
+6{8}
Icosidodecaedru
trunchiat
   
4.6.10
2 3 5 | Ih C31 W016 U28 K33 120 180 62 30{4}
+20{6}
+12{10}
Dodecaedru    
5.5.5
3 | 2 5 Ih C26 W005 U23 K28 20 30 12 12{5}
Icosaedru
trunchiat
   
5.6.6
2 5 | 3 Ih C27 W009 U25 K30 60 90 32 12{5}
+20{6}
Octaedru    
3.3.3.3
4 | 2 3 Oh C17 W002 U05 K10 6 12 8 8{3}
Antiprismă
pătrată
   
3.3.3.4
| 2 2 4 D4d C34a U77a K02a 8 16 10 8{3}
+2{4}
Antiprismă
pentagonală
   
3.3.3.5
| 2 2 5 D5d C34b U77b K02b 10 20 12 10{3}
+2{5}
Antiprismă
hexagonală
   
3.3.3.6
| 2 2 6 D6d C34c U77c K02c 12 24 14 12{3}
+2{6}
Antiprismă
heptagonală
   
3.3.3.7
| 2 2 7 D7d C34d U77d K02d 14 28 16 14{3}
+2{7}
Antiprismă
octogonală
   
3.3.3.8
| 2 2 8 D8d C34e U77e K02e 16 32 18 16{3}
+2{8}
Antiprismă
eneagonală
   
3.3.3.9
| 2 2 9 D9d C34f U77f K02f 18 36 20 18{3}
+2{9}
Antiprismă
decagonală
   
3.3.3.10
| 2 2 10 D10d C34g U77g K02g 20 40 22 20{3}
+2{10}
Antiprismă
endecagonală
   
3.3.3.11
| 2 2 11 D11d C34h U77h K02h 22 44 24 22{3}
+2{11}
Antiprismă
dodecagonală
   
3.3.3.12
| 2 2 12 D12d C34i U77i K02i 24 48 26 24{3}
+2{12}
Cuboctaedru    
3.4.3.4
2 | 3 4 Oh C19 W011 U07 K12 12 24 14 8{3}
+6{4}
Rombi-
cuboctaedru
   
3.4.4.4
3 4 | 2 Oh C22 W013 U10 K15 24 48 26 8{3}
+(6+12){4}
Rombicosi-
dodecaedru
   
3.4.5.4
3 5 | 2 Ih C30 W014 U27 K32 60 120 62 20{3}
+30{4}
+12{5}
Icosi-
dodecaedru
   
3.5.3.5
2 | 3 5 Ih C28 W012 U24 K29 30 60 32 20{3}
+12{5}
Icosaedru    
3.3.3.3.3
5 | 2 3 Ih C25 W004 U22 K27 12 30 20 20{3}
Cub
snub
   
3.3.3.3.4
| 2 3 4 O C24 W017 U12 K17 24 60 38 (8+24){3}
+6{4}
Dodecaedru
snub
   
3.3.3.3.5
| 2 3 5 I C32 W018 U29 K34 60 150 92 (20+60){3}
+12{5}

Poliedre uniforme neconvexe modificare

Formele care conțin numai fețe convexe sunt enumerate primele, urmate de formele cu fețe stelate. Din nou există infinit de multe prisme și antiprisme; sunt enumerate aici până la cele cu 8 fețe.

Poliedrele uniforme | 5/2 3 3, | 5/2 3/2 3/2, | 5/3 5/2 3, | 3/2 5/3 3 5/2 și | (3/2) 5/3 (3) 5/2 au unele fețe în perechi coplanare.[4][5]

Denumire Imagine  Simb. 
 Wyth 
Fig.
vârf
Sim. C# W# U# K# Vârf Lat. Fețe Chi Orien-
tabil?
Dens. Tip fețe
Octahemi-
octaedru
  3/2 3 | 3  
6.3/2.6.3
Oh C37 W068 U03 K08 12 24 12 0 Da   8{3}+4{6}
Tetrahemi-
hexaedru
  3/2 3 | 2  
4.3/2.4.3
Td C36 W067 U04 K09 6 12 7 1 Nu   4{3}+3{4}
Cubohemi-
octaedru
  4/3 4 | 3  
6.4/3.6.4
Oh C51 W078 U15 K20 12 24 10 −2 Nu   6{4}+4{6}
Marele
dodecaedru
  5/2 | 2 5  
(5.5.5.5.5)/2
Ih C44 W021 U35 K40 12 30 12 −6 Da 3 12{5}
Marele
icosaedru
  5/2 | 2 3  
(3.3.3.3.3)/2
Ih C69 W041 U53 K58 12 30 20 2 Da 7 20{3}
Marele
icosidodecaedru
ditrigonal
  3/2 | 3 5  
(5.3.5.3.5.3)/2
Ih C61 W087 U47 K52 20 60 32 −8 Da 6 20{3}+12{5}
Micul
rombihexaedru
  2 4 (3/2 4/2) |  
4.8.4/3.8/7
Oh C60 W086 U18 K23 24 48 18 −6 Nu   12{4}+6{8}
Micul cubi-
cuboctaedru
  3/2 4 | 4  
8.3/2.8.4
Oh C38 W069 U13 K18 24 48 20 −4 Da 2 8{3}+6{4}+6{8}
Marele
rombi-
cuboctaedru
  3/2 4 | 2  
4.3/2.4.4
Oh C59 W085 U17 K22 24 48 26 2 Da 5 8{3}+(6+12){4}
Micul
dodecahemi-
dodecaedru
  5/4 5 | 5  
10.5/4.10.5
Ih C65 W091 U51 K56 30 60 18 −12 Nu   12{5}+6{10}
Marele
dodecahem(i)-
icosaedru
  5/4 5 | 3  
6.5/4.6.5
Ih C81 W102 U65 K70 30 60 22 −8 Nu   12{5}+10{6}
Micul
icosihemi-
dodecaedru
  3/2 3 | 5  
10.3/2.10.3
Ih C63 W089 U49 K54 30 60 26 −4 Nu   20{3}+6{10}
Micul
dodec(i)-
icosaedru
  3 5 (3/2 5/4) |  
10.6.10/9.6/5
Ih C64 W090 U50 K55 60 120 32 −28 Nu   20{6}+12{10}
Micul
rombi-
dodecaedru
  2 5 (3/2 5/2) |  
10.4.10/9.4/3
Ih C46 W074 U39 K44 60 120 42 −18 Nu   30{4}+12{10}
Micul
dodecicosi-
dodecaedru
  3/2 5 | 5  
10.3/2.10.5
Ih C42 W072 U33 K38 60 120 44 −16 Da 2 20{3}+12{5}+12{10}
Romb(i)-
icosaedru
  2 3 (5/4 5/2) |  
6.4.6/5.4/3
Ih C72 W096 U56 K61 60 120 50 −10 Nu   30{4}+20{6}
Marele
icosicosi-
dodecaedru
  3/2 5 | 3  
6.3/2.6.5
Ih C62 W088 U48 K53 60 120 52 −8 Da 6 20{3}+12{5}+20{6}
Prismă
pentagramică
  2 5/2 | 2  
5/2.4.4
D5h C33b U78a K03a 10 15 7 2 Da 2 5{4}+2{5/2}
Prismă
heptagramică
7/2
  2 7/2 | 2  
7/2.4.4
D7h C33d U78b K03b 14 21 9 2 Da 2 7{4}+2{7/2}
Prismă
heptagramică
7/3
  2 7/3 | 2  
7/3.4.4
D7h C33d U78c K03c 14 21 9 2 Da 3 7{4}+2{7/3}
Prismă
octagramică
  2 8/3 | 2  
8/3.4.4
D8h C33e U78d K03d 16 24 10 2 Da 3 8{4}+2{8/3}
Antiprismă
pentagramică
  | 2 2 5/2  
5/2.3.3.3
D5h C34b U79a K04a 10 20 12 2 Da 2 10{3}+2{5/2}
Retroprismă
pentagramică
  | 2 2 5/3  
5/3.3.3.3
D5d C35a U80a K05a 10 20 12 2 Da 3 10{3}+2{5/2}
Antiprismă
heptagramică
7/2
  | 2 2 7/2  
7/2.3.3.3
D7h C34d U79b K04b 14 28 16 2 Da 3 14{3}+2{7/2}
Antiprismă
heptagramică
7/3
  | 2 2 7/3  
7/3.3.3.3
D7d C34d U79c K04c 14 28 16 2 Da 3 14{3}+2{7/3}
Retroprismă
heptagramică
  | 2 2 7/4  
7/4.3.3.3
D7h C35b U80b K05b 14 28 16 2 Da 4 14{3}+2{7/3}
Antiprismă
octagramică
  | 2 2 8/3  
8/3.3.3.3
D8d C34e U79d K04d 16 32 18 2 Da 3 16{3}+2{8/3}
Retroprismă
octagramică
  | 2 2 8/5  
8/5.3.3.3
D8d C35c U80c K05c 16 32 18 2 Da 5 16{3}+2{8/3}
Micul
dodecaedru
stelat
  5 | 2 5/2  
(5/2)5
Ih C43 W020 U34 K39 12 30 12 −6 Da 3 12{5/2}
Marele
dodecaedru
stelat
  3 | 2 5/2  
(5/2)3
Ih C68 W022 U52 K57 20 30 12 2 Da 7 12{5/2}
Dodeca-
dodecaedru
ditrigonal
  3 | 5/3 5  
(5/3.5)3
Ih C53 W080 U41 K46 20 60 24 −16 Da 4 12{5}+12{5/2}
Micul icosi-
dodecaedru
ditrigonal
  3 | 5/2 3  
(5/2.3)3
Ih C39 W070 U30 K35 20 60 32 −8 Da 2 20{3}+12{5/2}
Hexaedru
trunchiat
stelat
  2 3 | 4/3  
8/3.8/3.3
Oh C66 W092 U19 K24 24 36 14 2 Da 7 8{3}+6{8/3}
Marele
rombi-
hexaedru
  2 4/3 (3/2 4/2) |  
4.8/3.4/3.8/5
Oh C82 W103 U21 K26 24 48 18 −6 Nu   12{4}+6{8/3}
Marele
cubi-
cuboctaedru
  3 4 | 4/3  
8/3.3.8/3.4
Oh C50 W077 U14 K19 24 48 20 −4 Da 4 8{3}+6{4}+6{8/3}
Marele
dodecahemi-
dodecaedru
  5/3 5/2 | 5/3  
10/3.5/3.10/3.5/2
Ih C86 W107 U70 K75 30 60 18 −12 Nu   12{5/2}+6{10/3}
Micul
dodecahem(i)-
icosaedru
  5/3 5/2 | 3  
6.5/3.6.5/2
Ih C78 W100 U62 K67 30 60 22 −8 Nu   12{5/2}+10{6}
Dodeca-
dodecaedru
  2 | 5 5/2  
(5/2.5)2
Ih C45 W073 U36 K41 30 60 24 −6 Da 3 12{5}+12{5/2}
Marele
icosihemi-
dodecaedru
  3/2 3 | 5/3  
10/3.3/2.10/3.3
Ih C85 W106 U71 K76 30 60 26 −4 Nu   20{3}+6{10/3}
Marele
icosi-
dodecaedru
  2 | 3 5/2  
(5/2.3)2
Ih C70 W094 U54 K59 30 60 32 2 Da 7 20{3}+12{5/2}
Cuboctaedru
cubitrunchiat
  4/3 3 4 |  
8/3.6.8
Oh C52 W079 U16 K21 48 72 20 −4 Da 4 8{6}+6{8}+6{8/3}
Marele
cuboctaedru
trunchiat
  4/3 2 3 |  
8/3.4.6/5
Oh C67 W093 U20 K25 48 72 26 2 Da 1 12{4}+8{6}+6{8/3}
Marele
dodecaedru
trunchiat
  2 5/2 | 5  
10.10.5/2
Ih C47 W075 U37 K42 60 90 24 −6 Da 3 12{5/2}+12{10}
Micul
dodecaedru
trunchiat stelat
  2 5 | 5/3  
10/3.10/3.5
Ih C74 W097 U58 K63 60 90 24 −6 Da 9 12{5}+12{10/3}
Marele
dodecaedru
trunchiat stelat
  2 3 | 5/3  
10/3.10/3.3
Ih C83 W104 U66 K71 60 90 32 2 Da 13 20{3}+12{10/3}
Marele
icosaedru
trunchiat
  2 5/2 | 3  
6.6.5/2
Ih C71 W095 U55 K60 60 90 32 2 Da 7 12{5/2}+20{6}
Marele
dodec(i)-
icosaedru
  3 5/3(3/2 5/2) |  
6.10/3.6/5.10/7
Ih C79 W101 U63 K68 60 120 32 −28 Nu   20{6}+12{10/3}
Marele
rombi-
dodecaedru
  2 5/3 (3/2 5/4) |  
4.10/3.4/3.10/7
Ih C89 W109 U73 K78 60 120 42 −18 Nu   30{4}+12{10/3}
Icosidodeca-
dodecaedru
  5/3 5 | 3  
6.5/3.6.5
Ih C56 W083 U44 K49 60 120 44 −16 Da 4 12{5}+12{5/2}+20{6}
Micul dodec(i)-
icosidodecaedru
ditrigonal
  5/3 3 | 5  
10.5/3.10.3
Ih C55 W082 U43 K48 60 120 44 −16 Da 4 20{3}+12{5/2}+12{10}
Marele dodec(i)-
icosidodecaedru
ditrigonal
  3 5 | 5/3  
10/3.3.10/3.5
Ih C54 W081 U42 K47 60 120 44 −16 Da 4 20{3}+12{5}+12{10/3}
Marele
dodecicosi-
dodecaedru
  5/2 3 | 5/3  
10/3.5/2.10/3.3
Ih C77 W099 U61 K66 60 120 44 −16 Da 10 20{3}+12{5/2}+12{10/3}
Micul icosicosi-
dodecaedru
  5/2 3 | 3  
6.5/2.6.3
Ih C40 W071 U31 K36 60 120 52 −8 Da 2 20{3}+12{5/2}+20{6}
Rombidodeca-
dodecaedru
  5/2 5 | 2  
4.5/2.4.5
Ih C48 W076 U38 K43 60 120 54 −6 Da 3 30{4}+12{5}+12{5/2}
Marele
rombicosi-
dodecaedru
  5/3 3 | 2  
4.5/3.4.3
Ih C84 W105 U67 K72 60 120 62 2 Da 13 20{3}+30{4}+12{5/2}
Dodeca-
dodecaedru
icositrunchiat
  3 5 5/3 |  
10/3.6.10
Ih C57 W084 U45 K50 120 180 44 −16 Da 4 20{6}+12{10}+12{10/3}
Dodeca-
dodecaedru
trunchiat
  2 5 5/3 |  
10/3.4.10/9
Ih C75 W098 U59 K64 120 180 54 −6 Da 3 30{4}+12{10}+12{10/3}
Marele
icosidodecaedru
trunchiat
  2 3 5/3 |  
10/3.4.6
Ih C87 W108 U68 K73 120 180 62 2 Da 13 30{4}+20{6}+12{10/3}
Dodeca-
dodecaedru
snub
  | 2 5/2 5  
3.3.5/2.3.5
I C49 W111 U40 K45 60 150 84 −6 Da 3 60{3}+12{5}+12{5/2}
Dodeca-
dodecaedru snub
inversat
  | 5/3 2 5  
3.5/3.3.3.5
I C76 W114 U60 K65 60 150 84 −6 Da 9 60{3}+12{5}+12{5/2}
Marele
icosidodecaedru
snub
  | 2 5/2 3  
34.5/2
I C73 W113 U57 K62 60 150 92 2 Da 7 (20+60){3}+12{5/2}
Marele
icosidodecaedru
snub inversat
  | 5/3 2 3  
34.5/3
I C88 W116 U69 K74 60 150 92 2 Da 13 (20+60){3}+12{5/2}
Marele
icosidodecaedru
retrosnub
  | 2 3/2 5/3  
(34.5/2)/2
I C90 W117 U74 K79 60 150 92 2 Da 37 (20+60){3}+12{5/2}
Marele
dodecicosi-
dodecaedru snub
  | 5/3 5/2 3  
33.5/3.3.5/2
I C80 W115 U64 K69 60 180 104 −16 Da 10 (20+60){3}+(12+12){5/2}
Icosidodeca-
dodecaedru
snub
  | 5/3 3 5  
33.5.3.5/3
I C58 W112 U46 K51 60 180 104 −16 Da 4 (20+60){3}+12{5}+12{5/2}
Micul icosicosi-
dodecaedru
snub
  | 5/2 3 3  
35.5/2
Ih C41 W110 U32 K37 60 180 112 −8 Da 2 (40+60){3}+12{5/2}
Micul
icosicosi-dodecaedru
retrosnub
  | 3/2 3/2 5/2  
(35.5/2)/2
Ih C91 W118 U72 K77 60 180 112 −8 Da 38 (40+60){3}+12{5/2}
Marele
dirombicosi-
dodecaedru
  | 3/2 5/3 3 5/2  
(4.5/3.4.3.
4.5/2.4.3/2)/2
Ih C92 W119 U75 K80 60 240 124 −56 Nu   40{3}+60{4}+24{5/2}

Cazul particular modificare

Denumire Imagine    Simb.   
   Wyth.   
Config.
vârf
Sim. C# W# U# K# Vârfuri Laturi Fețe Chi Orien-
tabil?
Dens. Tip fețe
Marele dirombi-
dodecaedru
disnub
  | (3/2) 5/3 (3) 5/2  
(5/2.4.3.3.3.4. 5/3.
4.3/2.3/2.3/2.4)/2
Ih 60 360 (*) 204 −96 Nu   120{3}+60{4}+24{5/2}

La marele dirombidodecaedru disnub 240 din cele 360 de laturi coincid în spațiu în 120 de perechi. Din cauza acestei degenerari a laturilor, nu întotdeauna este considerat a fi un poliedru uniform.

Note modificare

  1. ^ en Sopov, S. P. (). „A proof of the completeness on the list of elementary homogeneous polyhedra”. Ukrainskiui Geometricheskiui Sbornik (8): 139–156. MR 0326550. 
  2. ^ Coxeter ș.a., 1954
  3. ^ Wenninger, 1974
  4. ^ Coxeter ș.a. 1954, pp. 423, 425, 426
  5. ^ Skilling 1975, p. 123

Bibliografie modificare

Legături externe modificare

  • en Stella: Polyhedron Navigator – Software able to generate and print nets for all uniform polyhedra. Used to create most images on this page.
  • en Paper models
  • en Uniform indexing: U1-U80, (Tetrahedron first)
  • en Kaleido Indexing: K1-K80 (Pentagonal prism first)