Antiprismă heptagramică 7/3

Antiprismă heptagramică 7/3
(model 3D)
Descriere
Tip	poliedru uniform, U79(c)
Fețe	16 (  2 heptagrame {7/3},       14 triunghiuri)
Laturi (muchii)	28
Vârfuri	14
χ	2
Configurația vârfului	3.3.3.7/3
Simbol Wythoff	| 2 2 7/3
Simbol Schläfli	s{2,14/3} sau sr{2,7/3}
Diagramă Coxeter	sau
Grup de simetrie	D7d, [7,2], (*722), ordin 28
Grup de rotație	D7, [7,2]+, (722), ordin 14
Arie	$A=2A_{b}+A_{lat}$
Volum	≈0,665 a3   (a = latura)
Poliedru dual	trapezoedru heptagramic 7/3
Proprietăți	stelată
Figura vârfului

În geometrie antiprisma heptagramică 7/3, sau marea antiprismă heptagramică este o antiprismă cu baza heptagramică {7/3}. Are 16 fețe, 28 de laturi și 14 vârfuri. Având 16 fețe, este un hexadecaedru. Topologic este identică cu antiprisma heptagonală.

Dacă fețele sunt toate regulate, antiprisma heptagramică este un poliedru semiregulat, mai general, un poliedru uniform cu indicele U_79(c). Este a treia într-un șir infinit de antiprisme formate din fețe laterale triunghiulare și două baze poligonale stelate regulate. Are simbolul Schläfli s{2,14/3} sau sr{2,7/3}.

Grupul de simetrie al unei antiprisme heptagramice 7/3 drepte este D_7d de ordinul 28. Grupul de rotație este D₇ de ordinul 14.

Geometrie

Zonele bazelor corespunzătoare dintre fațetelor triunghiulare din jurul heptagoanelor centrale formează un interior ambiguu datorită autointersectării. Regiunile pe care le mărginesc ele pote fi considerate de interior sau exterior, în funcție de modul în care este definit interiorul. O definiție a interiorului este ca fiind mulțimea punctelor care au o rază care traversează frontiera domeniului de un număr impar de ori pentru a ieși din perimetru. Însă din regiunile respective razele care traversează o față laterală mai traversează încă o față, laterală sau nu.

Mărimi asociate marei antiprisme heptagramice regulate

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unei antiprisme heptagramice cu lungimea laturilor de $2\sin {\frac {3\pi }{7}}$sunt date de:

$\left(\,1,\,0,\,\pm H\,\right)$

$\left(\,\cos {\frac {2\pi }{7}},\,\pm \sin {\frac {2\pi }{7}},\,\pm H\,\right)$

$\left(\,\cos {\frac {4\pi }{7}},\,\pm \sin {\frac {4\pi }{7}},\,\pm H\,\right)$

$\left(\,\cos {\frac {6\pi }{7}},\,\pm \sin {\frac {6\pi }{7}},\,\pm H\,\right)$

unde

$H={\sqrt {\frac {1+2\cos {\frac {3\pi }{7}}}{2+2\cos {\frac {3\pi }{7}}}}}\sin {\frac {3\pi }{7}}.$

Rază circumscrisă

Raza circumscrisă a antiprismei heptagramice cu lungimea laturilor a este:

$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\tan ^{2}{\frac {2\pi }{7}}+5}}\,a\approx 0,640918\,a.$

Volum

Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

$V={\frac {7}{12}}{\sqrt {4\cos ^{2}{\frac {3\pi }{14}}-1}}{\frac {\sin {\frac {9\pi }{14}}}{\sin ^{2}{\frac {3\pi }{7}}}}\,a^{3}\approx 0,664694\,a^{3}.$

Dual: trapezoedru heptagramic 7/3

Poliedru dual

Poliedrul dual al antiprismei heptagramice 7/3 este trapezoedrul heptagramic 7/3.

Vezi și

• Lista poliedrelor uniforme