Micul dodecicosaedru

Descriere
Micul dodecicosaedru

(model 3D)
Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	32 (20 hexagoane, 12 decagoane)
Laturi (muchii)	120
Vârfuri	60
χ	−28
Configurația vârfului	6.10.6/5.10/9^[1]
Simbol Wythoff	3 5 (3/2 5/4) \|^[2]
Diagramă Coxeter	(acoperire dublă triunghiuri) (acoperire dublă pentagrame)
Grup de simetrie	I_h, [5,3], (*532) ^[1]
Volum	≈2,240 $a$ ³ ( $a$ = latura)
Poliedru dual	micul dodecicosacron
Proprietăți	uniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie micul dodecicosaedru este un poliedru uniform neconvex, cu indicele U₅₀. Are 32 de fețe (20 hexagoane și 12 decagoane), 120 de laturi și 60 de vârfuri.^[1] Având 32 de fețe este un icosidodecaedru. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă laturi sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Figura vârfului este un antiparalelogram. Are simbolul Wythoff 3 5 (3/2 5/4) |.^[2]

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Având în comun vârfurile cu marele dodecaedru trunchiat stelat, coordonatele carteziene ale vârfurilor unui mic dodecicosaedru cu lungimea laturii 2, centrat în origine,^[3]^[4] sunt toate permutările pare ale:

\left(\,0,\,\pm 1,\,\pm (3\varphi -4)\,\right)

\left(\,\pm 1,\,\pm (2-\varphi ),\,\pm (2-\varphi )\,\right)

\left(\,\pm (2-\varphi ),\,\pm 2(\varphi -1)\,\pm (2\varphi -3)\right)

unde $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ este secțiunea de aur.

Raza circumscrisă

Raza circumscrisă în funcție de lungimea laturilor $a$ este:^[5]

R={\frac {1}{4}}{\sqrt {34+6{\sqrt {5}}}}\,a\approx 1,876844\,a.

Volum

Următoarea formulă pentru volum $V$ este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) $a$ este:

V={\frac {1}{4}}\left(34+6{\sqrt {5}}\right)\,a^{3}\approx 1,721489~a^{3}.

Poliedre înrudite

Are în comun aranjamentul vârfurilor cu marele dodecaedru trunchiat stelat. În plus, are în comun aranjamentul laturilor cu micul icosicosidodecaedru (având în comun fețele hexagonale) și cu micul dodecicosidodecaedru ditrigonal (având fețele decagonale în comun).