Micul icosicosidodecaedru

Descriere
Micul icosicosidodecaedru

(model 3D)
Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	52 (20 triunghiuri 12 pentagrame 20 hexagoane)
Laturi (muchii)	120
Vârfuri	60
χ	−8
Configurația vârfului	6.5/2.6.3^[1]
Simbol Wythoff	5/2 3 \| 3^[1]
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	I_h, [5,3], (*532) ^[1]
Volum	≈ 31,615 $a$ ³ ( $a$ = latura)
Poliedru dual	micul hexaconatedru icosacronic
Proprietăți	uniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie micul icosicosidodecaedru este un poliedru stelat uniform, cu indicele U₃₁. Are 52 de fețe (20 de triunghiuri, 12 pentagrame și 12 decagrame), 120 de laturi și 60 de vârfuri.^[1]^[2] Având 52 de fețe, este un pentacontadiedru.

Este reprezentat prin diagramele Coxeter–Dynkin . Figura vârfului este un patrulater autointersectat. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă muchii sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Are simbolul Wythoff 5/2 3 | 3.^[1]

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui mic dodecicosidodecaedru centrat în origine, cu lungimea laturii de 2, sunt toate permutările pare ale:^[3]^[4]

\left(\,\pm 1,\,\pm 2\varphi ,\,\pm (\varphi -1)\,\right)

\left(\,0,\,\pm (\varphi +1),\,\pm (2\varphi -1)\,\right)

\left(\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm (\varphi +1)\,\right)

unde $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ este secțiunea de aur.

Raza sferei circumscrise

Raza sferei circumscrise pentru lungimea laturii egală cu $a$ este:^[2]

R={\frac {1}{4}}{\sqrt {34+6{\sqrt {5}}}}\,a\approx 1,721489\,a.

Volum

Următoarea formulă pentru volum $V$ este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) $a$ :

V=\left(10+{\frac {29}{3}}{\sqrt {5}}\right)\,a^{3}\approx 31,615324\,a^{3}

Poliedre înrudite

Are în comun aranjamentul vârfurilor cu marele dodecaedru trunchiat stelat. În plus, are în comun aranjamentul laturilor cu micul icosicosidodecaedru ditrigonal (având fețele triunghiulare și pentagramice în comun) și cu micul dodecicosaedru (având fețele hexagonale în comun).

Marele dodecaedru trunchiat stelat	Micul icosicosidodecaedru	Micul dodecicosidodecaedru ditrigonal	Micul dodecicosaedru

Dual: micul hexaconatedru icosacronic

Poliedru dual

Dualul său este micul hexaconatedru icosacronic.^[5]

Note

^ ^a ^b ^c ^d ^e en Maeder, Roman. „31: small icosicosidodecahedron”. MathConsult. Accesat în 4 ianuarie 2024.
^ ^a ^b en Eric W. Weisstein, Small icosicosidodecahedron la MathWorld.
^ en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids
^ en Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.
^ en Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208

Bibliografie

en Coxeter, H. S. M. (13 mai 1954). „Uniform Polyhedra”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 246 (916): 401–450. doi:10.1098/rsta.1954.0003.
en Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. OCLC 1738087.

Legături externe

en Uniform polyhedra and duals

Portal Matematică

en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”. Cheie: siid

[mc-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e en Maeder, Roman. „31: small icosicosidodecahedron”. MathConsult. Accesat în 4 ianuarie 2024.

[MW-2] Eric W. Weisstein, Small icosicosidodecahedron la MathWorld.

[3] Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids

[4] Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.

[5] Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]