Poliedru uniform neconvex

poliedru uniform care se autointersectează

În geometrie un poliedru uniform neconvex este un poliedru uniform care se autointersectează. Fiecare poliedru poate avea fie fețele, fie figura vârfului, fie ambele, în formă de poligoane stelate.

Polidre uniforme expuse la Muzeul Științei (Science Museum) din Londra
Micul icosicosidodecaedru snub este un poliedru uniform neconvex, cu figura vârfului 35.52

Setul complet de 57 de poliedre uniforme neconvexe neprismatice cuprinde 4 poliedre regulate (poliedrele Kepler–Poinsot), 5 cvasiregulate și 48 semiregulate.

Există și două mulțimi infinite de prisme stelate uniforme și antiprisme stelate uniforme.

Așa cum poligoanele stelate (nedegenerate) (care au densitatea mai mare decât 1) corespund poligoanelor cu laturi care se intersectează, poliedrele neconvexe cu fețe care nu trec prin centru au densitatea mai mare decât 1 și corespund unor poliedre sferice cu fețe care se intersectează. Există 47 de astfel de poliedre uniforme neconvexe neprismatice. Cele 10 poliedre uniforme neconvexe neprismatice rămase, cele la care fețele trec prin centru, sunt hemipoliedre sau excepții ca monstrul lui Miller și nu au densități bine definite.

Formele neconvexe sunt construite cu ajutorul triunghiurilor Schwarz.

Toate poliedrele uniforme sunt enumerate mai jos în funcție de grupurile lor de simetrie și subgrupate după configurațiile vârfurilor lor.

Poliedrele regulate sunt etichetate prin simboluri Schläfli. Alte poliedre uniforme neregulate sunt enumerate configurațiile vârfurilor lor.

O figură suplimentară, pseudo-marele rombicuboctaedru, de obicei nu este inclusă ca poliedru neconvex cu adevărat uniform, în ciuda faptului că are fețe regulate și are aceleași vârfuri.

Notă: Pentru formele neconvexe de mai jos, un descriptor suplimentar neuniform este utilizat atunci când dispunerea vârfurilor anvelopei convexe are aceeași topologie ca una dintre acestea, dar are fețe neregulate. De exemplu, o formă cantelată neuniformă poate avea dreptunghiuri în pozițiile laturilor în loc de pătrate.

Simetrie diedrală

modificare

Aceste poliedre sunt descrise în articolul poliedru prismatic uniform.

Simetrie tetraedrică

modificare
 
Triunghiuri (3 3 2) pe sferă

Există o formă neconvexă, tetrahemihexaedrul, care are simetrie tetraedrică (cu domeniul fundamental triunghiul Möbius (3 3 2)).

Există două triunghiuri Schwarz care generează poliedre uniforme neconvexe unice: un triunghi dreptunghic (32 3 2) și un triunghi scalen (32) 3 3). Triunghiul scalen (32 3 3) generează octahemioctaedrul care este prezentat mai jos la simetria octaedrică.

Aranjamentul vârfurilor
(anvelopă convexă)
Forme
neconvexe
 
Tetraedru
 
 
Tetraedru rectificat
Octaedru
 
4.32.4.3
32 3 | 2
 
Tetraedru trunchiat
 
 
Tetraedru cantelat
(Cuboctaedru)
 
 
Tetraedru omnitrunchiat
(Octaedru trunchiat)
 
 
Tetraedru snub
(Icosaedru)
 

Simetrie octaedrică

modificare
 
Triunghiuri (4 3 2) pe sferă

Există 8 forme convexe și 10 forme neconvexe cu simetrie octaedrică (cu domeniul fundamental triunghiul Möbius (4 3 2)).

Există patru triunghiuri Schwarz care generează forme neconvexe, două triunghiuri dreptunghice: (32 4 2) și (43 3 2) și două triunghiuri scalene: (43 4 3), (32 4 4).

Aranjamentul vârfurilor
(anvelopă convexă)
Forme neconvexe
 
Cub
 
 
Octaedru
 
 
Cuboctaedru
 
6.43.6.4
43 4 | 3
 
6.32.6.3
32 3 | 3
 
Cub trunchiat
 
4.83.43.85
2 43 (32 42) |
 
83.3.83.4
3 4 | 43
 
4.32.4.4
32 4 | 2
 
Octaedru trunchiat
 
 
Rombicuboctaedru
 
4.8.43.8
2 4 (32 42) |
 
8.32.8.4
32 4 | 4
 
83.83.3
2 3 | 43
 
Cuboctaedru trunchiat
neuniform
 
4.6.83
2 3 43 |
 
Cuboctaedru trunchiat
neuniform
 
83.6.8
3 4 43 |
 
Cub snub
 

Simetrie icosaedrică

modificare
 
Triunghiuri (5 3 2) pe sferă

Există 8 forme convexe și 46 de forme neconvexe cu simetrie icosaedrică (cu domeniul fundamental triunghiul Möbius (5 3 2). (sau 47 de forme neconvexe dacă este inclusă și figura lui Skilling, v. mai jos). Unele dintre formele snub neconvexe au simetrie de reflexie a vârfurilor.

Aranjamentul vârfurilor
(anvelopă convexă)
Forme neconvexe
 
Icosaedru
 
{5,52}
 
{52,5}
 
{3,52}
 
Icosaedru trunchiat
neuniform
 
10.10.52
2 52 | 5
 
3.103.52.107
52 3 | 53
 
3.4.53.4
53 3 | 2
 
4.103.43.107
2 53 (32 54) |
 
Icosaedru trunchiat
neuniform
 
4.52.4.5
52 5 | 2
 
5.6.53.6
53 5 | 3
 
4.6.43.65
2 3 (54 52) |
 
Icosaedru trunchiat
neuniform
 
35.52
| 52 3 3
 
Icosidodecaedru
 
3.10.32.10
32 3 | 5
 
5.10.54.10
54 5 | 5
 
3.52.3.52
2 | 3 52
 
52.103.53.103
53 52 | 53
 
3.103.32.103
3 3 | 53
 
5.52.5.52
2 | 5 52
 
6.52.6.53
53 52 | 3
 
5.6.54.6
54 5 | 3
 
Dodecaedru trunchiat
neuniform
 
3.103.5.103
3 5 | 53
 
5.6.32.6
32 5 | 3
 
6.103.65.107
3 53 (32 52) |
 
Dodecaedru trunchiat
neuniform
 
(35.53)/2
| 32 32 52
 
Dodecaedru
 
{52,3}
 
(3.52)3
3 | 52 3
 
(5.53)3
3 | 53 5
 
(3.53)/2
32 | 3 5
 
Rombicosidodecaedru
 
5.10.32.10
32 5 | 5
 
4.10.43.109
2 5 (32 52) |
 
5.103.103
2 5 | 53
 
Rombicosidodecaedru
neuniform
 
6.6.52
2 52 | 3
 
Rombicosidodecaedru
neuniform
 
6.52.6.3
52 3 | 3
 
3.10.53.10
53 3 | 5
 
6.10.65.109
3 5 (32 54) |
 
3.103.103
2 3 | 53
 
Rombicosidodecaedru
neuniform
 
4.53.4.3.4.52.4.32
| 32 53 3 52
 
3.3.3.52.3.53
| 53 52 3
 
figura lui Skilling
(v. mai jos)
 
Icosidodecaedru trunchiat
neuniform
 
6.10.103
3 5 53 |
 
Icosidodecaedru trunchiat
neuniform
 
4.109.103
2 5 53 |
 
Icosidodecaedru trunchiat
neuniform
 
4.6.103
2 3 53 |
 
Dodecaedru snub
neuniform
 
3.3.52.3.5
| 2 52 5
 
3.3.3.5.3.53
| 53 3 5
 
34.52
| 2 52 3
 
34.53
| 53 2 3
 
3.3.5.3.53
| 53 2 5
 
(34.52)/2
| 32 53 2

Cazuri degenerate

modificare

Coxeter a identificat prin metoda de construcție Wythoff un număr de poliedre neconvexe degenerate care conțin laturi sau vârfuri suprapuse. Aceste forme degenerate sunt cele din tabelul următor.

Compuși poliedrici uniformi degenerați
         
Micul icosidodecaedru complex Marele icosidodecaedru complex Micul rombicosidodecaedru complex Marele rombicosidodecaedru complex Rombidodecadodecaedru complex

Figura lui Skilling

modificare
 
Figura lui Skilling

Un alt poliedru degenerat neconvex este marele dirombidodecaedru disnub, cunoscut și sub denumirea de „figura lui Skilling”, care este uniform pe vârfuri, dar are perechi de laturi care coincid în spațiu astfel încât pe unele laturi se întâlnesc câte patru fețe. Din cauza laturilor sale duble este considerat un poliedru uniform degenerat. Are simetria Ih.

Bibliografie

modificare
  • en Coxeter, H. S. M. (). „Uniform Polyhedra”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 246 (916): 401–450. doi:10.1098/rsta.1954.0003. 
  • en Wenninger, Magnus (). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. OCLC 1738087. 
  • de Brückner, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.. Leipzig, Germany: Teubner, 1900. [1]
  • en Sopov, S. P. (), „A proof of the completeness on the list of elementary homogeneous polyhedra”, Ukrainskiui Geometricheskiui Sbornik (8): 139–156, MR 0326550 
  • en Skilling, J. (), „The complete set of uniform polyhedra”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 278: 111–135, doi:10.1098/rsta.1975.0022, ISSN 0080-4614, JSTOR 74475, MR 0365333 
  • en Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El, Kaleido software, Images, dual images
  • en Mäder, R. E. Uniform Polyhedra. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [2]
  • en Messer, Peter W. Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals., Discrete & Computational Geometry 27:353-375 (2002).
  • en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”. 

Vezi și

modificare

Legături externe

modificare