Poliedru cvasiregulat

poliedru uniform care are exact două tipuri de fețe regulate, care alternează în jurul fiecărui vârf
Figuri cvasiregulate
Domenii ale triunghiurilor dreptunghice (p q 2),
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png = r{p,q}
r{4,3} r{5,3} r{6,3} r{7,3}... r{∞,3}
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-43-t1.svg
(3.4)2
Uniform polyhedron-53-t1.svg
(3.5)2
Uniform tiling 63-t1.svg
(3.6)2
Triheptagonal tiling.svg
(3.7)2
H2 tiling 23i-2.png
(3.∞)2
Domenii ale triunghiurilor isoscele (p p 3),
CDel branch 10ru.pngCDel split2-pp.pngCDel node.png = CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.png = h{6,p}
h{6,4} h{6,5} h{6,6} h{6,7}... h{6,∞}
CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png = CDel branch 10ru.pngCDel split2-44.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png = CDel branch 10ru.pngCDel split2-55.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png = CDel branch 10ru.pngCDel split2-66.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png = CDel branch 10ru.pngCDel split2-77.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png = CDel branch 10ru.pngCDel split2-ii.pngCDel node.png
H2 tiling 344-4.png
(4.3)4
H2 tiling 355-4.png
(5.3)5
H2 tiling 366-4.png
(6.3)6
H2 tiling 377-4.png
(7.3)7
H2 tiling 3ii-4.png
(∞.3)
Domenii ale triunghiurilor isoscele (p p 4),
CDel label4.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2-pp.pngCDel node.png = CDel node h.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.png = h{8,p}
h{8,3} h{8,5} h{8,6} h{8,7}... h{8,∞}
CDel node h.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png =CDel label4.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png =CDel label4.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2-55.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png =CDel label4.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2-66.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png =CDel label4.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2-77.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png =CDel label4.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2-ii.pngCDel node.png
H2 tiling 334-1.png
(4.3)3
H2 tiling 455-1.png
(4.5)5
H2 tiling 466-1.png
(4.6)6
H2 tiling 477-1.png
(4.7)7
H2 tiling 4ii-1.png
(4.∞)
Domeniul triunghiului scalen (5 4 3), CDel branch.pngCDel split2-45.pngCDel node.png
CDel branch 01rd.pngCDel split2-45.pngCDel node.png CDel branch.pngCDel split2-45.pngCDel node 1.png CDel branch 10ru.pngCDel split2-45.pngCDel node.png
H2 tiling 345-1.png
(3.5)4
H2 tiling 345-2.png
(4.5)3
H2 tiling 345-4.png
(3.4)5
Un poliedru sau pavare cvasiregulată are exact două tipuri de fețe regulate, care alternează în jurul fiecărui vârf. Figurile vârfurilor lor sunt poligoane izogonale.
Figuri regulate și cvasiregulte
Domenii ale triunghiurilor dreptunghice (p p 2),
CDel node 1.pngCDel split1-pp.pngCDel nodes.png = CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = r{p,p} = {p,4}12
{3,4}12
r{3,3}
{4,4}12
r{4,4}
{5,4}12
r{5,5}
{6,4}12
r{6,6}...
{∞,4}12
r{∞,∞}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1-44.pngCDel nodes.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1-55.pngCDel nodes.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1-66.pngCDel nodes.png CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1-ii.pngCDel nodes.png
Uniform polyhedron-33-t1.png
(3.3)2
Uniform tiling 44-t1.svg
(4.4)2
H2 tiling 255-2.png
(5.5)2
H2 tiling 266-2.png
(6.6)2
H2 tiling 2ii-2.png
(∞.∞)2
Domenii ale triunghiurilor isoscele (p p 3),
CDel node 1.pngCDel split1-pp.pngCDel branch.png = CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node h0.png = {p,6}12
{3,6}12 {4,6}12 {5,6}12 {6,6}12... {∞,6}12
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1-44.pngCDel branch.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1-55.pngCDel branch.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1-66.pngCDel branch.png CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1-ii.pngCDel branch.png
Uniform tiling 333-t1.svg
(3.3)3
H2 tiling 344-2.png
(4.4)3
H2 tiling 355-2.png
(5.5)3
H2 tiling 366-2.png
(6.6)3
H2 tiling 3ii-2.png
(∞.∞)3
Domenii ale triunghiurilor isoscele (p p 4),
CDel node 1.pngCDel split1-pp.pngCDel branch.pngCDel label4.png = CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node h0.png = {p,8}12
{3,8}12 {4,8}12 {5,8}12 {6,8}12... {∞,8}12
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node h0.png =CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.pngCDel label4.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node h0.png =CDel node 1.pngCDel split1-44.pngCDel branch.pngCDel label4.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node h0.png =CDel node 1.pngCDel split1-55.pngCDel branch.pngCDel label4.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node h0.png =CDel node 1.pngCDel split1-66.pngCDel branch.pngCDel label4.png CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node h0.png =CDel node 1.pngCDel split1-ii.pngCDel branch.pngCDel label4.png
H2 tiling 334-4.png
(3.3)4
H2 tiling 444-2.png
(4.4)4
H2 tiling 455-2.png
(5.5)4
H2 tiling 466-2.png
(6.6)4
H2 tiling 4ii-2.png(∞.∞)4
Un poliedru sau pavare regulate pot fi considerate cvasiregulate dacă au un număr par de fețe în jurul fiecărui vârf (și astfel poate avea fețele colorate alternativ).

În geometrie un poliedru cvasiregulat este un poliedru uniform care are exact două tipuri de fețe regulate, care alternează în jurul fiecărui vârf. Ele sunt tranzitive pe vârfuri și pe laturi, deci mai apropiate de poliedrele regulate decât cele semiregulate, care sunt tranzitive doar pe vârfuri.

Dualele lor sunt tranzitive pe fețe și laturi; au exact două tipuri de figuri ale vârfului, regulate, care alternează în jurul fiecărei fețe. Uneori acestea sunt considerate și ele cvasiregulate.

Există doar două poliedre convexe cvasiregulate: cuboctaedrul și icosidodecaedrul. Numele lor, date de Kepler, provin din recunoașterea faptului că fețele lor sunt toate fețele perechii duale cub și octaedru în primul caz, și a perechii duale icosaedru și dodecaedru în cazul al doilea.

Aceste forme reprezentând o pereche a unei figuri regulate și duala acesteia pot primi un simbol Schläfli vertical sau r{p,q}, care să descrie faptul că fețele lor sunt toate fețele (în ordine diferită) ale celor două forme regulate, {p,q} și duala sa {q,p}. Un poliedru cvasiregulat cu acest simbol va avea o configurație a vârfului p.q.p.q (sau (p.q)2).

Mai general, o figură cvasiregulată poate avea configurația vârfului (p.q)r, reprezentând r (2 sau mai multe) secvențe de fețe în jurul vârfului.

Pavările planului pot fi și ele cvasiregulate, de exemplu pavarea trihexagonală, cu configurația vârfului (3.6)2. Alte pavări cvasiregulate există în planul hiperbolic, cum ar fi pavarea triheptagonală, (3.7)2. Sau, în general: (p.q)2, cu 1/p + 1/q < 1/2.

Poliedrele și pavările regulate cu un număr par de fețe la fiecare vârf pot fi considerate și cvasiregulate prin diferențierea între fețele de același ordin, prin reprezentarea lor diferită sau colorarea lor alternativă (fără a defini orientarea suprafeței). O figură regulată cu simbolul Schläfli {p,q} poate fi considerată cvasiregulată, cu configurația vârfului (p.p)q/2, pentru q par.

Exemple

Octaedrul regulat, cu simbolul Schläfli {3,4}, deoarece 4 este par poate fi considerat cvasiregulat, ca tetratetraedru (2 seturi de 4 triunghiuri ale tetraedrului), cu configurația vârfului (3.3)4/2 = (3a.3b)2, alternând două culori ale fețelor triunghiulare.

Pavarea pătrată, cu configurația vârfului 44, deoarece 4 este par poate fi considerată cvasiregulată, cu configurația vârfului (4.4)4/2 = (4a.4b)2, colorată ca tabla de șah.

Pavarea triunghiulară, cu configurația vârfului 36, deoarece 6 este par poate fi considerată cvasiregulată, cu configurația vârfului (3.3)6/2 = (3a.3b)3, alternând două culori ale fețelor triunghiulare.

Construcția WythoffModificare

Wythoffian construction diagram.svg
Poliedre regulate (p | 2 q) și cvasiregulate (2 | p q) create prin Construcția Wythoff cu punctul generator într-unul dintre cele trei colțuri ale domeniului fundamental. Aceasta definește o singură latură din domeniul fundamental.
Poliedre cvasiregulate generate din toate cele 3 colțuri ale domeniului fundamental al triunghiurilor Schwarz care nu au unghiuri drepte:
q | 2 p, p | 2 q, 2 | p q

Coxeter definește un poliedru cvasiregulat ca având un simbol Wythoff de forma p | q r, poliedru care este regulat dacă q=2 sau q=r.[1]

Diagrama Coxeter–Dynkin este o altă reprezentare simbolică care arată relația cvasiregulată dintre două forme duale regulate:

Simbol Schläfli Diagramă Coxeter Simbol Wythoff
{p,q} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png q | 2 p
{q,p} CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png p | 2 q
r{p,q} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png or CDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png 2 | p q

Poliedrele cvasiregulate convexeModificare

Există două poliedre uniforme cvasiregulate convexe:

  1. cuboctaedrul , cu configurația vârfului (3.4)2 și diagrama Coxeter–Dynkin CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png ;
  2. icosidodecaedrul , cu configurația vârfului (3.5)2 și diagrama Coxeter–Dynkin CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png .

În plus, octaedrul, care este și el regulat, , cu configurația vârfului (3.3)2, poate fi considerat cvasiregulat dacă fețele sale se colorează alternativ cu două culori. În această formă uneori este cunoscut sub numele de tetratetraedru. Poliedrele regulate convexe rămase au un număr impar de fețe la fiecare vârf, așa că nu pot fi colorate într-un mod care să păstreze tranzitivitatea pe laturi. Are diagrama Coxeter–Dynkin CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png .

Fiecare dintre acestea formează nucleul comun al unei perechi de poliedre duale regulate. Numele a două dintre acestea dau indicații pentru perechea duală asociată: cub octaedru, respectiv icosaedru dodecaedru. Octaedrul este nucleul comun a perechii duale de tetraedre (compusul cunoscut drept stella octangula); când este oținut astfel, octaedrul este uneori numit tetratetraedru, ca tetraedru tetraedru.

Regulat Dual regulat Nucleu comun cvasiregulat Figura vârfului
Uniform polyhedron-33-t0.png
Tetraedru
{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 | 2 3
Uniform polyhedron-33-t2.png
Tetraedru
{3,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
3 | 2 3
Uniform polyhedron-33-t1.png
Tetratetraedru
r{3,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 | 3 3
Tetratetrahedron vertfig.png
3.3.3.3
Uniform polyhedron-43-t0.svg
Cub
{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 | 2 4
Uniform polyhedron-43-t2.svg
Octaedru
{3,4}
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
4 | 2 3
Uniform polyhedron-43-t1.svg
Cuboctaedru
r{3,4}
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 | 3 4
Cuboctahedron vertfig.png
3.4.3.4
Uniform polyhedron-53-t0.svg
Dodecaedru
{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 | 2 5
Uniform polyhedron-53-t2.svg
Icosaedru
{3,5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
5 | 2 3
Uniform polyhedron-53-t1.svg
Icosidodecaedru
r{3,5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 | 3 5
Icosidodecahedron vertfig.png
3.5.3.5

Oricare dintre aceste poliedre cvasiregulate poate fi construit printr-o operație de rectificare a oricăruia dintre poliedrele de proveniență regulate, trunchiind complet vârfurile, până când fiecare latură inițială este redusă la punctul său de mijloc.

Pavări cvasiregulateModificare

Această secvență continuă ca pavarea trihexagonală, cu figura vârfului (3.6)2 — o pavare cvasiregulată bazată pe pavarea triunghiulară și pavarea hexagonală.

Regulată Regulată duală Combinație cvasiregulată Figura vârfului
Uniform tiling 63-t0.svg
Pavare hexagonală
{6,3}
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
6 | 2 3
Uniform tiling 63-t2.svg
Pavare triunghiulară
{3,6}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 | 2 6
Uniform tiling 63-t1.svg
Pavare trihexagonală
r{6,3}
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 | 3 6
Trihexagonal tiling vertfig.png
(3.6)2

Modelul tablei de șah este o colorare cvasiregulată a pavării pătrate, cu figura vârfului (4.4)2:

Regulată Regulată duală Combinație cvasiregulată Figura vârfului
Uniform tiling 44-t0.svg
{4,4}
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
4 | 2 4
Uniform tiling 44-t2.svg
{4,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
4 | 2 4
Uniform tiling 44-t1.svg
r{4,4}
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
2 | 4 4
Square tiling vertfig.png
(4.4)2

Pavarea triunghiulară poate fi și ea considerată și cvasiregulată, cu trei seturi de triunghiuri alternante la fiecare vârf, (3.3)3:

Uniform tiling 333-t1.svg
h{6,3}
3 | 3 3
CDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png = CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

În planul hiperbolic această secvență continuă, de exemplu cu pavarea triheptagonală, cu figura vârfului (3.7)2 - o pavare cvasiregulată bazată pe pavarea triunghiulară de ordinul 7 și pavarea heptagonală.

Regulat Dual regulat Combinație cvasiregulată Figura vârfului
Heptagonal tiling.svg
Pavare heptagonală
{7,3}
CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
7 | 2 3
Order-7 triangular tiling.svg
Pavare triunghiulară
{3,7}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 | 2 7
Triheptagonal tiling.svg
Pavare triheptagonală
r{3,7}
CDel node.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 | 3 7
Triheptagonal tiling vertfig.png
(3.7)2

Exemple neconvexeModificare

Coxeter, H.S.M. și colab. (1954) clasifică și anumite poliedre stelate, având aceleași caracteristici, ca fiind cvasiregulate. Două se bazează pe perechi duale de poliedre Kepler–Poinsot, în același mod ca și la exemplele convexe:

  1. marele icosidodecaedru ;
  2. dodecadodecaedrul .
Regulat Dual regulat Nucleu cvasiregulat comun Figura vârfului
Great stellated dodecahedron.png
Marele dodecaedru stelat
{5/2,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 | 2 5/2
Great icosahedron.png
Marele icosaedru
{3,5/2}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
5/2 | 2 3
Great icosidodecahedron.png
Marele icosidodecaedru
r{3,5/2}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 | 3 5/2
Great icosidodecahedron vertfig.png
3.5/2.3.5/2
Small stellated dodecahedron.png
Micul dodecaedru stelat
{5/2,5}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
5 | 2 5/2
Great dodecahedron.png
Marele dodecaedru
{5,5/2}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.png
5/2 | 2 5
Dodecadodecahedron.png
Dodecadodecaedrul
r{5,5/2}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
2 | 5 5/2
Dodecadodecahedron vertfig.png
5.5/2.5.5/2

Alte nouă sunt hemipoliedre, care sunt forme fațetate ale poliedrelor cvasiregulare menționate mai sus, derivate din rectificarea poliedrelor regulate. Acestea cuprind fețele ecuatoriale care trec prin centrul poliedrelor:

Cvasiregulat (rectificat) Rectified tetrahedron.png
Tetratetraedru
Cuboctahedron.png
Cuboctaedru
Icosidodecahedron.png
Icosidodecaedru
Great icosidodecahedron.png
Marele icosidodecaedru
Dodecadodecahedron.png
Dodecadodecaedru
Cvasiregulat (hemipoliedre) Tetrahemihexahedron.png
Tetrahemihexaedru
3/2 3 | 2
Octahemioctahedron.png
Octahemioctaedru
3/2 3 | 3
Small icosihemidodecahedron.png
Micul icosihemidodecaedru
3/2 3 | 5
Great icosihemidodecahedron.png
Marele icosihemidodecaedru
3/2 3 | 5/3
Small dodecahemicosahedron.png
Micul dodecahemicosaedru
5/3 5/2 | 3
Figura vârfului Tetrahemihexahedron vertfig.png
3.4.3/2.4
Octahemioctahedron vertfig.png
3.6.3/2.6
Small icosihemidodecahedron vertfig.png

3.10.3/2.10
Great icosihemidodecahedron vertfig.png
3.10/3.3/2.10/3
Small dodecahemicosahedron vertfig.png
5/2.6.5/3.6
Cvasiregulat (hemipoliedre)   Cubohemioctahedron.png
Cubohemioctaedru
4/3 4 | 3
Small dodecahemidodecahedron.png
Micul dodecahemidodecaedru
5/4 5 | 5
Great dodecahemidodecahedron.png
Marele dodecahemidodecaedru
5/3 5/2 | 5/3
Great dodecahemicosahedron.png
Marele dodecahemicosaedru
5/4 5 | 3
Figura vârfului   Cubohemioctahedron vertfig.png
4.6.4/3.6
Small dodecahemidodecahedron vertfig.png
5.10.5/4.10
Great dodecahemidodecahedron vertfig.png
5/2.10/3.5/3.10/3
Great dodecahemicosahedron vertfig.png
5.6.5/4.6

În final, există trei forme ditrigonale, toate fațetele dodecaedrului regulat, ale căror figuri ale vârfului conțin trei alternanțe ale celor două tipuri de fețe:

Imagine Fațetat din
Simbol Wythoff
Diagramă Coxeter
Figura vârfului
Ditrigonal dodecadodecahedron.png Dodecadodecaedru ditrigonal
3 | 5/3 5
Ditrigonal dodecadodecahedron cd.png or CDel node.pngCDel 5.pngCDel node h3.pngCDel 5-2.pngCDel node.png
Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.png
(5.5/3)3
Small ditrigonal icosidodecahedron.png Micul icosidodecaedru ditrigonal
3 | 5/2 3
Small ditrigonal icosidodecahedron cd.png or CDel node h3.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Small ditrigonal icosidodecahedron vertfig.png
(3.5/2)3
Great ditrigonal icosidodecahedron.png Marele icosidodecaedru ditrigonal
3/2 | 3 5
Great ditrigonal icosidodecahedron cd.png or CDel node h3.pngCDel 5-2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Great ditrigonal icosidodecahedron vertfig.png
((3.5)3)/2

În planul euclidian, secvența de hemipoliedre continuă cu următoarele patru pavări stelate, unde apeirogoanele apar ca poligoane ecuatoriale menționate mai sus:

Pavare
inițială
rectificată
Diagrama
laturii
Corp Config.
vârf
Wythoff Grup de
simetrie
Uniform tiling 44-t1.svg
Pavare
pătrată
4.oo.4-3.oo tiling frame.png Star tiling sha.gif 4.∞.4/3.∞
4.∞.-4.∞
4/3 4 | ∞ p4m
Uniform tiling 333-t1.svg
Pavare
triunghiulară
3.oo.3.oo.3oo tiling-frame.png Star tiling ditatha.gif (3.∞.3.∞.3.∞)/2 3/2 | 3 ∞ p6m
Uniform tiling 63-t1.svg
Pavare
trihexagonală
6.oo.6-5.oo tiling-frame.png Star tiling hoha.gif 6.∞.6/5.∞
6.∞.-6.∞
6/5 6 | ∞
Star tiling tha.gif ∞.3.∞.3/2
∞.3.∞.-3
3/2 3 | ∞

Duale cvasiregulateModificare

Unele autorități susțin că, deoarece dualele poliedrelor cvasiregulate au aceleași simetrii, și aceste duale ar trebui să fie numite cvasiregulate. Dar nu toată lumea folosește această terminologie. Aceste duale sunt tranzitive pe laturile și fețele lor (dar nu și pe vârfurile lor); sunt poliedrele Catalan tranzitive pe laturi. Cele convexe sunt, în ordinea corespunzătoare ca mai sus:

  1. dodecaedrul rombic, cu două tipuri de vârfuri alternante, 8 cu trei fețe rombice și 6 cu patru fețe rombice;
  2. triacontaedrul rombic, cu două tipuri de vârfuri alternante, 20 cu trei fețe rombice și 12 cu cinci fețe rombice.

În plus, prin dualitate cu octaedrul, cubul, care este de obicei regulat, poate fi făcut cvasiregulat dacă vârfurile alternate primesc culori diferite.

Configurațiile fețelor lor au forme V3.n.3.n și diagrama Coxeter–Dynkin CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel n.pngCDel node.png

Hexahedron.svg Rhombicdodecahedron.jpg Rhombictriacontahedron.svg Rhombic star tiling.png 7-3 rhombille tiling.svg H2-8-3-rhombic.svg
Cub
V(3.3)2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Dodecaedru rombic
V(3.4)2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.png
Triacontaedru rombic
V(3.5)2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.png
Pavare rombică
V(3.6)2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node.png
V(3.7)2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node.png
V(3.8)2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 8.pngCDel node.png

Aceste trei duale cvasiregulate sunt, de asemenea, caracterizate prin faptul că au fețele rombice. Acest model cu fețe rombice continuă ca V(3.6)2, pavare rombică.

Politopuri și faguri cvasiregulațiModificare

În dimensiuni superioare, Coxeter a definit un politop sau un fagure cvasiregulat prin faptul de a avea fațete regulate și figuri ale vârfului cvasiregulate. Rezultă că toate figurile vârfurilor sunt congruente și că există două tipuri de fațete, care alternează.[2]

În spațiul euclidian cvadridimensional 16-celule regulat poate fi văzut, de asemenea, ca fiind cvasiregulat ca un tesseract, h{4,3,3}, cu diagramele Coxeter: CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, compus din celule alternative tetraedru și tetraedru. Figura vârfului este tetratetraedrul cvasiregulat (un octaedru cu simetrie tetraedrică), CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Singurul fagure cvasiregulat din spațiul euclidian tridimensional este fagurele cubic alternat, h{4,3,4}, cu diagramele Coxeter: CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png = CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png, compus din celule alternante tetraedrice și octaedrice. Figura sa de vârf este cuboctaedrul cvasiregulat, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png.[2]

În spațiul hiperbolic tridimensional un fagure cvasiregulat este fagurele cubic alternat de ordinul 5, h{4,3,5}, cu diagramele Coxeter: CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png = CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png, compus din celule alternante tetraedrice și icosaedrice. Figura sa de vârf este icosidodecaedrul cvasiregulat, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png. Un fagure cubic alternat de ordinul 6 paracompact înrudit, h{4,3,6} are celule alternante tetraedrice și hexagonale de pavări cu figura vârfului o pavare trihexagonală cvasiregulată, CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Politopuri și faguri cvasiregulați: h{4,p,q}
Spațiu Finit Afin Compact Paracompact
Simbol
Schläfli
h{4,3,3} h{4,3,4} h{4,3,5} h{4,3,6} h{4,4,3} h{4,4,4}
Diagramă
Coxeter
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel nodes 10ru.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel nodes 10ru.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1-53.pngCDel nodes.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1-63.pngCDel nodes.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1-44.pngCDel nodes.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png
Imagine 16-cell nets.png Tetrahedral-octahedral honeycomb.png Alternated order 5 cubic honeycomb.png H3 444 FC boundary.png
Figura
vârfului

r{p,3}
Uniform polyhedron-33-t1.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-43-t1.svg
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-53-t1.svg
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 63-t1.svg
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-43-t1.svg
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 44-t1.svg
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
Figura vârfului comună este tetratetraedrul cvasiregulat, CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, la fel ca octaedrul regulat

4-politopurile regulate sau fagurii de forma {p,3,4} sau CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png pot avea simetria înjumătățită ca CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png în formă cvasiregulată CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel node.png, creând celule {p,3} colorate alternativ. Aceste cazuri cuprind fagurele cubic euclidian {4,3,4} cu celule cubice, cel hiperbolic compact {5,3,4} cu celule dodecaedrice și cel paracompact {6,3,4} cu celule pavări hexagonale infinite. Au câte patru celule în jurul fiecărei laturi, alternând în 2 culori. Figurile vârfurilor lor sunt tetratetraedre cvasiregulate, CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png.

Faguri regulați și cvasiregulați: {p,3,4} și {p,31,1}
Spațiu 4-spațiu euclidian 3-spațiu euclidian 3-spțiu hiperbolic
Nume {3,3,4}
{3,31,1} =
{4,3,4}
{4,31,1} =
{5,3,4}
{5,31,1} =
{6,3,4}
{6,31,1} =
Diagramă
Coxeter
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
Imagine 16-cell nets.png Bicolor cubic honeycomb.png H3 534 CC center.png H3 634 FC boundary.png
Celule
{p,3}
Uniform polyhedron-33-t0.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-43-t0.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-53-t0.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-63-t0.png
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Figura vârfului comună este pavarea triunghiulară cvasiregulată, CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png

Similar, fagurii hiperbolici regulați de forma {p,3,6} sau CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png pot avea simetria înjumătățită ca CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node h0.png într-o formă cvasiregulată CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png, formând celule {p,3} colorate alternat. Aceștia au câte șase celule în jurul fiecărei laturi, alternând în 2 culori. Figurile vârfurilor lor sunt pavări triunghiulare cvasiregulate, CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png.

Faguri hiperbolici uniformi: {p,3,6} și {p,3[3]}
Formă Paracompact Necompact
Nume {3,3,6}
{3,3[3]}
{4,3,6}
{4,3[3]}
{5,3,6}
{5,3[3]}
{6,3,6}
{6,3[3]}
{7,3,6}
{7,3[3]}
{8,3,6}
{8,3[3]}
... {∞,3,6}
{∞,3[3]}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
Imagine H3 336 CC center.png H3 436 CC center.png H3 536 CC center.png H3 636 FC boundary.png Hyperbolic honeycomb 7-3-6 poincare.png Hyperbolic honeycomb 8-3-6 poincare.png Hyperbolic honeycomb i-3-6 poincare.png
Celule Tetrahedron.png
{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Hexahedron.png
{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Dodecahedron.png
{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 63-t0.svg
{6,3}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Heptagonal tiling.svg
{7,3}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2-8-3-dual.svg
{8,3}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2-I-3-dual.svg
{∞,3}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

NoteModificare

  1. ^ en Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S. and Miller, J.C.P. Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 246 A (1954), pp. 401–450. (Section 7, The regular and quasiregular polyhedra p | q r)
  2. ^ a b en Coxeter, Regular Polytopes, 4.7 Other honeycombs. p.69, p.88

BibliografieModificare

  • en Cromwell, P. Polyhedra, Cambridge University Press (1977).
  • en Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8, 2.3 Quasi-Regular Polyhedra. (p. 17), Quasi-regular honeycombs p.69

Legături externeModificare