Wikipedia

Pavare triunghiulară

pavare a planului cu triunghiuri echilaterale
Pavare triunghiulară
Descriere
Tippavare uniformă
Configurația vârfului3.3.3.3.3.3 (sau 36)
Configurația fețeiV6.6.6 (sau V63)
Simbol Wythoff6 | 3 2
3 | 3 3
| 3 3 3
Simbol Schläfli{3,6}
{3[3]}
Diagramă Coxeter

=
Grup de simetriep6m, [6,3], (*632)
Grup de rotațiep6, [6,3]+, (632)
p3, [3[3]]+, (333)
Poliedru dualpavare hexagonală
Proprietățitranzitivă pe fețe, pe laturi și pe vârfuri
Figura vârfului

În geometrie pavarea triunghiulară este una dintre cele trei pavări regulate, adică pavări uniforme ale planului euclidian, și este singura pavare în care dalele (formele constitutive) nu sunt paralelogoane. Deoarece unghiul intern al triunghiului echilateral este de 60°, șase triunghiuri care se întâlnesc într-un punct acoperă 360°. Pavarea triunghiulară are simbolul Schläfli {3,6}.

Pavarea duală

Celelalte două pavări regulate sunt pavarea pătrată și pavarea hexagonală.

Colorare uniformă modificare

Există 9 colorări uniforme diferite ale unei pavări triunghiulare. (Culorile celor 6 triunghiuri din jurul unui vârf sunt notate prin indici: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314) Trei dintre ele pot fi derivate din altele prin repetarea culorilor: 111212 și 111112 din 121213 combinând 1 și 3, în timp ce 111213 este redusă de la 121314.[1]

Există o clasă de colorare arhimedică, 111112, (marcată cu un *) care nu este 1-uniformă, care conține rânduri alternative de triunghiuri în care fiecare treime este colorată. Exemplul prezentat este 2-uniform, dar există o infinitate de astfel de colorări arhimedice care pot fi create prin deplasări orizontale arbitrare ale rândurilor.

111111 121212 111222 112122 111112(*)
         
p6m (*632) p3m1 (*333) cmm (2*22) p2 (2222) p2 (2222)
121213 111212 111112 121314 111213
         
p31m (3*3) p3 (333)

Rețeaua A2 și împachetarea cercurilor modificare

Aranjamentul vârfurilor pavării triunghiulare se numește rețea A2.[2] Este cazul bidimensional al unui fagure simplectic.

Rețeaua A*
2 (numită și A3
2) poate fi construită prin reuniunea tuturor celor trei rețele A2 și este echivalentă cu rețeaua A2.

    +     +     = duală a     =    
     
Pavare A2 triunghiulară uniformă, cu triunghiuri în 4 culori, înrudită cu poliedrul geodezic ca {3,6+}2,0 Rețeaua A*
2 în trei pavări triunghiulare:     +     +     		Împachetare optimă a cercurilor

Vârfurile pavării triunghiulare sunt centrele celei mai dense împachetări a cercurilor.[3] Fiecare cerc este în contact cu alte 6 cercuri din împachetare. Densitatea împachetării este π⁄√12 = 90,69 %. diagramă Voronoi⁠(d) a unei pavări triunghiulare este un hexagon, astfel că pavarea Voronoi, pavarea hexagonală, are o legătură directă cu împachetarea cercurilor.

Variații geometrice modificare

Pavările triunghiulare pot fi realizate cu topologia echivalentă {3,6} ca pavare regulată (6 triunghiuri în jurul fiecărui vârf). Cu fețe identice, (tranzitive pe fețe) și vârfuri, există 5 variații. Simetria dată presupune că toate fețele sunt de aceeași culoare.[4]

Poliedre și pavări înrudite modificare

Pavările plane sunt legate de poliedre. Plasarea în jurul unui vârf a mai puține triunghiuri decât permite planul lasă un gol care permite plierea într-o piramidă. Acestea pot fi extinse la poliedrele platonice: cinci, patru și trei triunghiuri pe un vârf definesc un icosaedru, un octaedru și, respectiv, un tetraedru.

Această pavare este legată topologic de secvența de poliedre regulate cu simbolurile Schläfli {3,n}, continuând în planul hiperbolic.

Variante de pavări regulate cu simetrie: *n32
Sferice Euclid. Hiperb. compacte Paraco. Hiperbolice necompacte
                       
3.3 33 34 35 36 37 38 3∞ 312i 39i 36i 33i

Este înrudită din punct de vedere topologic și cu secvența poliedrelor Catalan cu configurația feței Vn.6.6 și, de asemenea, continuă în planul hiperbolic.

 
V3.6.6 		 
V4.6.6 		 
V5.6.6 		 
V6.6.6 		 
V7.6.6

Construcții Wythoff pentru pavări hexagonale și triunghiulare modificare

Ca și la poliedrele uniforme, există opt pavări uniforme care au baza pavarea hexagonală regulată (sau pavarea triunghiulară duală).

Reprezentând dalele colorate roșu pe fețele originale, galben în vârfurile originale și albastru de-a lungul laturilor originale, există 8 forme, dintre care 7 sunt topologic distincte. (Pavarea triunghiulară trunchiată este identică din punct de vedere topologic cu pavarea hexagonală.)

Pavări hexagonale/triunghiulare uniforme
Domenii
fundamentale 		Simetrie: [6,3], (*632) [6,3]+, (632)
{6,3} t{6,3} r{6,3} t{3,6} {3,6} rr{6,3} tr{6,3} sr{6,3}
                                               
                 
Config. 63 3.12.12 (6.3)2 6.6.6 36 3.4.6.4 4.6.12 3.3.3.3.6
Pavări cu simetrie triunghiulară
Wythoff 3 | 3 3 3 3 | 3 3 | 3 3 3 3 | 3 3 | 3 3 3 3 | 3 3 3 3 | | 3 3 3
Coxeter                                
Imagine
Figura
vârfului 		 
(3.3)3 		 
3.6.3.6 		 
(3.3)3 		 
3.6.3.6 		 
(3.3)3 		 
3.6.3.6 		 
6.6.6 		 
3.3.3.3.3.3

Note modificare

  1. ^ Tilings and Patterns, p.102-107
  2. ^ en „The Lattice A2”. 
  3. ^ en Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, p.74-75, pattern 1
  4. ^ Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481

Bibliografie modificare

Legături externe modificare

  Portal Matematică
 v • d • m Faguri convecși regulați și uniformi în dimensiunile 2–8
Spațiu Familia           /   /  
E2 Pavare uniformă {3[3]} δ3 hδ3 qδ3 Hexagonală
E3 Fagure convex uniform {3[4]} δ4 hδ4 qδ4
E4 4-fagure uniform {3[5]} δ5 hδ5 qδ5 Fagure 24-celule
E5 5-fagure uniform {3[6]} δ6 hδ6 qδ6
E6 6-fagure uniform {3[7]} δ7 hδ7 qδ7 222
E7 7-fagure uniform {3[8]} δ8 hδ8 qδ8 133 • 331
E8 8-fagure uniform {3[9]} δ9 hδ9 qδ9 152 • 251 • 521
En-1 (n−1)-fagure uniform {3[n]} δn hδn qδn 1k2 • 2k1 • k21
Adus de la https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Pavare_triunghiulară&oldid=15269285