Figură izoedrică

În geometrie, un politop tridimensional (un poliedru) sau mai mare este izoedru sau tranzitiv pe fețe atunci când fețele sunt aceleași. Mai precis, toate fețele nu trebuie să fie doar congruente, ci trebuie să fie tranzitive, adică trebuie să se afle în aceeași orbită de simetrie. Cu alte cuvinte, pentru orice fețe A și B, trebuie să existe o simetrie a întregului poliedru prin rotații și reflexii care aplică A pe B. Din acest motiv, poliedrele izoedrice convexe sunt formele potrivite pentru zaruri corecte.[1]

Un set de zaruri izoedrice

Poliedrele izoedrice se numesc izoedre. Ele pot fi descrise prin configurația feței. O formă care este izoedrică și are vârfuri regulate este, de asemenea, tranzitivă pe muchii (izotoxală) și se spune că este un poliedru cvasiregulat dual: unii teoreticieni consideră aceste figuri ca fiind cu adevărat cvasiregulate, deoarece au aceleași simetrii, dar acest lucru nu este acceptat în general. Un izoedru are un număr par de fețe.[2]

Un poliedru care este izoedric are un poliedru dual care este tranzitiv pe vârfuri (izogonal). Poliedrele Catalan, bipiramidele și trapezoedrele sunt toate izoedrice. Acestea sunt duale ale poliedrelor izogonale: arhimedice, prisme și antiprisme. Poliedrele platonice, care sunt fie autoduale, fie dual al altui poliedru platonic, sunt tranzitive pe vârfuri, muchii și fețe (sunt izogonale, izotoxale și izoedrice). Se spune că un poliedru izoedric și izogonal este un poliedru nobil.

Nu toate izozonoedrele[3] sunt izoedrice.[4] De exemplu un icosaedru rombic este un izozonoedru, dar nu un izoedru.[5]

ExempleModificare

Convex Concav
 
Bipiramida hexagonală, V4.4.6, nu este un poliedru regulat, dar este izoedrică.
 
Pavarea pentagonală Cairo, V3.3.4.3.4, este izoedrică.
 
Fagurele dodecaedric rombic este un fagure izoedric (și izotopic).
 
Pavarea topologic pătrată deformată în forme spirale H.

Clasele izoedrelor după simetrieModificare

Fețe Config.
feței
Clasă Nume Simetrie Ordin Convex Coplanar Neconvex
4 V33 platonic tetraedru,
bisfenoid tetragonal,
bisfenoid rombic
Td, [3,3], (*332)
D2d, [2+,2], (2*)
D2, [2,2]+, (222)
24
4
4
4
   
6 V34 platonic cub,
trapezoedru trigonal,
trapezoedru trigonal asimetric
Oh, [4,3], (*432)
D3d, [2+,6]
(2*3)
D3
[2,3]+, (223)
48
12
12
6
   
8 V43 platonic octaedru,
bipiramidă pătrată,
bipiramidă rombică,
scalenoedru pătrat
Oh, [4,3], (*432)
D4h,[2,4],(*224)
D2h,[2,2],(*222)
D2d,[2+,4],(2*2)
48
16
8
8
        
12 V35 platonic dodecaedru regulat,
piritoedru,
tetartoid
Ih, [5,3], (*532)
Th, [3+,4], (3*2)
T, [3,3]+, (*332)
120
24
12
         
20 V53 platonic icosaedru regulat Ih, [5,3], (*532) 120  
12 V3.62 Catalan tetraedru triakis Td, [3,3], (*332) 24       
12 V(3.4)2 Catalan dodecaedru rombic,
dodecaedru romboidal
Oh, [4,3], (*432)
Td, [3,3], (*332)
48
24
        
24 V3.82 Catalan octaedru triakis Oh, [4,3], (*432) 48     
24 V4.62 Catalan hexaedru tetrakis Oh, [4,3], (*432) 48         
24 V3.43 Catalan icositetraedru romboidal Oh, [4,3], (*432) 48         
48 V4.6.8 Catalan dodecaedru disdiakis Oh, [4,3], (*432) 48         
24 V34.4 Catalan icositetraedru pentagonal O, [4,3]+, (432) 24  
30 V(3.5)2 Catalan triacontaedru rombic Ih, [5,3], (*532) 120  
60 V3.102 Catalan icosaedru triakis Ih, [5,3], (*532) 120       
60 V5.62 Catalan dodecaedru pentakis Ih, [5,3], (*532) 120        
60 V3.4.5.4 Catalan hexacontaedru romboidal Ih, [5,3], (*532) 120      
120 V4.6.10 Catalan triacontaedru disdiakis Ih, [5,3], (*532) 120          
60 V34.5 Catalan hexacontaedru pentagonal I, [5,3]+, (532) 60  
2n V33.n Polar trapezoedru,
trapezoedru asimetric
Dnd, [2+,2n], (2*n)
Dn, [2,n]+, (22n)
4n
2n
    
  
2n
4n
V42.n
V42.2n
V42.2n
Polar n-bipiramidă regulată,
2n-bipiramidă izotoxală,
2n-scalenoedru
Dnh, [2,n], (*22n)
Dnh, [2,n], (*22n)
Dnd, [2+,2n], (2*n)
4n             

Figuri k-izoedriceModificare

Un poliedru (sau politop în general) este un k- izoedru dacă conține k fețe în domeniul său fundamental de simetrie.[6]

Similar, o k-pavare izoedrică are k orbite de simetrie separate (și poate conține m fețe de diferite forme pentru unele m < k ).[7]

Un poliedru monoedric sau pavare monoedrică (m = 1) are fețe congruente, direct sau reflexiv, care apar în una sau mai multe poziții de simetrie. Un poliedru sau pavare r-edrice are r tipuri de fețe (numite și diedrice pentru 2, respectiv triedrice pentru 3).[8]

Iată câteva exemple de poliedre și pavări k-izoedrice, cu fețele lor colorate în funcție de pozițiile lor de k-simetrie:

3-izoedric 4-izoedric Izoedric 2-izoedric
Poliedre (2-edrice) cu fețe regulate Poliedre monoedrice
       
Rombicuboctaedrul
are 1 tip de triunghiuri
și 2 tipuri de pătrate
Pseudorombicuboctaedrul
are 1 tip de triunghiuri
și 3 tipuri de pătrate
Icositetraedrul romboidal
are 1 tip de față
 
Icositetraedrul pseudoromboidal
are 2 tipuri de fețe
cu forme identice
3-izoedric 4-izoedric Izoedric 2-izoedric
Pavare regulată pe fețe (2-edrică) Pavări monoedrice
     
Pavare pitagoreică
cu 2 dimensiuni de pătrate
 
Pavare 3-uniformă
cu 3 tipuri de triunghiuri
și 1 pătrat
Model schelet de pește
cu 1 tip de dale (fețe)
dreptunghiulare
Pavare pentagonală
cu 3 tipuri de dale (fețe)
neregulate pentagonale

Termeni asociațiModificare

O figură tranzitivă pe fațete sau izotopică este un politop sau fagure n-dimensionali cu fațete ((n−1)-fețe) congruente și tranzitive. Politopul dual al unui izotop este un politop izogonal. Prin definiție, această proprietate izotopică este comună dualelor politopurilor uniforme.

  • O figură izotopică 1-dimensională este izogonală (tranzitivă pe vârfuri).
  • O figură izotopică 2-dimensională este izotoxală (tranzitivă pe muchii).
  • O figură izotopică 3-dimensională este izoedrică (tranzitivă pe fețe).
  • O figură izotopică n-dimensională (n > 3) este izotopică (tranzitivă pe (n−1)-fețe). Pentru n = 4, izotopică înseamnă tranzitivă pe celule.

NoteModificare

  1. ^ en McLean, K. Robin (), „Dungeons, dragons, and dice”, The Mathematical Gazette, 74 (469): 243–256, doi:10.2307/3619822, JSTOR 3619822 .
  2. ^ en Grünbaum (1960)
  3. ^ en Weisstein, Eric W. „Isozonohedron”. mathworld.wolfram.com (în engleză). Accesat în . 
  4. ^ en Weisstein, Eric W. „Isohedron”. mathworld.wolfram.com (în engleză). Accesat în . 
  5. ^ en Weisstein, Eric W. „Rhombic Icosahedron”. mathworld.wolfram.com (în engleză). Accesat în . 
  6. ^ en Socolar, Joshua E. S. (). „Hexagonal Parquet Tilings: k-Isohedral Monotiles with Arbitrarily Large k (corrected PDF). The Mathematical Intelligencer. 29: 33–38. arXiv:0708.2663 . doi:10.1007/bf02986203. Accesat în . 
  7. ^ en Craig S. Kaplan. "Introductory Tiling Theory for Computer Graphics". 2009. Chapter 5 "Isohedral Tilings". p. 35.
  8. ^ en Tilings and Patterns, p.20, 23

BibliografieModificare

  • en Peter R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press 1997, ISBN: 0-521-55432-2, p. 367 Transitivity

Legături externeModificare