Hexaedru tetrakis
| Hexaedru tetrakis | |
 | |
| (animație și model 3D) | |
| Descriere | |
|---|---|
| Tip | Poliedru Catalan |
| Fețe | 24 triunghiuri isoscele |
| Laturi (muchii) | 36 |
| Vârfuri | 14 |
| χ | 2 |
| Configurația feței | V.4.6.6 (triunghiuri isoscele) |
| Simbol Conway | kC |
| Diagramă Coxeter |     |
| Grup de simetrie | Oh, B3, [4,3], (*432) |
| Grup de rotație | O, [4,3]+, (432) |
| Arie | ≈ 8,660 a2 (a = latura mare) |
| Volum | = 1,500 a3 (a = latura mare) |
| Unghi diedru | 143° 07′ 48″ = arccos(−45) |
| Poliedru dual | Octaedru trunchiat |
| Proprietăți | Poliedru convex, tranzitiv pe fețe |
| Desfășurată | |
 | |
În geometrie un hexaedru tetrakis este un poliedru Catalan cu 24 de fețe. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Dualul hexaedrului tetrakis este octaedrul trunchiat. Este tranzitiv pe fețe.
Poate fi considerat un cub cu piramide pătrate lipite pe fețele cubului, ca urmare este un Kleetop.
Ca dual al unui tetraedru omnitrunchiat poate fi considerat un hexaedru disdiakis sau tetraedru hexakis.
Coordonate carteziene și dimensiuni
modificareCoordonatele carteziene ale celor 14 vârfuri ale unui hexaedru tetrakis centrat în origine, sunt punctele (±3/2, 0, 0), (0, ±3/2, 0), (0, 0, ±3/2) și (±1, ±1, ±1).
Lungimea laturilor scurte ale hexaedrului tetrakis este egală cu 3/2, iar cea a laturilor lungi este egală cu 2. Fețele sunt triunghiuri isoscele ascuțite. Unghiul mai mare din acestea este egal cu iar cele două mai mici sunt egale cu .
Dacă se notează lungimea laturii cubului de bază cu a, înălțimea apexului unei piramide de pe o față a cubului este a4. Înclinarea fețelor triunghiulare ale piramidei față de de fața cubului este arctg(12), aproximativ 26,565°[1]. Baza triunghiului isoscel are lungimea a, iar celelalte două laturi au lungimea de 3a4, care se obține din teorema lui Pitagora aplicată înălțimii și semidiagonalei piramidei. Asta duce la o înălțime a triunghiului unei fețe de √5a4.[2] Aria triunghiului este √5a28, iar inghiurile interne sunt arccos(23) (aproximativ 48,19°) iar unghiul complementar 180° − 2 arccos(23) (aproximativ 83,62°).
Aria totală a hexaedrului triakis este suma ariilor fețelor, adică 3√5a2.
Volumul unei piramide este a312; ca urmare volumul total al celor 6 piramide și a cubului central este 3a32.
Proiecții ortogonale
modificareHexaedrul tetrakis, dualul octaedrului trunchiat are 3 poziții de simetrie, două situate la vârfuri și una la mijlocul laturilor.
| Simetrie proiectivă |
[2] | [4] | [6] |
|---|---|---|---|
| Hexaedru tetrakis |
|
|
|
| Octaedru trunchiat |
|
|
|
Simetrie
modificareCu simetrie tetraedrică Td, [3,3] (*332), fețele triunghiulare reprezintă cele 24 de domenii fundamentale ale acestei simetrii. Acest poliedru poate fi construit din 6 cercuri mari pe o sferă. Poate fi considerat și un cub cu fețele pătrate triangulate prin vârfuri și centrele fețelor și un tetraedru cu fețele divizate de vârfuri, mijloacele laturilor și un punct central.
|
|
|
|
|
|
| Octaedru trunchiat |
Hexaedru disdiakis |
Dodecaedru rombic |
Hexaedru rombic |
Tetraedru | |
| Poliedru sferic | |||
|---|---|---|---|
|
|
|
|
| (animație) | Propiecții ortogonale după axele cu 2, 3 și 4 poziții | ||
Laturile hexaedrului tetrakis sferic sunt situate pe șase cercuri mari, care corespund planurilor de oglindire din simetria tetraedrică. Ele pot fi grupate în trei perechi de cercuri ortogonale (care se intersectează pe câte o axă de coordonate). În imaginile de mai jos, aceste hosoedre pătrate sunt colorate cu roșu, verde și albastru.
| Proiecții stereografice | |||
|---|---|---|---|
|
cu 2 poziții | cu 3 poziții | cu 4 poziții |
|
|
| |
Piramidă cubică
modificareEste foarte asemănător cu desfășurata tridimensională a piramidei cubice cvadridimensionale, așa cum desfășurata unei piramide pătrate este un pătrat cu triunghiuri atașate pe fiecare latură a sa, desfășurata unei piramide cubice este un cub cu piramide pătrate atașate pe fiecare față a sa.
Poliedre și pavări înrudite
modificare| Poliedre octaedrice uniforme | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Simetrie: [4,3], (*432) | [4,3]+ (432) |
[1+,4,3] = [3,3] (*332) |
[3+,4] (3*2) | |||||||
| {4,3} | t{4,3} | r{4,3} r{31,1} |
t{3,4} t{31,1} |
{3,4} {31,1} |
rr{4,3} s2{3,4} |
tr{4,3} | sr{4,3} | h{4,3} {3,3} |
h2{4,3} t{3,3} |
s{3,4} s{31,1} |
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
 =  
|
=
|
= 
|
|
 = sau 
|
= sau
|
=  
| ||||
|
|
 
|
 
|
 
|
 
|
|
|
 
|
 
|
 
|
| Dualele celor de mai sus | ||||||||||
| V43 | V3.82 | V(3.4)2 | V4.62 | V34 | V3.43 | V4.6.8 | V34.4 | V33 | V3.62 | V35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Variante de simetrii *n32 ale pavărilor trunchiate: n.6.6 | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sim. *n42 [n,3] |
Sferică | Euclid. | Compactă | Paracomp. | Hiperbolică necompactă | |||||||
| *232 [2,3] |
*332 [3,3] |
*432 [4,3] |
*532 [5,3] |
*632 [6,3] |
*732 [7,3] |
*832 [8,3]... |
*∞32 [∞,3] |
[12i,3] | [9i,3] | [6i,3] | ||
| Figuri trunchiate |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| Config. | 2.6.6 | 3.6.6 | 4.6.6 | 5.6.6 | 6.6.6 | 7.6.6 | 8.6.6 | ∞.6.6 | 12i.6.6 | 9i.6.6 | 6i.6.6 | |
| Figuri n-kis |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
| Config. | V2.6.6 | V3.6.6 | V4.6.6 | V5.6.6 | V6.6.6 | V7.6.6 | V8.6.6 | V∞.6.6 | V12i.6.6 | V9i.6.6 | V6i.6.6 | |
Acest poliedru face parte dintr-o secvență definită de configurația feței V4.6.2n. Acest grup este particular pentru că toți membrii săi au un număr par de laturi la vârf și formează plane care divid poliedrele și dreptele infinite din plan și continuând în planul hiperbolic pentru orice n ≥ 7.
Cu un număr par de fețe la fiecare vârf, aceste poliedre și pavări pot fi colorate alternativ cu numai două culori, astfel încât toate fețele adiacente să aibă culori diferite.
Fiecare față corespunde domeniul fundamental al unui grup de simetrie cu ordinul 2,3,n la fiecare vârf al feței triunghiulare.
| Variante de pavări omnitrunchiate cu simetrie *n32: 4.6.2n | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Simetrie *n32 [n,3] |
Sferice | Euclid. | Hiperb. compacte | Paraco. | Hiperbolice necompacte | |||||||
| *232 [2,3] |
*332 [3,3] |
*432 [4,3] |
*532 [5,3] |
*632 [6,3] |
*732 [7,3] |
*832 [8,3] |
*∞32 [∞,3] |
[12i,3] |
[9i,3] |
[6i,3] |
[3i,3] | |
| Imagini | 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Config. | 4.6.4 | 4.6.6 | 4.6.8 | 4.6.10 | 4.6.12 | 4.6.14 | 4.6.16 | 4.6.∞ | 4.6.24i | 4.6.18i | 4.6.12i | 4.6.6i |
| Duale | 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Config. | V4.6.4 | V4.6.6 | V4.6.8 | V4.6.10 | V4.6.12 | V4.6.14 | V4.6.16 | V4.6.∞ | V4.6.24i | V4.6.18i | V4.6.12i | V4.6.6i |
Note
modificare- ^ Șirul A073000 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
- ^ Șirul A204188 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
Bibliografie
modificare- en Williams, Robert (). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
- en Wenninger, Magnus (), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 14, Tetrakishexahedron)
- en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), The Symmetries of Things, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 284, Tetrakis hexahedron)
Legături externe
modificare- en Eric W. Weisstein, Tetrakis hexahedron la MathWorld.
- en Eric W. Weisstein, Catalan solid la MathWorld.
- en Virtual Reality Polyhedra www.georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra
- en Model VRML Arhivat în , la Wayback Machine.
- en Conway Notation for Polyhedra Chei: "dtO" sau "kC"
- en Tetrakis Hexahedron – Interactive Polyhedron model
- en The Uniform Polyhedra
