Hexaedru tetrakis
(animație și model 3D)
Descriere
TipPoliedru Catalan
Fețe24 triunghiuri isoscele
Laturi (muchii)36
Vârfuri14
χ2
Configurația fețeiV.4.6.6 (triunghiuri isoscele)
Simbol ConwaykC
Diagramă Coxeter
Grup de simetrieOh, B3, [4,3], (*432)
Grup de rotațieO, [4,3]+, (432)
Arie≈ 8,660 a2   (a = latura mare)
Volum= 1,500 a3   (a = latura mare)
Unghi diedru143° 07′ 48″ = arccos(−4/5)
Poliedru dualOctaedru trunchiat
ProprietățiPoliedru convex, tranzitiv pe fețe
Desfășurată

În geometrie un hexaedru tetrakis este un poliedru Catalan cu 24 de fețe. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Dualul hexaedrului tetrakis este octaedrul trunchiat. Este tranzitiv pe fețe.

Dual: Octaedru trunchiat

Poate fi considerat un cub cu piramide pătrate lipite pe fețele cubului, ca urmare este un Kleetop.

Ca dual al unui tetraedru omnitrunchiat poate fi considerat un hexaedru disdiakis sau tetraedru hexakis.

Coordonate carteziene și dimensiuni

modificare

Coordonatele carteziene ale celor 14 vârfuri ale unui hexaedru tetrakis centrat în origine, sunt punctele (±3/2, 0, 0), (0, ±3/2, 0), (0, 0, ±3/2) și (±1, ±1, ±1).

Lungimea laturilor scurte ale hexaedrului tetrakis este egală cu 3/2, iar cea a laturilor lungi este egală cu 2. Fețele sunt triunghiuri isoscele ascuțite. Unghiul mai mare din acestea este egal cu   iar cele două mai mici sunt egale cu  .

Dacă se notează lungimea laturii cubului de bază cu a, înălțimea apexului unei piramide de pe o față a cubului este a/4. Înclinarea fețelor triunghiulare ale piramidei față de de fața cubului este arctg(1/2), aproximativ 26,565°[1]. Baza triunghiului isoscel are lungimea a, iar celelalte două laturi au lungimea de 3a/4, care se obține din teorema lui Pitagora aplicată înălțimii și semidiagonalei piramidei. Asta duce la o înălțime a triunghiului unei fețe de 5a/4.[2] Aria triunghiului este 5a2/8, iar inghiurile interne sunt arccos(2/3) (aproximativ 48,19°) iar unghiul complementar 180° − 2 arccos(2/3) (aproximativ 83,62°).

Aria totală a hexaedrului triakis este suma ariilor fețelor, adică 35a2.

Volumul unei piramide este a3/12; ca urmare volumul total al celor 6 piramide și a cubului central este 3a3/2.

Proiecții ortogonale

modificare

Hexaedrul tetrakis, dualul octaedrului trunchiat are 3 poziții de simetrie, două situate la vârfuri și una la mijlocul laturilor.

Proiecții ortogonale
Simetrie
proiectivă
[2] [4] [6]
Hexaedru
tetrakis
     
Octaedru
trunchiat
     

Simetrie

modificare

Cu simetrie tetraedrică Td, [3,3] (*332), fețele triunghiulare reprezintă cele 24 de domenii fundamentale ale acestei simetrii. Acest poliedru poate fi construit din 6 cercuri mari pe o sferă. Poate fi considerat și un cub cu fețele pătrate triangulate prin vârfuri și centrele fețelor și un tetraedru cu fețele divizate de vârfuri, mijloacele laturilor și un punct central.

           
Octaedru
trunchiat
Hexaedru
disdiakis
Dodecaedru
rombic
Hexaedru
rombic
Tetraedru

Laturile hexaedrului tetrakis sferic sunt situate pe șase cercuri mari, care corespund planurilor de oglindire din simetria tetraedrică. Ele pot fi grupate în trei perechi de cercuri ortogonale (care se intersectează pe câte o axă de coordonate). În imaginile de mai jos, aceste hosoedre pătrate sunt colorate cu roșu, verde și albastru.

Piramidă cubică

modificare

Este foarte asemănător cu desfășurata tridimensională a piramidei cubice cvadridimensionale, așa cum desfășurata unei piramide pătrate este un pătrat cu triunghiuri atașate pe fiecare latură a sa, desfășurata unei piramide cubice este un cub cu piramide pătrate atașate pe fiecare față a sa.

Poliedre și pavări înrudite

modificare
Poliedre octaedrice uniforme    
Simetrie: [4,3], (*432) [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)
[3+,4]
(3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{31,1}
                                                     
     
=    
     
=    
     
=    
            =
    sau    
      =
    sau    
      =
   
     
 
 
 
 
 
 
 
           
 
Dualele celor de mai sus
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V33 V3.62 V35
                                                                 
                                         
                     


Variante de simetrii *n32 ale pavărilor trunchiate: n.6.6
Sim.
*n42
[n,3]
Sferică Euclid. Compactă Paracomp. Hiperbolică necompactă
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
[12i,3] [9i,3] [6i,3]
Figuri
trunchiate
                     
Config. 2.6.6 3.6.6 4.6.6 5.6.6 6.6.6 7.6.6 8.6.6 ∞.6.6 12i.6.6 9i.6.6 6i.6.6
Figuri
n-kis
               
Config. V2.6.6 V3.6.6 V4.6.6 V5.6.6 V6.6.6 V7.6.6 V8.6.6 V∞.6.6 V12i.6.6 V9i.6.6 V6i.6.6

Acest poliedru face parte dintr-o secvență definită de configurația feței V4.6.2n. Acest grup este particular pentru că toți membrii săi au un număr par de laturi la vârf și formează plane care divid poliedrele și dreptele infinite din plan și continuând în planul hiperbolic pentru orice n ≥ 7.

Cu un număr par de fețe la fiecare vârf, aceste poliedre și pavări pot fi colorate alternativ cu numai două culori, astfel încât toate fețele adiacente să aibă culori diferite.

Fiecare față corespunde domeniul fundamental al unui grup de simetrie cu ordinul 2,3,n la fiecare vârf al feței triunghiulare.

Variante de pavări omnitrunchiate cu simetrie *n32: 4.6.2n
Simetrie
*n32
[n,3]
Sferice Euclid. Hiperb. compacte Paraco. Hiperbolice necompacte
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]
*∞32
[∞,3]
 
[12i,3]
 
[9i,3]
 
[6i,3]
 
[3i,3]
Imagini                        
Config. 4.6.4 4.6.6 4.6.8 4.6.10 4.6.12 4.6.14 4.6.16 4.6.∞ 4.6.24i 4.6.18i 4.6.12i 4.6.6i
Duale                        
Config. V4.6.4 V4.6.6 V4.6.8 V4.6.10 V4.6.12 V4.6.14 V4.6.16 V4.6.∞ V4.6.24i V4.6.18i V4.6.12i V4.6.6i

Bibliografie

modificare
  • en Williams, Robert (). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  • en Wenninger, Magnus (), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 14, Tetrakishexahedron)
  • en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), The Symmetries of Things, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 284, Tetrakis hexahedron)

Legături externe

modificare