Icositetraedru pentagonal

poliedru Catalan
Icositetraedru pentagonal
Cele două forme chirale, cw și ccw
(animații cw și ccw, și model 3D)
Descriere
TipPoliedru Catalan
Fețe24
Laturi (muchii)60
Vârfuri38 = 6 + 8 + 24
χ2
Configurația fețeiV3.3.3.3.4 (pentagoane neregulate)
Simbol ConwaygC
Diagramă Coxeter
Grup de simetrieO, 1/2BC3, [4,3], 432
Arie≈ 19,300 a2   (a = latura dualului)
Volum≈   7,447 a3   (a = latura dualului)
Unghi diedru136° 18′ 33″
Poliedru dualCub snub
ProprietățiPoliedru convex, tranzitiv pe fețe, chiral
Desfășurată

În geometrie un icositetraedru pentagonal este un poliedru Catalan cu 24 de fețe. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Dualul icosaedrului pentagonal este cubul snub. Este tranzitiv pe fețe.

Duale: Cuburi snub, pe stânga și pe dreapta
O construcție geometrică a constantei tribonacci (AC), cu rigla și compasul, după metoda descrisă de Xerardo Neira

Are două forme chirale („enantiomorfe”).

Construcție

modificare

Icositetraedrul pentagonal poate fi construit dintr-un cub snub. Pe cele șase fețe pătrate ale cubului snub se adaugă piramide pătrate, iar pe cele opt fețe triunghiulare care nu au o muchie comună cu un pătrat se adaugă piramide triunghiulare. Înălțimile piramidelor sunt alese astfel încât să fie coplanare cu celelalte 24 de fețe triunghiulare ale cubului snub. Rezultatul este icositetraedrul pentagonal.

Coordonate carteziene

modificare

Se notează cu   constanta tribonacci. Atunci coordonatele carteziene pentru cele 38 de vârfuri ale icositetraedrului pentagonal centrat în origine, sunt:

  • cele 12 permutări pare ale (±1, ±(2t+1), ±t2) cu un număr impar de semne minus;
  • cele 12 permutări impare ale (±1, ±(2t+1), ±t2) cu un număr impar de semne minus;
  • cele 6 puncte (±t3, 0, 0), (0, ±t3, 0) și (0, 0, ±t3);
  • cele 8 puncte (±t2, ±t2, ±t2).

Geometrie

modificare

Fețele pentagonale au patru unghiuri de   și unul de  . Pentagonul are trei laturi scurte de lungime 1 și două laturi lungi de lungime  . Unghiul ascuțit este situat între laturile lungi. Unghiul diedru este de  .

Dacă dualul său, cubul snub, are lungimea laturii a, suprafața și volumul icositetraedrului pentagonal sunt:[1]

 

Proiecții ortogonale

modificare

Icositetraedrul pentagonal are trei proiecții ortogonale particulare, două centrate pe vârfuri și una centrată pe mijlocul laturilor.

Proiecții ortogonale sub formă de cadre de sârmă
Simetrie
proiectivă
[3] [4]+ [2]
Imagini      
Imagini
duale
     

Variații

modificare

Variații izoedrice cu aceeași simetrie octaedrică chirală pot fi construite cu fețe pentagonale având 3 lungimi de muchii.

Variația prezentată poate fi construită prin adăugarea de piramide pe 6 fețe pătrate și pe 8 fețe triunghiulare ale unui cub snub astfel încât noile fețe sunt formate din 3 triunghiuri coplanare fuzionate în fețe pentagonale identice.

 
Cub snub augmentat cu piramide și cu fețele compuse coplanare
 
Icositetraedru pentagonal
 
Desfășurată

Poliedre și pavări înrudite

modificare
 
Icositetraedru pentagonal sferic

Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări snub cu configurațiile feței (V3.3.3.3.n). Aceste figuri există în planul hiperbolic pentru orice n. Aceste figuri tranzitive pe fețe au simetrie de rotație (n32) în notația orbifold, existând în planul euclidian pentru orice n.

Variante de pavări snub cu simetrie n32: 3.3.3.3.n
Simetrie
n32
Sferice Euclidiană Hiperbolice compacte Paracomp.
232 332 432 532 632 732 832 ∞32
Imagini
snub
               
Config. 3.3.3.3.2 3.3.3.3.3 3.3.3.3.4 3.3.3.3.5 3.3.3.3.6 3.3.3.3.7 3.3.3.3.8 3.3.3.3.∞
Imagini
giro
               
Config. V3.3.3.3.2 V3.3.3.3.3 V3.3.3.3.4 V3.3.3.3.5 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.7 V3.3.3.3.8 V3.3.3.3.∞

Icositetraedru pentagonal este al doilea din seria poliedrelor și pavărilor duale snub cu configurația feței V3.3.4.3.n.

Variante de pavări snub cu simetrie 4n2: 3.3.4.3.n
Simetrie
4n2
Sferică Euclidiană Hiperbolice compacte Paracomp.
242 342 442 542 642 742 842 ∞42
Figuri
snub
               
Config. 3.3.4.3.2 3.3.4.3.3 3.3.4.3.4 3.3.4.3.5 3.3.4.3.6 3.3.4.3.7 3.3.4.3.8 3.3.4.3.∞
Figuri
giro
       
Config. V3.3.4.3.2 V3.3.4.3.3 V3.3.4.3.4 V3.3.4.3.5 V3.3.4.3.6 V3.3.4.3.7 V3.3.4.3.8 V3.3.4.3.∞

Icositetraedrul pentagonal este unul dintr-o familie de duale ale poliedrelor uniforme legate de cub și octaedrul regulat.

Poliedre octaedrice uniforme    
Simetrie: [4,3], (*432) [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)
[3+,4]
(3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{31,1}
                                                     
     
=    
     
=    
     
=    
            =
    sau    
      =
    sau    
      =
   
     
 
 
 
 
 
 
 
           
 
Dualele celor de mai sus
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V33 V3.62 V35
                                                                 
                                         
                     


Bibliografie

modificare
  • en Williams, Robert (). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  • en Wenninger, Magnus (), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 28, Pentagonal icositetrahedron)
  • en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), The Symmetries of Things, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 287, pentagonal icosikaitetrahedron)

Legături externe

modificare