Antiprismă pătrată

Descriere
Antiprismă pătrată

(model 3D)
Tip	poliedru uniform, ca poliedru semiregulat
Fețe	2 pătrate, 8 triunghiuri
Laturi (muchii)	16
Vârfuri	8
χ	2
Configurația vârfului	3,3,3,4
Simbol Wythoff	\| 2 2 4
Simbol Schläfli	s{2,8} sr{2,4}
Simbol Conway	A4
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	D_4d, [2⁺,8], (2*4), ordin 16
Poliedru dual	trapezoedru tetragonal
Proprietăți	Convexe, cu fețe poligoane regulate, tranzitiv la nivel de fețe
Figura vârfului

Desfășurată

În geometrie antiprisma pătrată^[1] este a doua dintr-o familie infinită de antiprisme formate dintr-un număr par de fețe triunghiulare dintre două fețe poligonale de capăt. Având 10 fețe, este un decaedru.

Dacă toate fețele sale sunt poligoane regulate, este un poliedru semiregulat sau poliedru uniform. Ca poliedru uniform are simbolul U_77a

O variantă neuniformă cu simetrie D₄ este celula poliedrului nobil^⁠(d) 72-celule antiprismatic pătrat.

Puncte pe sferă modificare

Când opt puncte sunt distribuite pe suprafața unei sfere cu scopul de a maximiza distanța dintre ele într-un anumit sens, forma rezultată corespunde unei antiprisme pătrate, nu unui cub. Metodele specifice de distribuire a punctelor sunt tratate, de exemplu, de minimizarea sumei tuturor inverselor distanțelor dintre puncte (problema Thomson), maximizarea distanței fiecărui punct până la cel mai apropiat punct sau minimizarea sumei tuturor inverselor pătratelor distanțelor dintre puncte.

Molecule cu geometrie antiprismatică pătrată modificare

Structură antiprismatică în geometria moleculară

Conform teoriei RPESV a geometriei moleculare din chimie, care se bazează pe principiul general al maximizării distanțelor dintre puncte, o antiprismă pătrată este geometria favorizată atunci când opt perechi de electroni înconjoară un atom central. Ionul de octafluorură de xenon (VI) (XeF2−
8) are această geometrie, însă în moleculă forma sa este distorsionată.^[2] Foarte puțini ioni sunt cubici deoarece o astfel de formă ar provoca o mare repulsie între liganzi, unul dintre puținele exemple este PaF3−
8.^[3]

În plus, sulful formează molecule din 8 atomi, S₈, ca cea mai stabilă formă alotropică. Molecula S₈ are o structură bazată pe antiprisma pătrată, în care cei opt atomi ocupă cele opt vârfuri ale antiprismei, iar cele opt laturi triunghi–triunghi ale antiprismei corespund unei legături covalente simple între atomii de sulf.

În arhitectură modificare

Clădirea One World Trade Center

Blocul principal al One World Trade Center (pe locul vechiului World Trade Center distrus la 11 septembrie 2001) are forma unei antiprisme pătrate conice extrem de înalte. Nu este o adevărată antiprismă din cauza conicității sale: pătratul de sus are o suprafață de jumătate față de cel de la bază.

Poliedre identice topologic modificare

Prismă răsucită modificare

Antiprismă pătrată răsucită

O prismă pătrată răsucită poate fi realizată (în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic) cu aceeași dispunere a vârfurilor. Poate fi văzută ca formă convexă cu 4 tetraedre excavate în jurul laturilor. Totuși, după asta nu mai poate fi triangulată în tetraedre fără a adăuga noi vârfuri. Are jumătate din simetria soluției uniforme: D₄ ordinul 4.^[4]^[5]

Antiprismă autointersectată modificare

Antiprismă pătrată autointersectată

O antiprismă pătrată autointersectată este un poliedru stelat, topologic identic cu o antiprismă pătrată cu aceeași dispunere a vârfurilor, dar nu poate să fi uniformizată; laturile sunt triunghiuri isoscele. Configurația vârfului este 3.3/2.3.4, cu un triunghi retrograd. Are simetrie d_4d, ordinul 8.

Poliedre înrudite modificare

Poliedre derivate modificare

Antiprisme snub
Antiprismă	Trunchiată t	Alternată ht
s{2,8}	ts{2,8}	ss{2,8}

Antiprisma pătrată poate fi trunchiată și alternată pentru a forma o antiprismă snub.

Piramida pătrată giroalungită este un poliedru Johnson, J₁₀, construit prin alungirea unei piramide pătrate. Similar, bipiramida pătrată giroalungită, J₁₇, este un deltaedru construit prin înlocuirea ambelor pătrate ale unei antiprisme pătrate cu o piramidă pătrată.

Bisfenoidul snub, J₈₄, este un alt deltaedru, construit prin înlocuirea celor două pătrate ale unei antiprisme pătrate cu perechi de triunghiuri echilaterale. Antiprisma pătrată snub, J₈₅, poate fi văzută ca o antiprismă pătrată cu un lanț de triunghiuri echilaterale inserat în jurul mijlocului. Sfenocoroana, J₈₆, și sfenomegacoroana, J₈₈, sunt alte poliedre Johnson care, precum antiprisma pătrată, sunt formate din două pătrate și un număr par de triunghiuri echilaterale.

Simetrii modificare

Ca antiprismă, antiprisma pătrată aparține unei familii de poliedre care cuprinde octaedrul (care poate fi văzut ca o antiprismă triunghiulară), antiprisma pentagonală, antiprisma hexagonală și antiprisma octogonală.

Familia antiprismelor n-gonale uniforme v • d • m
Imagine poliedru												...	Antiprismă apeirogonală
Imagine pavare sferică												Imagine pavare plană
Configurația vârfului n.3.3.3	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	...	∞.3.3.3

Antiprisma pătrată este prima dintr-o serie de poliedre snub și piese cu configurația vârfului 3.3.4.3.n.

Variante de pavări snub cu simetrie 4n2: 3.3.4.3.n
Simetrie 4n2	Sferică		Euclidiană	Hiperbolice compacte				Paracomp.
Simetrie 4n2	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Figuri snub
Config.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Figuri giro
Config.	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

Note modificare

^ Cristina-Andreea Amarandei, Eric Saint-Aman, Eleonora-Mihaela Ungureanu, Recunoaștere de lantanide cu liganzi moleculari Arhivat în 21 ianuarie 2022, la Wayback Machine., în Buletinul Societății de Chimie din România, Nr. XXII, 2/2015, ISSN 2066-2971, p. 16, accesat 2022-02-20
^ en Peterson, W.; Holloway, H.; Coyle, A.; Williams, M. (1971). „Antiprismatic Coordination about Xenon: the Structure of Nitrosonium Octafluoroxenate(VI)”. Science. 173 (4003): 1238–1239. Bibcode:1971Sci...173.1238P. doi:10.1126/science.173.4003.1238. ISSN 0036-8075. PMID 17775218.
^ en Greenwood, Norman N.; Earnshaw, Alan (1997). Chemistry of the Elements (ed. 2nd). Oxford: Butterworth-Heinemann. ISBN 0080379419.
^ en The facts on Fișier: Geometry handbook, Catherine A. Gorini, 2003, ISBN: 0-8160-4875-4, p. 172
^ en Pictures of Twisted Prisms, korthalsaltes.com, accesat 2022-02-21

Vezi și modificare

Legături externe modificare

Materiale media legate de antiprismă pătrată la Wikimedia Commons
en Eric W. Weisstein, Antiprism la MathWorld.
en Square Antiprism interactive model
en Virtual Reality Polyhedra www.georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra

en VRML model

en polyhedronisme A4

Portal Matematică

en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”. Cheie: squap

[1] Cristina-Andreea Amarandei, Eric Saint-Aman, Eleonora-Mihaela Ungureanu, Recunoaștere de lantanide cu liganzi moleculari Arhivat în 21 ianuarie 2022, la Wayback Machine., în Buletinul Societății de Chimie din România, Nr. XXII, 2/2015, ISSN 2066-2971, p. 16, accesat 2022-02-20

[peterson-2] Peterson, W.; Holloway, H.; Coyle, A.; Williams, M. (1971). „Antiprismatic Coordination about Xenon: the Structure of Nitrosonium Octafluoroxenate(VI)”. Science. 173 (4003): 1238–1239. Bibcode:1971Sci...173.1238P. doi:10.1126/science.173.4003.1238. ISSN 0036-8075. PMID 17775218.

[3] Greenwood, Norman N.; Earnshaw, Alan (1997). Chemistry of the Elements (ed. 2nd). Oxford: Butterworth-Heinemann. ISBN 0080379419.

[4] The facts on Fișier: Geometry handbook, Catherine A. Gorini, 2003, ISBN: 0-8160-4875-4, p. 172

[5] Pictures of Twisted Prisms, korthalsaltes.com, accesat 2022-02-21

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]