Wikipedia

Deltaedru

poliedru la care toate fețele sunt triunghiuri echilaterale

În geometrie un deltaedru este un poliedru ale cărui fețe sunt toate triunghiuri echilaterale. Numele este preluat din litera majusculă delta din alfabetul grec, (Δ), care are forma unui triunghi echilateral. Există infinit de multe deltaedre, toate având un număr par de fețe conform lemei care afirmă că orice graf are un număr par de noduri impare.[1] Dintre acestea doar opt sunt convexe, având 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 și 20 de fețe.[2] Numărul de fețe, laturi și vârfuri este dat mai jos pentru fiecare dintre cele opt deltaedre convexe.

Cel mai mare deltaedru strict convex este icosaedrul regulat
Acesta este un tetraedru trunchiat cu hexagoanele subdivizate în triunghiuri. Această figură nu este un deltaedru strict convex deoarece fețele coplanare nu sunt permise de definiție.

Cele opt deltaedre convexe

modificare

Există doar opt deltaedre strict convexe: trei sunt poliedre regulate, iar cinci sunt poliedre Johnson. Cele trei poliedre regulate convexe sunt poliedre platonice.

Deltaedre regulate
Imagine Nume Fețe Laturi Vârfuri Configurațiile vârfurilor Grup de simetrie
  tetraedru 4 6 4 4 × 33 Td, [3,3]
  octaedru 8 12 6 6 × 34 Oh, [4,3]
  icosaedru 20 30 12 12 × 35 Ih, [5,3]
Deltaedre Johnson
Imagine Nume Fețe Laturi Vârfuri Configurațiile vârfurilor Grup de simetrie
  bipiramidă triunghiulară 6 9 5 2 × 33
3 × 34		 D3h, [3,2]
  bipiramidă pentagonală 10 15 7 5 × 34
2 × 35		 D5h, [5,2]
  bisfenoid snub 12 18 8 4 × 34
4 × 35		 D2d, [2,2]
  prismă triunghiulară triaugmentată 14 21 9 3 × 34
6 × 35		 D3h, [3,2]
  bipiramidă pătrată giroalungită 16 24 10 2 × 34
8 × 35		 D4d, [4,2]

În deltaedrul cu 6 fețe, unele vârfuri au gradul 3 și unele gradul 4. În deltaedrele cu 10, 12, 14 și 16 fețe, unele vârfuri au gradul 4 și unele gradul 5. Aceste cinci deltaedre neregulate aparțin clasei poliedrelor Johnson: poliedre convexe cu fețe poligonale regulate.

Deltaedrele își păstrează forma chiar dacă laturile sunt libere să se rotească în jurul vârfurilor lor, astfel încât unghiurile dintre laturi să fie fluide. Nu toate poliedrele au această proprietate: de exemplu, dacă se relaxează unele dintre unghiurile unui cub, cubul poate fi deformat într-o prismă pătrată oblică.

Nu există vreun deltaedru convex cu 18 fețe.[3] Totuși, un icosaedru cu laturile contractate oferă un exemplu de octadecaedru care poate fi fie convex cu 18 fețe triunghiulare neregulate, fie realizat cu triunghiuri echilaterale, însă cu două seturi coplanare de trei triunghiuri.

Cazuri care nu sunt strict convexe

modificare

Există infinit de multe cazuri cu triunghiuri coplanare, permițând secțiuni ale pavărilor triunghiulare infinite. Dacă seturile de triunghiuri coplanare sunt considerate o singură față, se poate considera un set mai mic de fețe, laturi și vârfuri. Fețele triunghiulare coplanare pot fi îmbinate în fețe rombice, trapezoidale, hexagonale sau alte fețe poligonale echilaterale. Fiecare față trebuie să fie un polimino de triunghiuri convex, cum ar fi  ,  ,  ,  ,  ,  ,   și  , ...[4]

Câteva exemple mai mici:

Deltaedre coplanare
Imagine Nume Fețe Laturi Vârfuri Configurațiile vârfurilor Grup de simetrie
  Octaedru augmentat
Augmentare
1 tetr. + 1 octa. 		10   15 7 1 × 33
3 × 34
3 × 35
0 × 36 		C3v, [3]
4  
3  		 12
  Trapezoedru trigonal
Augmentare
2 tetr. + 1 octa. 		12   18 8 2 × 33
0 × 34
6 × 35
0 × 36 		C3v, [3]
6   12
  Augmentare
2 tetr. + 1 octa. 		12   18 8 2 × 33
1 × 34
4 × 35
1 × 36 		C2v, [2]
2  
2  
2  		 11 7
  Trunchi triunghiular
Augmentare
3 tetr. + 1 octa. 		14   21 9 3 × 33
0 × 34
3 × 35
3 × 36 		C3v, [3]
1  
3  
1  		 9 6
  Octaedru alungit
Augmentare
2 tetr. + 2 octa. 		16   24 10 0 × 33
4 × 34
4 × 35
2 × 36 		D2h, [2,2]
4  
4  		 12 6
  Tetraedru
Augmentare
4 tetr. + 1 octa. 		16   24 10 4 × 33
0 × 34
0 × 35
6 × 36 		Td, [3,3]
4   6 4
  Augmentare
3 tetr. + 2 octa. 		18   27 11 1 × 33
2 × 34
5 × 35
3 × 36 		D2h, [2,2]
2  
1  
2  
2  		 14 9
  Icosaedru cu fețe contractate 18   27 11 0 × 33
2 × 34
8 × 35
1 × 36 		C2v, [2]
12  
2  		 22 10
  Bitrunchi triunghiular
Augmentare
6 tetr. + 2 octa. 		20   30 12 0 × 33
3 × 34
6 × 35
3 × 36 		D3h, [3,2]
2  
6  		 15 9
  Cupolă triunghiulară
Augmentare
4 tetr. + 3 octa. 		22   33 13 0 × 33
3 × 34
6 × 35
4 × 36 		C3v, [3]
3  
3  
1  
1  		 15 9
  Bipiramidă triunghiulară
Augmentare
8 tetr. + 2 octa. 		24   36 14 2 × 33
3 × 34
0 × 35
9 × 36 		D3h, [3]
6   9 5
  Antiprismă hexagonală 24   36 14 0 × 33
0 × 34
12 × 35
2 × 36 		D6d, [12,2+]
12  
2  		 24 12
  Tetraedru trunchiat
Augmentare
6 tetr. + 4 octa. 		28   42 16 0 × 33
0 × 34
12 × 35
4 × 36 		Td, [3,3]
4  
4  		 18 12
  Cuboctaedru tetrakis
Octaedru
Augmentare
8 tetr. + 6 octa. 		32   48 18 0 × 33
12 × 34
0 × 35
6 × 36 		Oh, [4,3]
8   12 6

Forme neconvexe

modificare

Există un număr infinit de forme neconvexe.

Câteva exemple de deltaedre cu fețe autointersectate:

 
Marele icosaedru

Alte deltaedre neconvexe pot fi generate prin adăugarea de piramide echilaterale pe fețele tuturor celor 5 poliedre platonice:

         
tetraedru triakis hexaedru tetrakis octaedru triakis
(stella octangula) 		dodecaedru pentakis icosaedru triakis
12 triunghiuri 24 triunghiuri 60 triunghiuri

Alte augmentări ale tetraedrului:

Exemple: Tetraedre augmentate
     
8 triunghiuri 10 triunghiuri 12 triunghiuri

De asemenea, prin adăugarea pe fețe a unor piramide inversate:

 
Dodecaedru excavat 		 
Un deltaedru toroidal
60 triunghiuri 48 triunghiuri

Note

modificare
  1. ^ Victor Ștefan, Bazele Ciberneticii Economice, ase.ro, accesat 2022-02-22
  2. ^ nl Freudenthal, H; van der Waerden, B. L. (), „Over een bewering van Euclides ("On an Assertion of Euclid")”, Simon Stevin, 25: 115–128  (Au arătat că există exact 8 deltaedre convexe.)
  3. ^ en Trigg, Charles W. (), „An Infinite Class of Deltahedra”, Mathematics Magazine, 51 (1): 55–57, doi:10.1080/0025570X.1978.11976675, JSTOR 2689647 
  4. ^ en The Convex Deltahedra And the Allowance of Coplanar Faces, interocitors.com, accesat 2022-02-23

Lectură suplimentară

modificare
  • en Rausenberger, O. (), „Konvexe pseudoreguläre Polyeder”, Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht, 46: 135–142 .
  • en Cundy, H. Martyn (decembrie 1952), „Deltahedra”, Mathematical Gazette, 36: 263–266, doi:10.2307/3608204, JSTOR 3608204 .
  • en Cundy, H. Martyn; Rollett, A. (), „3.11. Deltahedra”, Mathematical Models (ed. 3rd), Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 142–144 .
  • en Gardner, Martin (), Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations from Scientific American, New York: W. H. Freeman, pp. 40, 53, and 58–60 .
  • en Pugh, Anthony (), Polyhedra: A visual approach, California: University of California Press Berkeley, ISBN 0-520-03056-7  pp. 35–36

Legături externe

modificare
  Portal Matematică
Adus de la https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Deltaedru&oldid=15208336