Dodecaedru excavat
(model 3D)
Descriere
Tippoliedru stelat
Fețe20
Laturi (muchii)60
Vârfuri20
χ−20
Grup de simetrieIh, [5,3], (*532)
Grup de rotațieI, [5,3]+, (532)
Volum≈ 4,045 a3   (a = latura)
Poliedru dualautodual
Proprietăținobil, neconvex, tranzitiv pe vârfuri și pe fețe
Figura vârfului

În geometrie dodecaedrul excavat este un poliedru stelat care arată ca un dodecaedru regulat cu piramide pentagonale concave în locul fețelor sale. Suprafața sa exterioară reprezintă stelarea Ef1g1 a icosaedrului din cartea The Fifty-Nine Icosahedra. Apare în cartea lui Magnus Wenninger Polyhedron Models ca modelul 28, a treia stelare a icosaedrului.

Descriere

modificare

Toate cele 20 de vârfuri și 30 din cele 60 de laturi ale sale aparțin anvelopei sale, un dodecaedru regulat. Celelalte 30 de laturi interne sunt mai lungi și aparțin unui mare dodecaedru stelat. (Fiecare conține una dintre cele 30 de laturi ale nucleului, icosaedric regulat.) Fiecare față este o hexagramă cu muchii lungi și scurte alternând și unghiuri de 60°. Triunghiurile echilaterale care ating o latură scurtă fac parte din față.

Nucleu Laturi lungi Fețe Anvelopă Secțiune
 
Icosaedru
 
Marele
dodecaedru
stelat
 
 
 
Dodecaedru
 
O față
hexagonală
(albastru)

Fațetarea dodecaedrului

modificare
Este evidențiată o față hexagramică
Fața ca fațetă a dodecaedrului

Având 20 de hexagoane autointersectate ca fețe, are aceeași formă externă ca o anumită fațetare a dodecaedrului. Fața hexagonală neconvexă poate fi împărțită în patru triunghiuri echilaterale, dintre care trei au aceeași dimensiune. Un dodecaedru excavat adevărat are cele trei triunghiuri echilaterale congruente ca fețe adevărate ale poliedrului, în timp ce triunghiul echilateral interior nu este considerat față. Fațetarea este un poliedru nobil.

Cele 20 de vârfuri ale anvelopei convexe se potrivesc cu aranjamentul vârfurilor dodecaedrului.

 
Diagrama de stelare

După Wenninger, este al 28-lea model al său, „a treia stelare”.

Mărimi asociate

modificare

Coordonate carteziene

modificare

Coordonatele carteziene ale vârfurilor dodecaedrului excavat cu lungimea laturii scurte 2, centrat în origine, sunt aceleași cu ale dodecaedrului regulat, adică toate permutările pare ale:[1][2]

 

împreună cu toate permutările pare ale

 

unde   este secțiunea de aur.

Raza sferei circumscrise

modificare

Raza sferei circumscrise pentru lungimea laturii scurte a este:[2]

 

Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor scurte a:

 

Forme înrudite

modificare
Un dodecaedru pentakis (stânga) cu piramide inversate (dreapta) are aceeași suprafață ca și dodecaedrul excavat.
Marele dodecaedru (stânga) este un icosaedru regulat. Are și el 60 de triunghiuri vizibile. Dar spre deosebire de dodecaedrul excavat (dreapta) are fețe convexe, prin urmare fără laturi interioare.
Fețele dodecaedrului excavat (stânga) fac parte din fețele marelui icosaedru (dreapta). Extinderea laturilor scurte ale unui hexagon până când se întâlnesc dă triunghiul care îl conține.
Înlocuirea fiecărui hexagon care se intersectează cu unul convex dă o figură care conține laturile compusului de cinci cuburi (mijloc). Dar acesta nu este cu adevărat un poliedru, deoarece fiecare dintre aceste laturi aparține unei singure fețe.
 
Pavare hexagonală hiperbolică de ordinul 6

Cu șase fețe cu șase laturi în jurul fiecărui vârf, este echivalent topologic cu un spațiul cât⁠(d) hiperbolic al pavării hexagonale de ordinul 6, {6,6} și este un tip abstract {6 ,6}6. Este unul dintre cele zece poliedre regulate abstracte de indice doi cu vârfuri pe o orbită.[3][4]

  1. ^ en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, 3.6 6.2 Stellating the Platonic solids, pp. 96–104
  2. ^ a b en David McCooey, Excavated dodecahedron[nefuncționalăarhivă], dmccooey.com, accesat 2024-04-13
  3. ^ en Anthony M. Cutler, Egon Schulte, Regular Polyhedra of Index Two, I 2010
  4. ^ en Regular Polyhedra of Index Two, II  Beitrage zur Algebra und Geometrie 52(2):357-387, November 2010, Table 3, p. 27
Selecție din cele 59 de posibile stelări ale icosaedrului
Regulat Duale ale uniformelor Compuși regulați Stelare regulată Altele
Icosaedru
(convex)
Micul icosaedru triambic Marele icosaedru triambic Compus
de cinci octaedre
Compus
de cinci tetraedre
Compus
de zece tetraedre
Marele icosaedru Dodecaedru excavat Stelarea
finală
                 
                 
Procesul de stelare al icosaedrului creează un număr de poliedre și compuși înrudiți, cu simetrie icosaedrică.