Stelarea finală a icosaedrului

stelarea extremă a icosaedrului
Stelarea finală a icosaedrului
Două proiecții ortogonale simetrice
(model 3D)
Descriere
Tippoliedru stelat
Fețe20 (eneagrame 9/4)
Laturi (muchii)90 (30 scurte, 60 lungi)
Vârfuri60
χ−10
Configurația vârfului33
Grup de simetrieIh, [5,3], (*532)
Volum≈411,25 a3   (a = latura scurtă)
Poliedru dualMarele hexacontaedru triunghiular nobil
Proprietățineconvex, tranzitiv pe vârfuri și pe fețe
Figura vârfului

În geometrie stelarea finală sau completă a icosaedrului[1][2] este numită stelarea „finală” sau „completă” deoarece cuprinde toate celulele din diagrama de stelare a icosaedrului. Adică, fiecare trei plane ale fețelor nucleului icosaedric se intersectează fie într-un vârf al acestui poliedru, fie în interiorul său.

În clasificarea Wenninger acest poliedru este a șaptesprezecea stelare a icosaedrului și are indicele W42.

Ca figură geometrică are două interpretări:

 
Marele icosaedru
 
Modelul lui Brückner[3]
  • 1809: Louis Poinsot a descoperit prima formă de icosaedru stelat, marele icosaedru[4]
  • 1900: Max Brückner a identificat 10 stelări ale icosaedrului, inclusiv stelarea finală.[5]
  • 1938: în cartea sa, The Fifty-Nine Icosahedra (în română Cele cincizeci și nouă de icosaedre), H.S.M. Coxeter, P. du Val, H.T. Flather și J.F. Petrie au făcut o enumerare sistematică a celor 59 de stelări posibile ale icosaedrului, în conformitate cu regulile lui J.C.P. Miller, stelarea finală apărând în listă în poziția a 8-a.
  • 1974: Magnus Wenninger în cartea sa, Polyhedron Models, a enumerat stelarea finală ca al 17-lea mod de stelare al icosaedrului, cu indicele W42.
  • 1995: Andrew Hume, în baza sa de date cu poliedre, Netlib, l-a numit echidnaedru[6] datorită asemănării cu o echidnă.

Interpretări

modificare

Ca stelare

modificare
 
Diagrama de stelare a icosaedrului, cu tipurile de celule numerotate. Icosaedrul final este format din toate celulele din stelare, dar numai cele periferice, etichetate în diagramă cu „13”, sunt vizibile din exterior.

Stelarea unui poliedru extinde fețele sale în plane infinite și generează un nou poliedru care este delimitat de aceste plane ca fețe și intersecțiile acestor plane ca laturi. The Fifty Nine Icosahedra enumeră stelările icosaedrului regulat, inclusiv stelarea finală, în conformitate cu regulile lui J.C.P. Miller. Simbolul lui du Val al stelării finale este H, deoarece cuprinde toate celulele din diagrama de stelare până la stratul exterior, „h”.[7]

Ca poliedru stelat

modificare
20 de fețe eneagramice 9/4 (o față este colorată galben cu 9 vârfuri etichetate)
Față 9/4 2-izogonală

Stelarea finală poate fi văzută și ca un poliedru stelat (autointersectat), având 20 de fețe corespunzătoare celor 20 de fețe ale icosaedrului subiacent. Fiecare față este un poligon stelat neregulat, o eneagramă 9/4.[8] Deoarece în fiecare vârf se întâlnesc câte trei fețe, acesta are 20 × 9 / 3 = 60 de vârfuri (acestea se află pe stratul exterior de vârfuri vizibile și formează vârfurile „spinilor”) și 20 × 9 / 2 = 90 de laturi.

Când este privit ca un icosaedru stelat, stelarea finală este un poliedru nobil, deoarece este atât tranzitiv pe fețe, cât și tranzitiv pe vârfuri.

Ca poliedru simplu

modificare
 
Un model poliedric poate fi construit din 12 seturi de fețe, fiecare pliat într-un grup de cinci piramide

Ca poliedru simplu, cum este văzut din exterior, forma stelării finale este compusă din 180 de fețe triunghiulare, care sunt zonele triunghiulare exterioare din diagrama stelării. Acestea se unesc de-a lungul a 270 de laturi, care, la rândul lor, se întâlnesc în 92 de vârfuri. Caracteristica sa Caracteristica sa Euler este în acest caz 2.[9][10] Cele 92 de vârfuri se află pe suprafețele a trei sfere concentrice. Cel mai interior grup de 20 de vârfuri formează vârfurile unui dodecaedru regulat; următorul strat de 12 formează vârfurile unui icosaedru regulat; iar stratul exterior de 60 formează vârfurile unui icosaedru trunchiat neuniform. Razele acestor sfere sunt în raportul[9]

 
Anvelopele convexe ale fiecărei sfere pe care sunt vârfurile
Interioară Mediană Exterioară Toate trei
20 vârfuri 12 vârfuri 60 vârfuri 92 vârfuri
 
Dodecaedru
 
Icosaedru
 
Icosaedru trunchiat neuniform
 
Icosaedrul stelat final

Mărimi asociate

modificare

Când este considerat un obiect tridimensional cu lungimile laturilor  ,  ,   și   (unde   este secțiunea de aur) icosaedrul complet are aria[9]

 

și volumul[9]

 
  1. ^ Coxeter ș.a., 1999, p. 30–31
  2. ^ Wenninger, 1971, p. 65
  3. ^ Brückner, 1900, Taf. XI, Fig. 14
  4. ^ Poinsot, 1810
  5. ^ Brückner, 1900
  6. ^ en Hume, Andrew. „Polyhedron database”. Netlib. Arhivat din original la . Accesat în . 
  7. ^ Cromwell, 1997, p. 259
  8. ^ Cromwell, 1997, p. 259
  9. ^ a b c d en Eric W. Weisstein, Echidnahedron la MathWorld.
  10. ^ en Echidnahedron Arhivat în , la Wayback Machine. at polyhedra.org

Bibliografie

modificare

Legături externe

modificare
Selecție din cele 59 de posibile stelări ale icosaedrului
Regulat Duale ale uniformelor Compuși regulați Stelare regulată Altele
Icosaedru
(convex)
Micul icosaedru triambic Marele icosaedru triambic Compus
de cinci octaedre
Compus
de cinci tetraedre
Compus
de zece tetraedre
Marele icosaedru Dodecaedru excavat Stelarea
finală
                 
                 
Procesul de stelare al icosaedrului creează un număr de poliedre și compuși înrudiți, cu simetrie icosaedrică.