Icosaedru trunchiat

poliedru arhimedic
Icosaedru trunchiat
(animație și model 3D)
Descriere
TipPoliedru arhimedic
(Poliedru uniform)
Fețe32 (12 pentagoane, 20 hexagoane)
Laturi (muchii)90
Vârfuri60
χ2
Configurația vârfului5.6.6
Simbol Wythoff2 5 | 3
Simbol Schläflit{3,5}
t0,1{3,5}
Simbol ConwaytI
Diagramă Coxeter
Grup de simetrieIh, H3, [5,3], (*532), ordin 120
Grup de rotațieI, [5,3]+, (532), ordin 60
Arie≈ 72,607 a2   (a = latura)
Volum≈ 55,288 a3   (a = latura)
Unghi diedru6-6: 138,190°
6-5: 142,620°
Poliedru dualDodecaedru pentakis
ProprietățiPoliedru semiregulat (permutoedru, zonoedru) convex cu fețe poligoane regulate, tranzitiv pe vârfuri
Figura vârfului
Desfășurată

În geometrie icosaedrul trunchiat este un poliedru arhimedic cu 32 de fețe regulate (12 pentagoane și 20 de hexagoane), 90 de laturi și 60 de vârfuri. Dacă nu se specifică altfel, toate laturile sale au aceeași lungime. Este singurul poliedru uniform cu fețe care nu sunt triunghiuri sau pătrate. Deoarece fiecare dintre fețele sale are simetrie față de centru, icosaedrul trunchiat este un zonoedru.

Poliedrul său dual este dodecaedrul pentakis.

Are indicele de poliedru uniform U25,[1] indicele Coxeter C27 și indicele Wenninger W9. Este poliedrul Goldberg GPV(1,1) sau {5+,3}1,1.

Poate tesela spațiul hiperbolic sub forma fagurelui dodecaedric bitrunchiat de ordinul 5

Geometria sa este folosită la mingile de fotbal, realizate de obicei cu hexagoane albe și pentagoane negre. De asemenea, domurile geodezice au geometrii similare.

Construcție și dimensiuni

modificare
 
Icosaedru
 
Dual, dodecaedrul pentakis

Acest poliedru poate fi construit dintr-un icosaedru prin trunchierea celor 12 vârfuri astfel încât din fiecare latură să fie tăiată câte o treime, la ambele capete. Acest lucru creează 12 fețe noi pentagonale și transformă cele 20 de fețe triunghiulare inițiale în hexagoane regulate. Astfel lungimea laturilor este de o treime din cea a laturilor inițiale. În plus, forma are 1440 de diagonale.

Coordonate carteziene

modificare

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui icosaedru trunchiat cu lungimea laturilor de 2[2] sunt permutările a:

(0, ±1, ±3φ)
(±1, ±(2 + φ), ±2φ)
φ, ±2, ±(2φ + 1))

unde φ = 1 + 5/2 este secțiunea de aur. Raza circumscrisă este 9φ + 10 ≈ 4,956[2]

Dimensiuni

modificare
 
Dreptunghiuri reciproc ortogonale cu laturile în raportul de aur desenate în icosaedru

Dacă lungimea laturii icosaedrului trunchiat este a, raza unei sfere circumscrise (una care atinge icosaedrul trunchiat în toate vârfurile) este:

 

Acest rezultat este ușor de obținut folosind unul dintre cele trei dreptunghiuri ortogonale desenate în icosaedru (v. figura alăturată) ca punct de plecare. Unghiul dintre segmentele care unesc centrul și vârfurile conectate printr-o latură comună (calculat pe baza acestei construcții) este de aproximativ 23,281446°.

Aria și volumul

modificare

Aria A și volumul V al icosaedrului trunchiat cu lungimea laturii a sunt:

 

Proiecții ortogonale

modificare

Icosaedrul trunchiat are cinci proiecții ortogonale particulare, centrate: pe un vârf, pe două tipuri de muchii și pe două tipuri de fețe: hexagonale și pentagonale. Ultimele două corespund planelor Coxeter A2 și H2

Proiecții ortogonale
Centrată pe Vârf Latură
5-6
Latură
6-6
Față
hexagon
Față
pentagon
Imagine      
Cadru de sârmă          
Simetrie
proiectivă
[2] [2] [2] [6] [10]
Dual          

Pavări sferice

modificare
   
centrată pe pentagon
 
centrată pe hexagon
Proiecții ortogonale Proiecții stereografice

Icosaedrul trunchiat poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat în plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, conservând unghiurile, dar nu și ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.

Poliedre și pavări înrudite

modificare
Familia de poliedre icosaedrice uniforme
Simetrie: [5,3], (*532) [5,3]+, (532)
               
                                               
{5,3} t{5,3} r{5,3} t{3,5} {3,5} rr{5,3} tr{5,3} sr{5,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
               
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5
Variante de simetrii *n32 ale pavărilor trunchiate: n.6.6
Sim.
*n42
[n,3]
Sferică Euclid. Compactă Paracomp. Hiperbolică necompactă
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
[12i,3] [9i,3] [6i,3]
Figuri
trunchiate
                     
Config. 2.6.6 3.6.6 4.6.6 5.6.6 6.6.6 7.6.6 8.6.6 ∞.6.6 12i.6.6 9i.6.6 6i.6.6
Figuri
n-kis
               
Config. V2.6.6 V3.6.6 V4.6.6 V5.6.6 V6.6.6 V7.6.6 V8.6.6 V∞.6.6 V12i.6.6 V9i.6.6 V6i.6.6

Aceste poliedre stelate uniforme și o stelare icosaedrică au anvelopa convexă de icosaedre trunchiate neuniforme:

Bibliografie

modificare
  • en Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., ISBN: 0-486-23729-X. (Section 3-9)
  • Cromwell, P. (). „Archimedean solids”. Polyhedra: "One of the Most Charming Chapters of Geometry". Cambridge: Cambridge University Press. pp. 79–86. ISBN 0-521-55432-2. OCLC 180091468. 

Vezi și

modificare

Legături externe

modificare