Octaedru trunchiat
(animație și model 3D)
Descriere
TipPoliedru arhimedic
(Poliedru uniform)
Fețe14 (6 pătrate, 8 hexagoane)
Laturi (muchii)36
Vârfuri24
χ2
Configurația vârfului4.6.6
Simbol Wythoff2 4 | 3
3 3 2 |
Simbol Schläflit{3,4}
tr{3,3} sau
Simbol ConwaytO sau bT
Diagramă Coxeter
Grup de simetrieOh, B3, [4,3], (*432), ordin 48
Th, [3,3] and (*332), ordin 24
Grup de rotațieO, [4,3]+, (432), ordin 24
Arie≈ 26,785 a2   (a = latura)
Volum≈ 11,314 a3   (a = latura)
Unghi diedru4-6: arccos(−1/3) = 125° 15′ 51″
6-6: arccos(−1/3) = 109° 28′ 16″
Poliedru dualHexaedru tetrakis
ProprietățiPoliedru semiregulat (paraleloedru, permutoedru, zonoedru) convex cu fețe poligoane regulate, tranzitiv pe vârfuri
Figura vârfului
Desfășurată

În geometrie octaedrul trunchiat este un poliedru arhimedic. Se obține dintr-un octaedru regulat prin îndepărtarea a șase piramide, câte una la fiecare vârf al octaedrului. Are 14 fețe regulate (6 pătrat și 8 fețe hexagonale), 36 de laturi și 24 de vârfuri. Deoarece fiecare dintre fețele sale are simetrie față de centru, octaedrul trunchiat este un zonoedru. La fel cu cubul, poate tesela spațiul tridimensional, ca un permutoedru.

Dual: Hexaedru tetrakis

Poliedrul său dual este hexaedrul tetrakis. Dacă octaedrul trunchiat inițial are lungimea laturii 1, dualul său are lungimile laturilor 9/82 și 3/22.

Are indicele de poliedru uniform U08,[1] indicele Coxeter C20 și indicele Wenninger W7.

Construcție, arie și volum

modificare
     

Un octaedru trunchiat este construit dintr-un octaedru regulat cu lungimea laturii 3a prin îndepărtarea a șase piramide pătrate drepte, câte una din fiecare vârf. Aceste piramide au atât lungimea laturii de bază (a) cât și lungimea laturii laterale (e) egală cu a, pentru a forma triunghiuri echilaterale. Aria bazei acestora este a2. De observat că această formă este asemenea cu o jumătate de octaedru sau cu poliedrul Johnson J1.

Din proprietățile piramidelor pătrate se obțin apotema s și înălțimea h ale unei piramide îndepărtate:

 

Volumul V1 al piramidei îndepărtate este

 

Deoarece șase piramide sunt îndepărtate prin trunchiere, volumul octaedrului trunchiat este mai mic decât al octaedrului inițial cu 2a3.

Aria A și volumul V ale octaedrului trunchiat cu latura de lungime a sunt:

 

Proiecții ortogonale

modificare

Octaedrul trunchiat are cinci proiecții ortogonale speciale, centrate pe un vârf, pe două tipuri de muchii și două tipuri de fețe: hexagon și pătrat. Ultimele două corespund planelor Coxeter B2 și A2.

Proiecții ortogonale
Centrată pe Vârf Latură
4-6
Latură
6-6
Față
pătrată
Față
hexagonală
Poliedru      
Cadru
de sârmă
         
Dual          
Simetrie
proiectivă
[2] [2] [2] [4] [6]

Pavare sferică

modificare
   
centrată pe pătrat
 
centrată pe hexagon
Proiecție ortogonală Proiecții stereografice

Octaedrul trunchiat poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat în plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, păstrând unghiurile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.

Coordonate

modificare
     
Proiecție ortogonală
în cadrul (±2, ±2, ±2)
Octaedru trunchiat cu hexagoanele divizate în 6 triunghiuri coplanare. Există 8 noduri noi la
(±1, ±1, ±1).
Octaedru trunchiat subdivizat topologic în triacontaedru rombic

Toate permutările lui (0, ±1, ±2) sunt coordonatele carteziene ale vârfurilor unui octaedru trunchiat cu lungimea laturii   centrat în origine. Vârfurile sunt astfel și colțurile a 12 dreptunghiuri ale căror laturi lungi sunt paralele cu axele de coordonate.

Vectorii laturilor au coordonatele carteziene (0, ±1, ±1) și permutări ale acestora. Normalele fețelor (produsele vectoriale normalizate ale laturilor care au un vârf comun) ale celor 6 fețe pătrate sunt (0, 0, ±1), (0, ±1, 0) și (±1, 0, 0). Normalele celor 8 fețe hexagonale sunt 1/3, ±1/3, ±1/3). Produsul scalar al normalelor unei perechi de fețe este cosinusul unghiului diedru dintre fețele adiacente, fie −1/3, fie −1/3. Unghiul diedru este aproximativ 1,910633 radiani (109,471°[2]) între fețele hexagonale și 2,186276 radiani (125,263°[3]) între o față hexagonală și una pătrată.

Divizare

modificare
Gen 2 Gen 3
D3d, [2+,6], (2*3), ordin 12 Td, [3,3], (*332), ordin 24
   

Octaedrul trunchiat poate fi divizat într-un octaedru central, înconjurat de 8 cupole triunghiulare pe fiecare față și 6 piramide pătrate deasupra vârfurilor.[4]

Înlăturând octaedrul central și 2 sau 4 cupole triunghiulare creează doi toroizi Stewart, cu simetrie diedrală și tetraedrică:

Permutoedru

modificare
 

Octaedrul trunchiat poate fi reprezentat și prin coordonate și mai simetrice în patru dimensiuni: toate permutările lui (1, 2, 3, 4) formează vârfurile unui octaedru trunchiat în subspațiul tridimensional x + y + z + w = 10. Prin urmare, octaedrul trunchiat este permutoedrul de ordinul 4: fiecare vârf corespunde unei permutări a lui (1, 2, 3, 4) și fiecare latură reprezintă o singură interschimbare a două elemente dintr-o pereche.

Colorare ca poliedru uniform

modificare

Există două colorări uniforme, cu simetrie tetraedrică și simetrie octaedrică, și două colorări uniforme cu simetrie diedrală ca antiprismă triunghiulară trunchiată. Notația Conway a poliedrelor este dată în paranteze.

uniformă 1 uniformă 2
Oh, [4,3], (*432)
ordin 48
Td, [3,3], (*332)
ordin 24
D4h, [4,2], (*422)
ordin 16
D3d, [2+,6], (2*3)
ordin 12
 
colorare 122
 
colorare 123
 
colorare 122 și 322
 
colorare 122 și 123
Octaedru trunchiat
(tO)
Tetraedru teșit
(bT)
Bipiramidă pătrată trunchiată
(tdP4)
Antiprismă triunghiulară trunchiată
(tA3)

Poliedre înrudite

modificare

Octaedrul trunchiat face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat.

Poliedre octaedrice uniforme    
Simetrie: [4,3], (*432) [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)
[3+,4]
(3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{31,1}
                                                     
     
=    
     
=    
     
=    
            =
    sau    
      =
    sau    
      =
   
     
 
 
 
 
 
 
 
           
 
Dualele celor de mai sus
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V33 V3.62 V35
                                                                 
                                         
                     


De asemenea, există și ca omnitrunchiat în familia tetraedrelor:

Variante de pavări omnitrunchiate cu simetrie *n32: 4.6.2n
Simetrie
*n32
[n,3]
Sferice Euclid. Hiperb. compacte Paraco. Hiperbolice necompacte
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]
*∞32
[∞,3]
 
[12i,3]
 
[9i,3]
 
[6i,3]
 
[3i,3]
Imagini                        
Config. 4.6.4 4.6.6 4.6.8 4.6.10 4.6.12 4.6.14 4.6.16 4.6.∞ 4.6.24i 4.6.18i 4.6.12i 4.6.6i
Duale                        
Config. V4.6.4 V4.6.6 V4.6.8 V4.6.10 V4.6.12 V4.6.14 V4.6.16 V4.6.∞ V4.6.24i V4.6.18i V4.6.12i V4.6.6i
Familia poliedrelor tetraedrice uniforme
Simetrie: [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
               
                                               
{3,3} t{3,3} r{3,3} t{3,3} {3,3} rr{3,3} tr{3,3} sr{3,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
               
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3

Variante de simetrie

modificare

Acest poliedru face parte dintr-o secvență de modele uniforme cu configurația vârfului (4.6.2p) și diagrama Coxeter–Dynkin      . Pentru p < 6, membrii secvenței sunt poliedre omnitrunchiate (zonoedre), prezentate mai jos ca pavări sferice. Pentru p > 6, acestea sunt pavări ale planului hiperbolic, începând cu pavare triheptagonală trunchiată.

Variante de simetrii *nn2 ale pavărilor omnitrunchiate: 4.2n.2n
Simetrie
*nn2
[n,n]
Sferică Euclidiană Hiperbolică compactă Paracomp.
*222
[2,2]
*332
[3,3]
*442
[4,4]
*552
[5,5]
*662
[6,6]
*772
[7,7]
*882
[8,8]...
*∞∞2
[∞,∞]
Imagine                
Config. 4.4.4 4.6.6 4.8.8 4.10.10 4.12.12 4.14.14 4.16.16 4.∞.∞
Dual                
Config. V4.4.4 V4.6.6 V4.8.8 V4.10.10 V4.12.12 V4.14.14 V4.16.16 V4.∞.∞

Octaedrul trunchiat este înrudit din punct de vedere topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări uniforme cu figurile vârfului n.6.6, extinzându-se în planul hiperbolic:

Variante de simetrii *n32 ale pavărilor trunchiate: n.6.6
Sim.
*n42
[n,3]
Sferică Euclid. Compactă Paracomp. Hiperbolică necompactă
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
[12i,3] [9i,3] [6i,3]
Figuri
trunchiate
                     
Config. 2.6.6 3.6.6 4.6.6 5.6.6 6.6.6 7.6.6 8.6.6 ∞.6.6 12i.6.6 9i.6.6 6i.6.6
Figuri
n-kis
               
Config. V2.6.6 V3.6.6 V4.6.6 V5.6.6 V6.6.6 V7.6.6 V8.6.6 V∞.6.6 V12i.6.6 V9i.6.6 V6i.6.6

Octaedrul trunchiat este înrudit din punct de vedere topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări uniforme cu figurile vârfurilor 4,2n.2n, extinzându-se în planul hiperbolic:

Variante de simetrii *n42 ale pavărilor trunchiate: 4.2n.2n
Simetrie
*n42
[n,4]
Sferică Euclid. Hiperbolică compactă Paracomp.
*242
[2,4]
*342
[3,4]
*442
[4,4]
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]...
*∞42
[∞,4]
Figuri
trunchiate
               
Config. 4.4.4 4.6.6 4.8.8 4.10.10 4.12.12 4.14.14 4.16.16 4.∞.∞
Figuri
n-kis
               
Config. V4.4.4 V4.6.6 V4.8.8 V4.10.10 V4.12.12 V4.14.14 V4.16.16 V4.∞.∞

Politopuri înrudite

modificare

Octaedrul trunchiat (cubul bitrunchiat), este primul dintr-o succesiune de hipercuburi trunchiate:

Hipercuburi bitrunchiate
Imagine                   ...
Nume Cub
bitrunchiat
Tesseract bitrunchiat 5-cub
bitrunchiat
6-cub
bitrunchiat
7-cub
bitrunchiat
8-cub
bitrunchiat
Coxeter                                                                  
Figura vârfului  
( )v{ }
 
{ }v{ }
 
{ }v{3}
 
{ }v{3,3}
{ }v{3,3,3} { }v{3,3,3,3}

Este posibil să se secționeze un tesseract cu un hiperplan, astfel încât secțiunea transversală a acestuia să fie un octaedru trunchiat.[5]

Teselări

modificare

Octaedrul trunchiat există în trei faguri uniformi convecși:

Cubic bitrunchiat Cubic cantitrunchiat Cubic alternat trunchiat
     

Fagurele cubic bitrunchiat tranzitiv pe celule poate fi considerat o teselare Voronoi⁠(d) a rețelei cubice centrate intern. Octaedrul trunchiat este unul dintre cele cinci paraleloedre.

  1. ^ en Eric W. Weisstein, Uniform Polyhedron la MathWorld.
  2. ^ Șirul A156546 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  3. ^ Șirul A195698 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  4. ^ en Doskey, Alex. „Adventures Among the Toroids – Chapter 5 – Simplest (R)(A)(Q)(T) Toroids of genus p=1”. www.doskey.com. 
  5. ^ en Borovik, Alexandre V.; Borovik, Anna (), „Exercise 14.4”, Mirrors and Reflections, Universitext, New York: Springer, p. 109, doi:10.1007/978-0-387-79066-4, ISBN 978-0-387-79065-7, MR 2561378 

Bibliografie

modificare

Vezi și

modificare

Legături externe

modificare