Normală

obiect perpendicular pe alt obiect, vector perpendicular pe o curbă sau o suprafață

În geometrie o normală este un obiect, cum ar fi o dreaptă, o rază sau un vector, care este perpendicular pe un obiect dat. De exemplu, dreapta normală la o curbă plană într-un punct dat este dreapta (infinită) perpendiculară pe tangenta la curbă în acest punct.Un vector normal poate avea lungimea 1 (un versor) sau lungimea sa poate reprezenta curbura obiectului (un vector de curbură); semnul algebric al acestuia poate indica pe care parte (interior sau exterior) este.

Un poligon și doi vectori normali pe el
Normala la o suprafață într-un punct este aceeași cu normala la planul tangent la suprafață în același punct

În spațiul tridimensional o normală la suprafață sau, simplu, normală la o suprafață în punctul P este un vector perpendicular pe planul tangent la suprafață în P. Cuvântul „normal” este folosit și ca adjectiv: o dreaptă normală la un plan, componenta normală a unei forțe, vectorul normal etc. Noțiunea de normalitate se generalizează la ortogonalitate (unghiuri drepte).

Noțiunea a fost generalizată la varietăți diferențiabile⁠(d) de dimensiune arbitrară încorporate într-un spațiu euclidian. Spațiul vectorial normal sau spațiul normal al unei varietăți în punctul P este mulțimea de vectori care sunt ortogonali cu spațiul tangent⁠(d) în P. Vectorii normali prezintă un interes deosebit în cazul curbelor și suprafețelor netede.

Distanța normală a unui punct Q la o curbă sau la o suprafață este distanța euclidiană dintre Q și proiecția sa perpendiculară pe obiect (în punctul P de pe obiect a cărui normală conține Q).

Normala la suprafețe în spațiul tridimensionalModificare

 
O suprafață curbată cu vectorii normali (săgețile albastre) la suprafață

Calculul normalei la o suprafațăModificare

Pentru un poligon convex (cum ar fi un triunghi), o normală a suprafeței poate fi calculată ca vectorul produs vectorial al două laturi (neparalele) ale poligonului.

La un plan dat de ecuația   vectorul   este normal.[1][2]

Pentru un plan a cărui ecuație este dată în formă parametrică:

 

unde   este un punct din plan, iar   sunt vectori neparaleli îndreptați de-a lungul planului, o normală la plan este un vector normal pe ambii   și   care poate fi calculat prin produsul vectorial  [2][3]

Dacă o suprafață (nu neapărat plană)   în spațiul tridimensional   este parametrizată de un sistem de coordonate curbilinii   cu   și   variabile reale, atunci o normală la S este prin definiție o normală la un plan tangent, dată de produsul vectorial al derivatelor parțiale

 

Dacă suprafața   este dată sub formă implicită⁠(d) ca un set de puncte   care satisfac   atunci o normală într-un punct   de pe suprafață este dată de gradientul

 

deoarece gradientul este perpendicular în orice punct al setului  .

Pentru suprafața   din   care este graficul funcției   o normală orientată în sus poate fi găsită fie din parametrizarea   dând

 

sau mai simplu din forma sa implicită   rezultând

 

Deoarece o suprafață nu are un plan tangent într-un punct singular⁠(d) (de exemplu, vârful unui con), nu are o normală bine definită în acel punct. În general, la o suprafață care este Lipschitz continuă este posibil să se definească o normală aproape peste tot.

Alegerea normaleiModificare

 
Câmp de vectori normali la o suprafață

Normala unei (hiper)suprafețe este de obicei scalată pentru a avea lungimea unitate, dar nu are o direcție unică, deoarece opusa sa este și ea o normală unitate. Pentru o suprafață care este frontiera unei mulțimi tridimensionale se poate distinge între normala orientată spre interior și normala orientată spre exterior. Pentru o suprafață orientată, normala este de obicei determinată de regula mâinii drepte sau de analoaga sa în dimensiuni superioare.

Hipersuprafețe în spațiul n-dimensionalModificare

La un hiperplan (n−1)-dimensional dintr-un spațiu n-dimensional   dat de reprezentarea sa parametrică

 

unde   un punct pe hiperplan, iar   pentru   sunt vectori liniar independenți de-a lungul hiperplanului, o normală la hiperplan este orice vector   din nucleul matricei   unde   Adică, orice vector ortogonal cu toți vectorii din plan este prin definiție o normală a suprafeței. Alternativ, dacă hiperplanul este definit ca setul de soluții al unei singure ecuații liniare   atunci vectorul   este o normală.

Definiția unei normale la o suprafață din spațiul tridimensional poate fi extinsă la hipersuprafețele (n−1)-dimensionale din   O hipersuprafață poate fi definită local implicit ca mulțimea punctelor   care satisfac o ecuație   unde   este o funcție scalară. Dacă   este diferențiabilă continuu, atunci hipersuprafața este o varietate diferențiabilă în vecinătatea punctelor în care gradientul nu este zero. În aceste puncte un vector normal este dat de gradient:

 

Dreapta normală este un subspațiu unidimensional cu baza  

NoteModificare

  1. ^ Paul A. Blaga, Dreapta și planul în spațiu, ubbcluj.ro, 8 aprilie 2020, accesat 2022-06-20
  2. ^ a b Plane în spațiu. Breviar teoretic, tuiasi.ro, accesat 2022-06-20
  3. ^ Paul Popescu, Marcela Popescu, Algebră Liniară și Geometrie Analitică, ucv.ro, p. 27, accesat 2022-06-20

Legături externeModificare