Curbă plană

În geometrie, o curbă plană este o curbă ale cărei puncte se găsesc în plan (spre deosebire de curba strâmbă).

Ecuații

Ecuația carteziană explicită a unei curbe plane este de forma:

$y=y(x),$

$(1.1)$

iar cea implicită:

$F(x,y)=0.$

$(1.2)$

Ecuația în coordonate polare este:

$r=r(\theta ).$

$(1.3)$

Ecuațiile parametrice ale curbei plane sunt de forma:

${\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}$

$(1.4)$

Ecuația intrinsecă a unei astfel de curbe este de forma:

$\rho =\rho (s),$

$(1.5)$

adică valoarea razei de curbură în funcție de arcul  $s.$ 

Arc de curbă plană

Se numește arc simplu de curbă plană, mulțimea  $(C)$  a punctelor  $M(x,y)\in {\mathcal {E}}_{2}$ a punctelor care satisfac o ecuație de tip:

$y=f(x),\;a<x<b,$

$(2.1)$

unde  $a,b\in \mathbb {R}$  sunt fixate,

sau o ecuație de tipul:

$F(x,y)=0,\;a_{1}<x<a_{2},\;b_{1}<y<b_{2}$  cu  $a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\in \mathbb {R}$

$(2.2)$

sau un sistem de forma:

${\begin{cases}x=g(t)\\y=h(t)\end{cases}},\;\;c_{1}<t<c_{2},$

$(2.3)$

cu  $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R} ,$  unde  $f,F,g,h$  sunt funcții reale, de clasă cel puțin  $C^{1}$  pe domeniile lor de definiție, iar g și h stabilesc o corespondență bijectivă și bicontinuă între punctele  $M\in (C)$  și mulțimea valorilor parametrului  $t\in (c_{1},c_{2}).$ 

Exemple

Nume	Ecuație implicită	Ecuație parametrică	Ecuație explicită	Grafic
Dreaptă	$ax+by=c$	$(x_{0}+\alpha t,y_{0}+\beta t)$	$y=mx+c$
Cerc	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	$(r\cos t,r\sin t)$
Parabolă	$y-x^{2}=0$	$(t,t^{2})$	$y=x^{2}$
Elipsă	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$(a\cos t,b\sin t)$
Hiperbolă	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$(a\cosh t,b\sinh t)$

Legături externe

• en Wolfram MathWorld