Geometria diferențială a curbelor
Geometria diferențială a curbelor este o ramură a geometriei diferențiale care are ca obiectiv studiul diferențial și integral al curbelor în plan și în spațiu.
Definiția curbei
modificareDefiniția 1. Se numește curbă în spațiu dată parametric mulțimea punctelor din spațiu a căror coordonate sunt date de:
|
(1) |
funcțiile reale fiind continue pe
Definiția 2. Se numește curbă în spațiu mulțimea punctelor pentru care vectorul de poziție este dat de:
|
(2) |
Tangenta la o curbă
modificareDefiniție. Se numește tangentă la curba în punctul poziția limită a dreptei determinată de punctele și de pe curbă când punctul tinde către (dacă această limită există).
Teoremă. Dacă funcțiile sunt derivabile în și
atunci ecuația tangentei la curbă este:
|
(3) |
unde sunt coordonatele punctului curent de pe tangentă.
Demonstrație. Conform definiției derivatei unui vector și a tangentei, dacă punctul aparține tangentei atunci vectorii (de coordonate ) și sunt coliniari, deci coordonatele lor sunt proporționale și se obține relația (3).
Binormala
modificareBinormala la o curbă într-un punct dat este normala din acel punct și perpendiculară pe planul osculator al curbei din acel punct. Astfel, pentru curba dată de ecuațiile (1), ecuațiile binormalei sunt:
unde și derivatele lor sunt luate în punctul considerat.