Geometria diferențială a curbelor

Geometria diferențială a curbelor este o ramură a geometriei diferențiale care are ca obiectiv studiul diferențial și integral al curbelor în plan și în spațiu.

Definiția curbeiModificare

Definiția 1. Se numește curbă în spațiu dată parametric mulțimea punctelor   din spațiu a căror coordonate sunt date de:

 

(1)

funcțiile reale   fiind continue pe  

Definiția 2. Se numește curbă în spațiu mulțimea punctelor   pentru care vectorul de poziție   este dat de:

 

(2)

Tangenta la o curbăModificare

Definiție. Se numește tangentă la curba   în punctul   poziția limită a dreptei determinată de punctele   și   de pe curbă când punctul   tinde către   (dacă această limită există).

Teoremă. Dacă funcțiile   sunt derivabile în   și

 

atunci ecuația tangentei la curbă este:

 

(3)

unde   sunt coordonatele punctului curent de pe tangentă.

Demonstrație. Conform definiției derivatei unui vector și a tangentei, dacă punctul   aparține tangentei atunci vectorii     (de coordonate  ) și     sunt coliniari, deci coordonatele lor sunt proporționale și se obține relația (3).

BinormalaModificare

Binormala la o curbă într-un punct dat este normala din acel punct și perpendiculară pe planul osculator al curbei din acel punct. Astfel, pentru curba dată de ecuațiile (1), ecuațiile binormalei sunt:

unde   și derivatele lor sunt luate în punctul considerat.

Vezi șiModificare