Triedrul Frenet-Serret al unei curbe strâmbe și planul osculator al acesteia

În geometria diferențială, planul osculator al unei curbe strâmbe este limita planului care trece prin trei puncte vecine pe curbă, când punctele tind către M.

Fie o curbă spațială dată prin ecuația ei vectorială: un punct regulat de pe curbă și dreapta tangentă la curbă în punctul

Definiție. Un plan care conține dreapta tangentă c se numește plan tangent și se notează

Fie un punct de pe vecin cu k fiind o creștere mică astfel ca Fie dreapta determinată de aceste puncte, secantă pentru curba

Observație. Dreapta obținută ca limită a pozițiilor secantelor când (adică ) este tangenta la în punctul

Definiție. Planul determinat de dreapta și de un punct de pe curba din vecinătatea lui se numește plan osculator al curbei în punctul și se notează

Planul osculator este determinat de direcția tangentei și de direcția

Se observă că vectorul este coliniar cu vectorul

Fie un punct intermediar din intervalul Conform ipotezei că este o funcție de clasă pe intervalul real I, putem considera aproximarea de ordinul II a expresiei

care se obține din formula Taylor cu restul Lagrange aplicată funcției vectoriale

În plus, în baza continuității funcției avem Obținem astfel:

Cum membrul drept al egalității de mai sus este un vector coliniar cu rezultă că vectorul aparține planului osculator, pentru orice k. Trecând la limită pentru obținem că vectorul aparține planului osculator.

Așadar, cunoaștem doi vectori directori ai planului osculator: și Ecuația vectorială a planului osculator este:

iar ecuația carteziană a planului osculator este:

Dacă curba este dată sub formă parametrică, atunci ecuația planului osculator poate fi scrisă sub forma:

    - parametrii

sau


unde sunt complemenții algebrici ai matricei:

ObservațiiModificare

  • Planul osculator al unei curbe plane este chiar planul curbei.
  • Direcția normală a planului osculator   este vectorul:

 

Dreapta normală pe planul osculator (adică dreapta de direcție  ) în punctul   se numește binormală, și se notează cu