Reprezentări în perspectivă
Hexahedron.svg Hypercube.svg
3-cub (cub) 4-cub (tesseract)

În geometrie, un hipercub este corespondentul într-un spațiu n-dimensional al pătratului din spațiul bidimensional (n = 2), respectiv al cubului din spațiul tridimensional (n = 3). Sunt politopuri regulate, închise, compacte, convexe, al căror schelet⁠(d) este format din segmente de aceeași lungime, paralele, opuse, aliniate cu direcțiile dimensiunilor, și perpendiculare unele pe altele. Lungimea celor mai lungi diagonale ale unui hipercub în n dimensiuni este .

Un hipercub n-dimensional este numit adesea n-cub sau, uneori, cub n-dimensional. Termenul politop de măsură (engleză measure polytope) (folosit inițial de Elte în 1912)[1] este de asemenea întâlnit, în special în lucrările lui H. S. M. Coxeter, care notează hipercuburile cu γn.[2]

Hipercubul este un caz particular al hiperdreptunghiului⁠(d) (care este numit și „n-ortotop”).

Hipercubul unitar este un hipercub ale cărui laturi au lungimea de o unitate. Hipercubul care are cele 2n vârfuri din Rn cu fiecare coordonată egală cu 0 sau 1 este numit „hipercubul unitate”.

ConstrucțiaModificare

 
Schema generării unui 4-cub dintr-un punct
 
Animație cu generarea unui 4-cub dintr-un punct
 
Proiecția unui 4-cub (tesseract) în rotație

Un hipercub poate fi definit prin creșterea numărului de dimensiuni:

0 – Un punct este un hipercub în zero dimensiuni.
1 – Deplasând punctul cu o unitate de lungime de-a lungul unei dimensiuni se va obține un segment, care este un hipercub cu o dimensiune.
2 – Deplasând acest segment într-o direcție perpendiculară pe direcția segmentului, cu o unitate de lungime, se va obține un pătrat, care este un hipercub în două dimensiuni.
3 – Deplasând acest segment într-o direcție perpendiculară pe planul pătratului, cu o unitate de lungime, se va obține un cub, care este un hipercub în trei dimensiuni.
4 – Deplasând acest segment într-o direcție perpendiculară pe celelalte trei dimensiuni, cu o unitate de lungime, se va obține un 4-cub, care este un hipercub în patru dimensiuni (numit și tesseract).

Procedeul se poate generaliza pentru orice număr de dimensiuni. Acest proces de parcurgere a volumelor poate fi formalizat matematic ca o sumă Minkowski⁠(d): hipercubul d-dimensional este suma Minkowski a d segmente mutual perpendiculare, prin urmare este un exemplu de zonotop.

1-scheletul⁠(d) hipercubului este graful hipercubului⁠(d).

CoordonateModificare

Hipercubul unitar în n dimensiuni este anvelopa convexă a punctelor date de toate permutările semnelor coordonatelor carteziene  . El are laturile de lungime 1 și un volum n-dimensional de 1.

Un hipercub n-dimensional este adesea privit ca anvelopa convexă a tuturor permutărilor semnelor coordonatelor  . Această formă este des folosită datorită ușurinței scrierii coordonatelor. În acest caz lungimea laturilor este 2, iar volumul său n-dimensional este 2n.

ElementeModificare

Orice n-cub pentru n > 0 este format din elemente, sau n-cuburi de dimensiune inferioară, plasate pe suprafețele (n−1)-dimensionale ale hipercubului de proveniență. Fețele sale sunt hipercuburi (n−1)-dimensionale. Un hipercub n-dimensional are 2n laturi: o dreaptă unidimensională are 2 puncte de capăt; un pătrat bidimensional are 4 laturi; un cub tridimensional are ube has 6 laturi (fețe) bidimensionale, un 4-cub (tesseract) are 8 laturi (celule) tridimensionale. Numărul de vârfuri ale unui hipercub este  (de exemplu cubul are   vârfuri (colțuri)).

Numărul de hipercuburi m-dimensionale (în continuare se va folosi această expresie pentru hipercuburi de dimensiuni inferioare) pe frontierele unui n-cub este

 ,[3]     unde         unde n! este factorial de n.

De exemplu, pe frontierele unui 4-cub (n = 4) există 8 cuburi (tip 3-cub), 24 de pătrate (2-cub), 32 de segmente (1-cub) și 16 vârfuri (0-cub).

Această relație poate fi demonstrată pe cale combinatorică: fiecare dintre   vârfuri definește un capăt pe frontierele m-dimensionale. Există   moduri în care se pot alege liniile ("laturile") care definesc subspațiul definit de aceste laturi. Dar, deoarece fiecare latură apare de   ori în vârfuri, numărul vârfurilor se obține prin împărțirea totalului cu acest număr.

Această relație se poate folosi pentru a obține formula pentru suprafața hipercubului n-dimensional. Această suprafață este:  .

Aceste valori pot fi obținute cu relația liniară recursivă

 ,       cu     și elementele încă nedefinite (unde  ,  , sau   )  .

De exemplu, prin extensia pătratului, în fiecare din cele 4 colțuri ale sale apare câte un segment, din care se vor forma pătratele care vor mărgini cubul, obținând-se în total   = 12 segmente (muchiile cubului).

Elementele hipercuburilor   (secvența OEIS A038207)[4])
m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n n-cub Denumiri alternative Simbol
Schläfli
Coxeter
Vârf
0-fețe
Latură
1-fețe
Fețe
2-fețe
Celulă
3-fețe

4-fețe

5-fețe

6-fețe

7-fețe

8-fețe

9-fețe

10-fețe
0 0-cub Punct
Monon
( )
 
1
1 1-cub Segment
Dion[5]
{}
 
2 1
2 2-cub Pătrat
Tetragon
{4}
   
4 4 1
3 3-cub Cub
Hexaedru
{4,3}
     
8 12 6 1
4 4-cub Tesseract
8-celule
{4,3,3}
       
16 32 24 8 1
5 5-cub Pentaract
Deca-5-top
{4,3,3,3}
         
32 80 80 40 10 1
6 6-cub Hexaract
Dodeca-6-top
{4,3,3,3,3}
           
64 192 240 160 60 12 1
7 7-cub Heptaract
Tetradeca-7-top
{4,3,3,3,3,3}
             
128 448 672 560 280 84 14 1
8 8-cub Octaract
Hexadeca-8-top
{4,3,3,3,3,3,3}
               
256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1
9 9-cub Enearact
Octodeca-9-top
{4,3,3,3,3,3,3,3}
                 
512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1
10 10-cub Decaract
Icosa-10-top
{4,3,3,3,3,3,3,3,3}
                   
1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 1

GrafuriModificare

Un n-cub poate fi proiectat într-un poligon regulat cu 2n laturi (Poligon Petrie). Tabelul următor prezintă exemple de la segment până la 15-cub.

Proiecția ortogonală a poligoanelor Petrie
 
Segment
 
Pătrat
 
Cub
 
4-cub
 
5-cub
 
6-cub
 
7-cub
 
8-cub
 
9-cub
 
10-cub
 
11-cub
 
12-cub
 
13-cub
 
14-cub
 
15-cub

Familii conexe de politopuriModificare

Hipercuburile aparțin uneia dintre puținele familii de politopuri regulate care sunt reprezentate în orice număr de dimensiuni.

Familia de hipercuburi este una dintre cele trei familii de politopuri regulate, notate de Coxeter cu γn. Celelalte două sunt familia pereche a hipercubului, ortoplecșii, notați cu βn, și simplexurile, notate cu αn. A patra familie, fagurii hipercubici a fost notată de el cu δn.

O altă familie înrudită de politopuri uniforme semiregulate sunt semihipercuburile⁠(d), care sunt construite din hipercuburi prin ștergerea alternantă de vârfuri și adăugarea în goluri a simplexurilor, forme notate cu n.

n-cuburile pot fi combinate cu perechile lor (ortoplecșii) pentru a forma politopuri compuse:

Relația cu (n−1)-simplexurileModificare

Graful laturilor unui n-hipercub este izomorf cu diagrama Hasse⁠(d) a laticei fețelor (n−1)-simplexului. Acest fapt poate fi observat orientând diagrama n-hipercubului astfel încât două noduri să fie aliniate vertical, nodul de sus corespunzând (n−1)-simplexului însuși, iar cel de jos politopului nul. Fiecare nod conectat la nodul de sus marchează într-un mod unic o față (față n−2) a (n−1)-simplexului, fiecare nod conectat la aceste noduri marchează o față n−3 a simplexului, și tot așa, iar nodurile conectate nodului de jos marchează vârfurile simplexului.

Metoda poate fi folosită pentru a obține în mod eficient laticea fețelor unui (n−1)-simplex, deoarece algoritmii de enumerare a laticei fețelor aplicabili la politopuri în general necesită capacități de calcul mai mari.

Hipercuburi generalizateModificare

Politopurile complexe⁠(d) regulate pot fi definite în spațiul complex Hilbert drept hipercuburi generalizate, γp
n
= p{4}2{3}...2{3}2, sau     ..    . Există soluții reale pentru p = 2, de exemplu γ2
n
 = γn = 2{4}2{3} ...  2{3}2 = {4, 3, … , 3}. Pentru p > 2, ele există în  . Fețele sunt (n−1)-cuburi generalizate, iar vârfurile sunt simplexuri regulate.

Perimetrele poligoanelor regulate din proiecțiile ortogonale ale acestora sunt poligoane Petrie. Pătratele generalizate (n = 2) sunt trasate cu p-laturi în culori alternante, roșu și albastru, iar n-cuburile sunt trasate cu linii negre.

Numărul elementelor de tip m-față ale n-cubului p-generalizat este:  . Există pn vârfuri și pn fețe.[6]

Hipercuburi generalizate
p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8
   
γ2
2
= {4} =    
4 vârfuri
   
γ3
2
=    
9 vârfuri
 
γ4
2
=    
16 vârfuri
 
γ5
2
=    
25 vârfuri
 
γ6
2
=    
36 vârfuri
 
γ7
2
=    
49 vârfuri
 
γ8
2
=    
64 vârfuri
   
γ2
3
= {4,3} =      
8 vârfuri
   
γ3
3
=      
27 vârfuri
 
γ4
3
=      
64 vârfuri
 
γ5
3
=      
125 vârfuri
 
γ6
3
=      
216 vârfuri
 
γ7
3
=      
343 vârfuri
 
γ8
3
=      
512 vârfuri
   
γ2
4
= {4,3,3}
=        
16 vârfuri
   
γ3
4
=        
81 vârfuri
 
γ4
4
=        
256 vârfuri
 
γ5
4
=        
625 vârfuri
 
γ6
4
=        
1296 vârfuri
 
γ7
4
=        
2401 vârfuri
 
γ8
4
=        
4096 vârfuri
   
γ2
5
= {4,3,3,3}
=          
32 vârfuri
   
γ3
5
=          
243 vârfuri
 
γ4
5
=          
1024 vârfuri
 
γ5
5
=          
3125 vârfuri
 
γ6
5
=          
7776 vârfuri
γ7
5
=          
16,807 vârfuri
γ8
5
=          
32,768 vârfuri
   
γ2
6
= {4,3,3,3,3}
=            
64 vârfuri
   
γ3
6
=            
729 vârfuri
 
γ4
6
=            
4096 vârfuri
 
γ5
6
=            
15,625 vârfuri
γ6
6
=            
46,656 vârfuri
γ7
6
=            
117,649 vârfuri
γ8
6
=            
262,144 vârfuri
   
γ2
7
= {4,3,3,3,3,3}
=              
128 vârfuri
   
γ3
7
=              
2187 vârfuri
γ4
7
=              
16,384 vârfuri
γ5
7
=              
78,125 vârfuri
γ6
7
=              
279,936 vârfuri
γ7
7
=              
823,543 vârfuri
γ8
7
=              
2,097,152 vârfuri
   
γ2
8
= {4,3,3,3,3,3,3}
=                
256 vârfuri
   
γ3
8
=                
6561 vârfuri
γ4
8
=                
65,536 vârfuri
γ5
8
=                
390,625 vârfuri
γ6
8
=                
1,679,616 vârfuri
γ7
8
=                
5,764,801 vârfuri
γ8
8
=                
16,777,216 vârfuri

NoteModificare

  1. ^ en Elte, E. L. (). „IV, Five dimensional semiregular polytope”. The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces. Netherlands: University of Groningen. ISBN 141817968X. 
  2. ^ Coxeter, Regular…, pp. 122–123 (Fig 7.2)
  3. ^ Coxeter 1973, p. 122, §7·25.
  4. ^ Șirul A038207 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  5. ^ en Johnson, Norman W., Geometries and Transformations, Cambridge University Press, 2018, p. 224
  6. ^ en Coxeter, H. S. M. (), Regular complex polytopes, London & New York: Cambridge University Press, p. 180, MR 0370328 .

BibliografieModificare

  • en Coxeter, H. S. M. (). Regular Polytopes (ed. 3rd). §7.2. see illustration Fig. 7-2C: Dover. pp. 122-123. ISBN 0-486-61480-8.  p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n dimensions (n ≥ 5)

Lectură suplimentarăModificare

  • en Bowen, J. P. (aprilie 1982). „Hypercube”. Practical Computing. 5 (4): 97–99. Arhivat din original la . Accesat în . 
  • en Hill, Frederick J.; Gerald R. Peterson (). Introduction to Switching Theory and Logical Design: Second Edition. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-39882-9. 

Legături externeModificare

  Materiale media legate de hipercub la Wikimedia Commons

 v  d  m Politopuri regulate și uniforme convexe fundamentale în dimensiunile 2–10
Familie An Bn I2(p) / Dn E6 / E7 / E8 / F4 / G2 Hn
Poligoane regulate Triunghi Pătrat p-gon Hexagon Pentagon
Poliedre uniforme Tetraedru OctaedruCub Semicub DodecaedruIcosaedru
4-politopuri uniforme 5-celule 16-celuleTesseract Semitesseract 24-celule 120-celule600-celule
5-politopuri uniforme 5-simplex 5-ortoplex5-cub 5-semicub
6-politopuri uniforme 6-simplex 6-ortoplex6-cub 6-semicub 122221
7-politopuri uniforme 7-simplex 7-ortoplex7-cub 7-semicub 132231321
8-politopuri uniforme 8-simplex 8-ortoplex8-cub 8-semicub 142241421
9-politopuri uniforme 9-simplex 9-ortoplex9-cub 9-semicub
10-politopuri uniforme 10-simplex 10-ortoplex10-cub 10-semicub
n-politopuri uniforme n-simplex n-ortoplexn-cub n-semicub 1k22k1k21 n-politop pentagonal
Topicuri: Familii de politopuriPolitop regulat