Politop pentagonal

În geometrie un politop pentagonal este un politop regulat în n dimensiuni, construit din grupul Coxeter Hn. Familia acestor politopuri a fost denumită așa de Coxeter, deoarece politopul pentagonal bidimensional este un pentagon. Simbolul său Schläfli este {5, 3n−2} (dodecaedric) sau {3n−2, 5} (icosaedric).


Membrii familieiModificare

Familia începe cu 1-politop și se termină cu n = 5 ca teselări infinite ale spațiului hiperbolic cvadridimensional.

Există două tipuri de politopuri pentagonale, denumite dodecaedrice și icosaedrice, prin analogie cu politopurile tridimensionale. Cele două tipuri sunt duale unul față de celălalt.

DodecaedriceModificare

Familia completă de politopuri pentagonale dodecaedrice este:

  1. Segment, { }
  2. Pentagon, {5}
  3. Dodecaedru, {5, 3} (12 fețe pentagonale)
  4. 120-celule, {5, 3, 3} (120 de celule dodecaedrice)
  5. Fagure 120-celule de ordinul 3, {5, 3, 3, 3} (teselare a 4-spațiului hiperbolic, ∞ fațete de 120-celule)

Fațetele fiecărui politop pentagonal dodecaedric sunt politopurile pentagonale dodecaedrice cu dimensiunea cu 1 mai mică. Figurile lor de vârf sunt simplexurile cu dimensiunea cu 1 mai mică.

Politopuri pentagonale dodecaedrice
n Grup Coxeter Poligon Petrie
(proiecție)
Nume
Diagramă Coxeter
Simbol Schläfli
Fațete Elemente
Vârfuri Laturi Fețe Celule 4-fețe
1  
[ ]
(ordin 2)
  Segment
 
{ }
2 vârfuri 2
2  
[5]
(ordin 10)
  Pentagon
   
{5}
5 laturi 5 5
3  
[5,3]
(ordin 120)
  Dodecaedru
     
{5, 3}
12 pentagoane
 
20 30 12
4  
[5,3,3]
(ordin 14400)
  120-celule
       
{5, 3, 3}
120 de dodecaedre
 
600 1200 720 120
5  
[5,3,3,3]
(ordin ∞)
Fagure 120-celule
         
{5, 3, 3, 3}
∞ 120-celule
 

IcosaedriceModificare

Familia completă de politopuri pentagonale icosaedrice este:

  1. Segment, { }
  2. Pentagon, {5}
  3. Icosaedru, {3, 5} (20 fețe triunghiulare echilaterale]] faces)
  4. 600-celule, {3, 3, 5} (600 de celule tetraedrice)
  5. Fagure 5-celule de ordinul 5, {3, 3, 3, 5} (teselare a 4-spațiului hiperbolic, ∞ fațete de 5-celule)

Fațetele fiecărui politop pentagonal icosaedric sunt simpexurile cu dimensiunea cu 1 mai mică. Figurile lor de vârf sunt politopurile pentagonale icosaedrice cu dimensiunea cu 1 mai mică.

Politopuri pentagonale icosaedrice
n Grup Coxeter Poligon Petrie
(proiecție)
Nume
Diagramă Coxeter
Simbol Schläfli
Fațete Elemente
Vârfuri Laturi Fețe Celule 4-fețe
1  
[ ]
(ordin 2)
  Segment]]
 
{ }
2 vârfuri 2
2  
[5]
(ordin 10)
  Pentagon
   
{5}
5 laturi 5 5
3  
[5,3]
(ordin 120)
  Icosaedru
     
{3, 5}
20 de triunghiuri
echilaterale

 
12 30 20
4  
[5,3,3]
(ordin 14400)
  600-celule
       
{3, 3, 5}
600 de tetraedre
 
120 720 1200 600
5  
[5,3,3,3]
(ordin ∞)
Fagure 5-celule
de ordinul 5
         
{3, 3, 3, 5}
5-celule
 

Politopuri stelate și faguri înrudițiModificare

Politopurile pentagonale pot fi stelate pentru a forma noi politopuri stelate regulate:

În unele cazuri, politopurile pentagonale stelate sunt ele însele enumerate printre politopurile pentagonale.[1]

Ca și alte politopuri, stelările regulate pot fi combinate cu duale lor pentru a forma compuși;

Politopurile stelate pot fi și ele combinate.

NoteModificare

  1. ^ Coxeter, H. S. M.: Regular Polytopes (third edition), p. 107, p. 266

BibliografieModificare

  • en Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 [1]
    • en (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
  • en Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN: 0-486-61480-8. (Table I(ii): 16 regular polytopes {p, q,r} in four dimensions, pp. 292–293)
 v  d  m Politopuri regulate și uniforme convexe fundamentale în dimensiunile 2–10
Familie An Bn I2(p) / Dn E6 / E7 / E8 / F4 / G2 Hn
Poligoane regulate Triunghi Pătrat p-gon Hexagon Pentagon
Poliedre uniforme Tetraedru OctaedruCub Semicub DodecaedruIcosaedru
4-politopuri uniforme 5-celule 16-celuleTesseract Semitesseract 24-celule 120-celule600-celule
5-politopuri uniforme 5-simplex 5-ortoplex5-cub 5-semicub
6-politopuri uniforme 6-simplex 6-ortoplex6-cub 6-semicub 122221
7-politopuri uniforme 7-simplex 7-ortoplex7-cub 7-semicub 132231321
8-politopuri uniforme 8-simplex 8-ortoplex8-cub 8-semicub 142241421
9-politopuri uniforme 9-simplex 9-ortoplex9-cub 9-semicub
10-politopuri uniforme 10-simplex 10-ortoplex10-cub 10-semicub
n-politopuri uniforme n-simplex n-ortoplexn-cub n-semicub 1k22k1k21 n-politop pentagonal
Topicuri: Familii de politopuriPolitop regulat