Marele dodecaedru stelat

Marele dodecaedru stelat
(animație)
Descriere
Tippoliedru Kepler–Poinsot
Fețe12
Laturi (muchii)30
Vârfuri20
χ2
Configurația vârfului(52)3
Simbol Wythoff3 | 2 52
Simbol Schläfli{52,5}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrieIh, H3, [5,3], (*532)
Grup de rotațieI, [5,3]+, (532)
Poliedru dualMarele icosaedru
Proprietățiregulat, neconvex
Figura vârfului
Desfășurată

În geometrie marele dodecaedru stelat este un poliedru Kepler–Poinsot cu simbolul Schläfli {52,3}. Este unul dintre cele patru poliedre regulate neconvexe. Este compus din 12 fețe pentagramice, cu trei pentagrame care se întâlnesc în fiecare vârf.[1] Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă laturi sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Are aceeași dispunere a vârfurilor ca și dodecaedrul regulat convex, dar nu și aceeași figură și configurație a vârfului. Este singura stelare dodecaedrică (în afară de dodecaedrul însuși). Anvelopa sa convexă este dodecaedrul regulat. Dualul său, marele icosaedru,[1] este înrudit într-un mod similar cu icosaedrul.[1]

Înlăturând piramidele triunghiulare se obține un icosaedru.

Dacă fețele pentagramice sunt divizate în triunghiuri, marele icosaedru este înrudit din punct de vedere topologic cu icosaedrul triakis, cu aceeași conectivitate a fețelor, dar cu fețe triunghiulare isoscele mult mai înalte. Dacă triunghiurile sunt inversate și plasate astfel încât să excaveze icosaedrul central, rezultatul este marele dodecaedru.

Construcție modificare

Marele dodecaedru stelat poate fi construit în mod analog pentagramei, analogul său bidimensional, prin stelarea n-politopului pentagonal cu fețe pentagonale și n-simplexul ca figură a vârfului până nu mai poate fi stelat. Ca urmare, este o stelare finală.

Imagini modificare

Poliedre înrudite modificare

 
Trunchiere animată de la {52, 5} la {5, 52}

Un proces de trunchiere aplicat marelui dodecaedru stelat produce o serie de poliedre uniforme. Trunchierea muchiilor până la puncte produce marele icosidodecaedru ca un mare dodecaedru stelat rectificat. Procesul se poate continua cu birectificarea, reducând fețele originale la puncte, producând astfel marele icosaedru.

Marele dodecaedru stelat trunchiat poate fi considerat un poliedru uniform[2] degenerat, cu 20 de fețe triunghiulare la vârfurile trunchiate și 12 fețe pentagonale (ascunse) ca trunchieri ale fețelor pentagramice originale, ultimele formând un mare dodecaedru înscrise în figură și având în comun laturile icosaedrului.

Nume Marele dodecaedru stelat Marele dodecaedru stelat trunchiat Marele icosidodecaedru Marele icosaedru trunchiat Marele icosaedru
Diagramă Coxeter–Dynkin                                        
imagine          

Note modificare

Bibliografie modificare

  • en Wenninger, Magnus (). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. 
  • en Coxeter, Harold (). „Uniform Polyhedra”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. Royal Society. 246 (916): 401–450. doi:10.1098/rsta.1954.0003. JSTOR 91532. 

Vezi și modificare

Legături externe modificare