Poliedru prismatic uniform

În geometrie, un poliedru prismatic uniform este un poliedru uniform cu simetrie diedrală. Ele există în două familii infinite, prisme uniforme și antiprisme uniforme. Toate au vârfurile lor în plane paralele, prin urmare sunt prismatoide.

O antiprismă pentagramică este formată din două pentagrame regulate și 10 triunghiuri echilaterale

Configurația vârfului și grupurile de simetrie

Deoarece sunt tranzitive pe vârfuri, aranjamentul vârfurilor corespunde în mod unic unui grup de simetrie^⁠(d).

Diferența dintre grupurile de simetrie prismatică și antiprismatică este că D_ph are vârfurile aliniate în ambele plane, ceea ce îi conferă un plan de reflexie perpendicular pe axa cu p poziții (paralelă cu poligonul {p/q}); în timp ce D_pd are vârfurile răsucite în raport cu celălalt plan, ceea ce îi conferă o reflexie de rotație. Fiecare are p plane de reflexie care conțin axa cu p poziții.

Grupul de simetrie D_ph conține inversiunea față de centru dacă și numai dacă p este par, în timp ce D_pd conține simetria de inversiune dacă și numai dacă p este impar.

Enumerare

Acestea sunt:

• prismele, pentru fiecare număr rațional p/q > 2, cu grupul de simetrie D_ph;
• antiprismele, pentru fiecare număr rațional p/q > 3/2, cu grupul de simetrie D_pd dacă q este impar și D_ph dacă q este par.

Dacă p/q este un număr întreg, adică dacă q = 1, prisma sau antiprisma este convexă. (Fracția se presupune întotdeauna a fi exprimată în numere cât mai mici.)

O antiprismă cu p/q < 2 este retrogradă; figura vârfului seamănă cu un papion. Dacă p/q ≤ 3/2 nu poate exista nicio antiprismă uniformă, deoarece figura vârfului său ar trebui să încalce inegalitatea triunghiului.

Forme după simetrie

Notă: tetraedrul, cubul și octaedrul sunt listate aici cu simetrie diedrală (ca o antiprismă digonală, prismă pătrată și respectiv antiprismă triunghiulară), deși, dacă este colorat în stil uniform, tetraedrul are și simetrie tetraedrică, iar cubul și octaedrul au și simetrie octaedrică.

Grup de simetrie	Convex	Forme stelate
D2d [2+,2] (2*2)	3.3.3
D3h [2,3] (*223)	3.4.4
D3d [2+,3] (2*3)	3.3.3.3
D4h [2,4] (*224)	4.4.4
D4d [2+,4] (2*4)	3.3.3.4
D5h [2,5] (*225)	4.4.5	4.4.5⁄2	3.3.3.5⁄2
D5d [2+,5] (2*5)	3.3.3.5	3.3.3.5⁄3
D6h [2,6] (*226)	4.4.6
D6d [2+,6] (2*6)	3.3.3.6
D7h [2,7] (*227)	4.4.7	4.4.7⁄2	4.4.7⁄3	3.3.3.7⁄2	3.3.3.7⁄4
D7d [2+,7] (2*7)	3.3.3.7	3.3.3.7⁄3
D8h [2,8] (*228)	4.4.8	4.4.8⁄3
D8d [2+,8] (2*8)	3.3.3.8	3.3.3.8⁄3	3.3.3.8⁄5
D9h [2,9] (*229)	4.4.9	4.4.9⁄2	4.4.9⁄4	3.3.3.9⁄2	3.3.3.9⁄4
D9d [2+,9] (2*9)	3.3.3.9	3.3.3.9⁄5
D10h [2,10] (*2.2.10)	4.4.10	4.4.10⁄3
D10d [2+,10] (2*10)	3.3.3.10	3.3.3.10⁄3
D11h [2,11] (*2.2.11)	4.4.11	4.4.11⁄2	4.4.11⁄3	4.4.11⁄4	4.4.11⁄5	3.3.3.11⁄2	3.3.3.11⁄4	3.3.3.11⁄6
D11d [2+,11] (2*11)	3.3.3.11	3.3.3.11⁄3	3.3.3.11⁄5	3.3.3.11⁄7
D12h [2,12] (*2.2.12)	4.4.12	4.4.12⁄5
D12d [2+,12] (2*12)	3.3.3.12	3.3.3.12⁄5	3.3.3.12⁄7
...

Bibliografie

• en Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954). „Uniform polyhedra”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. The Royal Society. 246 (916): 401–450. doi:10.1098/rsta.1954.0003. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. 
• en Cromwell, P.; Polyhedra, CUP, Hbk. 1997, ISBN: 0-521-66432-2. Pbk. (1999), ISBN: 0-521-66405-5. p.175
• en Skilling, John (1976), „Uniform Compounds of Uniform Polyhedra”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 79 (3): 447–457, doi:10.1017/S0305004100052440, MR 0397554 .

Vezi și

• Lista poliedrelor uniforme

Legături externe

• en George W. Hart, Prisms and Antiprisms