Prismatoid

poliedru cu toate vârfurile situate în două plane paralele

În geometrie un prismatoid[1] este un poliedru ale cărui vârfuri se află toate în două plane paralele. Fețele sale laterale pot fi trapeze sau triunghiuri.[2] Dacă ambele plane au același număr de vârfuri, iar fețele laterale sunt fie paralelogramei, fie trapeze, se numește prismoid.[3][4]

Prismatoid cu fețele paralele A1 și A3, secțiune transversală intermediară A2 și înălțimea h

Dacă ariile celor două fețe paralele sunt A1 și A3, aria secțiunii transversale prin prismatoid cu un plan aflat la jumătatea înălțimii (distanța dintre cele două fețe paralele) este A2, iar înălțimea este h, atunci volumul prismatoidului este dat de[5]

 

Această formulă se obține ușor prin integrarea ariei unei suprafețe paralele cu cele două plane care conțin vârfurile prin metoda Simpson⁠(d), deoarece regula este exactă pentru integrarea polinoamelor de grad până la 3, iar în acest caz aria este cel mult o funcție algebrică de gradul al doilea în înălțime.

Familiile de prismatoide

modificare
Piramide Pene Paralelipipede Prisme Antiprisme Cupole Trunchiuri
                 

Familiile de prismatoide cuprind:

  1. paralelipipedele – șase fețe în formă de paralelogram;
  2. paralelipipedele dreptunghice – șase fețe în formă de dreptunghi;
  3. romboedrele – șase fețe în formă de romb;
  4. trapezoedrele trigonale – șase fețe în formă de romb;
  5. trunchiurile patrulatere – piramide pătrate cu apexul trunchiat;
  6. cubul – șase fețe pătrate.

În dimensiuni superioare

modificare
 
Proiecție 3D a unei cupole tetraedrică-cuboctaedrică

În general, un politop este prismatoidal dacă vârfurile sale se află în două hiperplane. De exemplu, în spațiul cvadridimensional, două poliedre pot fi plasate în două spații tridimensionale paralele și conectate prin laturi poliedrice.

  1. ^ prismatoid” la DEX online
  2. ^ en William F. Kern, James R Bland, Solid Mensuration with proofs, 1938, p.75
  3. ^ prismoid” la DEX online
  4. ^ en Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century. The Mathematical Association of America, 2015, ISBN: 9780883853580, pp. 85-89
  5. ^ en B. E. Meserve, R. E. Pingry: Some Notes on the Prismoidal Formula. The Mathematics Teacher, Vol. 45, No. 4 (April 1952), pp. 257-263

Legături externe

modificare