Grafurile celor șase 4-politopuri regulate convexe
{3,3,3} {3,3,4} {4,3,3}
4-simplex t0.svg
5-celule
Pentatop
4-simplex
4-cube t3.svg
16-celule
Ortoplex
4-ortoplex
4-cube t0.svg
8-celule
Tesseract
4-cub
{3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
24-cell t0 F4.svg
24-celule
Octaplex
120-cell graph H4.svg
120-celule
Dodecaplex
600-cell graph H4.svg
600-celule
Tetraplex

În geometrie, un 4-politop este un politop cvadridimensional.[1][2] Este o figură conexă și închisă, compusă din elemente geometrice din dimensiuni inferioare: vârfuri, laturi, fețe (poligoane) și celule (poliedre). Fiecare față aparține la exact două celule.

Analogul bidimensional al unui 4-politop este un poligon, iar analogul tridimensional este un poliedru.

Topologic, 4-politopurile sunt strâns legate de fagurii uniformi, cum ar fi fagurele cubic, care teselează spațiul tridimensional; în mod similar cubul din 3D este legat de pavarea pătrată infinită din 2D. 4-politopurile convexe pot fi „tăiate și desfășurate” ca desfășurata corpurilor tridimensionale.

DefinițieModificare

Un 4-politop este o figură închisă din spațiul cu patru dimensiuni. Elementele sale sunt vârfuririle (punctele din colțuri), laturile, fețele și celulele. O celulă este analogul tridimensional al unei fețe, prin urmare este un poliedru. Fiecare față trebuie să unească exact două celule, analog modului în care fiecare muchie a unui poliedru unește doar două fețe. Ca orice politop, elementele unui 4-politop nu pot fi împărțite în două sau mai multe seturi care sunt, de asemenea, 4-politopuri, adică nu este un compus.

Cel mai familiar 4-politop este tesseractul, analogul 4D al cubului.

VizualizareModificare

Exemple de prezentare a 24-celule
Secțiune Desfășurată
   
Proiecții
Schlegel 2D ortogonal 3D ortogonal
     

4-politopurile nu pot fi văzute în spațiul tridimensional datorită dimensiunii lor suplimentare. Sunt folosite mai multe tehnici pentru a le vizualiza.

Proiecții ortogonale

Proiecțiile ortogonale pot fi folosite pentru a arăta diferite orientări ale simetriilor unui 4-politop. Acestea pot fi proiectate în 2D ca grafuri ale vârfurilor și laturilor și pot fi reperzentate în 3D cu celulele vizibile ale anvelopei convexe.

Proiecții în perspectivă

Așa cum o formă 3D poate fi proiectată în 2D pe o foaie plană, tot așa o formă 4D poate fi proiectată în 3D sau chiar în 2D pe o foaie plană. O proiecție obișnuită este diagrama Schlegel, care folosește proiecția stereografică a punctelor de pe suprafața unei sfere în 3D, conectate prin laturi drepte, fețe și celule trasate în spațiul tridimensional.

Secționări

La fel cum o secțiune printr-un poliedru prezintă suprafața din dreptul secțiunii, tot așa o secțiune printr-un 4-politop este o hipersuprafață în trei dimensiuni. O secvență de astfel de secțiuni poate fi utilizată pentru a înțelege forma generală. Dimensiunea suplimentară poate fi echivalată cu timpul pentru a produce o animație lină a acestor secțiuni transversale.

Desfășurate

Desfășurata unui 4-politop este compusă din celulele poliedrice care sunt conectate prin fețele lor și toate ocupă același spațiu tridimensional, la fel cum fețele poligonale ale unei desfășurate 2D a unui poliedru sunt conectate prin muchiile lor și toate se află în același plan.

Caracteristici topologiceModificare

 
Diagrama Schlegel a tesseractului

Topologia oricărui 4-politop dat este definită de numerele Betti și coeficienții de torsiune.[3]

În dimensiuni superioare caracteristica Euler, utilizată pentru caracterizarea poliedrelor, este zero pentru toate 4-politopurile, indiferent de topologia lor de bază, ca urmare este puțin utilă. Această nefuncționalitate a caracteristicii lui Euler de a distinge între diferite topologii din dimensiuni superioare a dus la descoperirea numerelor Betti, mai sofisticate.[3]

Similar, noțiunea de orientabilitate a unui poliedru este insuficientă pentru a caracteriza răsucirile suprafețelor 4-politopurilor toroidale, fapt care a condus la utilizarea coeficienților de torsiune.[3]

ClasificareModificare

CriteriiModificare

La fel ca toate politopurile, 4-politopurile pot fi clasificate pe baza proprietăților de convexitate și simetrie.

  • Un 4-politop este scaliform dacă este tranzitiv pe vârfuri și are toate laturile de lungime egală. Aceasta permite celule care nu sunt uniforme, cum ar fi poliedrele Johnson cu fețe regulate.
  • Un 4-politop este prismatic dacă este produsul cartezian a două sau mai multor politopuri din dimensiuni inferioare. Un 4-politop prismatic este uniform dacă componentele sale sunt uniforme. Tesseractul este prismatic, fiind produsul a două pătrate, sau al unui cub și al unui segment, dar este considerat separat, deoarece are alte simetrii decât cele moștenite de la componentele sale.
  • O teselare/pavare sau un fagure din spațiul tridimensional sunt divizări tridimensională a spațiului euclidian într-o grilă repetitivă de celule poliedrice. Teselările sunt infinite, nu sunt mărginite de frontiera unui volum 4D și sunt exemple de 4-politopuri infinite. O pavare uniformă tridimensională este una ale cărei vârfuri sunt congruente, legate de un grup spațial și ale cărei celule sunt poliedre uniforme.

ClaseModificare

În lista următoare sunt enumerate diferite categorii de 4-politopuri clasificate în conformitate cu criteriile de mai sus:

 
120-celule trunchiat este unul din cele 47 de 4-politopuri uniforme convexe neprismatice

4-politopuri uniforme (tranzitive pe vârfuri):

  • 4-politopuri uniforme convexe (64, plus două familii infinite)
    • 47 de 4-politopuri uniforme convexe neprismatice, inclusiv:
      • 6 4-politopuri regulate convexe
    • 4-politopuri uniforme prismatice:
      • {} × {p,q}: 18 hiperprisme poliedrice (inclusiv hiperprisma cubică, hipercubul regulat)
      • Prisme construite pe antiprisme (familie infinită)
      • {p} × {q}: Duoprisme (familie infinită)
  • 4-politopuri uniforme neconvexe (10 + necunoscute)
     
    Marele larg 120-celule stelat este cel mai mare din cele 10 4-politopuri regulate, având 600 de vârfuri
    • 10 politopuri Schläfli-Hess (regulate)
    • 57 de hiperprisme construite din poliedre uniforme neconvexe
    • Un număr necunoscut de 4-politopuri uniforme neconvexe: Norman Johnson și alți colaboratori au identificat 1849 de cazuri cunoscute (convexe și stelate), toate construite pe baza figurii vârfului de aplicația Stella4D.[4]

Alte 4-politopuri convexe:

 
Fagurele cubic regulat este singurul 4-politop regulat infinit din spațiul tridimensional euclidian

4-politopuri uniforme infinite din spațiul euclidian tridimensional (teselări uniforme cu celule uniforme convexe)

  • 28 faguri uniformi convecși: teselări poliedrice uniforme convexe, inclusiv:
    • 1 teselare regulată, fagurele cubic: {4,3,4}

4-politopuri uniforme infinite din 3-spațiul hiperbolic (teselări uniforme cu celule uniforme convexe)

  • 76 faguri uniformi conveși în spațiul hiperbolic (Wythoffieni), inclusiv:
    • 4 teselări regulate din 3-spațiul hiperbolic compact: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}

4-politopuri uniforme duale (tranzitive pe celule, izotopice):

  • 41 de 4-politopuri uniforme convexe duale unice
  • 17 prisme poliedrice uniforme convexe duale unice
  • o familie infinită de duoprisme uniforme convexe duale (celule tetraedrice neregulate)
  • 27 de faguri uniformi convecși duali unici, inclusiv:

Altele:

 
11-celule este un 4-politop regulat abstract, existent în planul proiectiv real, poate fi văzut prin prezentarea celor 11 vârfuri hemiicosaedrice și celule indexate și colorate

4-politopuri abstracte regulate:

Aceste categorii includ doar 4-politopurile care prezintă un grad ridicat de simetrie. Sunt posibile multe alte 4-politopuri, dar nu au fost studiate la fel de mult ca cele incluse în aceste categorii.

NoteModificare

  1. ^ en Vialar, T. (). Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance. Springer. p. 674. ISBN 978-3-540-85977-2. 
  2. ^ en Capecchi, V.; Contucci, P.; Buscema, M.; D'Amore, B. (). Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. Springer. p. 598. doi:10.1007/978-90-481-8581-8. ISBN 978-90-481-8580-1. 
  3. ^ a b c en Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.
  4. ^ en Uniform Polychora, Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 cases in 2005

BibliografieModificare

  • en H.S.M. Coxeter:
    • H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins and J. C. P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
    • H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973
  • en Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 [1]
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
  • en J.H. Conway and M.J.T. Guy: Four-Dimensional Archimedean Polytopes, Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen, page 38 und 39, 1965
  • en N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
  • de Marco Möller, Vierdimensionale Archimedische Polytope, 2004 PhD dissertation (Polytope im IR4 (= Polychora))

Legături externeModificare

 v  d  m Politopuri regulate și uniforme convexe fundamentale în dimensiunile 2–10
Familie An Bn I2(p) / Dn E6 / E7 / E8 / F4 / G2 Hn
Poligoane regulate Triunghi Pătrat p-gon Hexagon Pentagon
Poliedre uniforme Tetraedru OctaedruCub Semicub DodecaedruIcosaedru
4-politopuri uniforme 5-celule 16-celuleTesseract Semitesseract 24-celule 120-celule600-celule
5-politopuri uniforme 5-simplex 5-ortoplex5-cub 5-semicub
6-politopuri uniforme 6-simplex 6-ortoplex6-cub 6-semicub 122221
7-politopuri uniforme 7-simplex 7-ortoplex7-cub 7-semicub 132231321
8-politopuri uniforme 8-simplex 8-ortoplex8-cub 8-semicub 142241421
9-politopuri uniforme 9-simplex 9-ortoplex9-cub 9-semicub
10-politopuri uniforme 10-simplex 10-ortoplex10-cub 10-semicub
n-politopuri uniforme n-simplex n-ortoplexn-cub n-semicub 1k22k1k21 n-politop pentagonal
Topicuri: Familii de politopuriPolitop regulat