Compus de cinci tetraedre
Compus de cinci tetraedre | |
Descriere | |
---|---|
Tip | compus poliedric regulat UC04 - UC05 - UC06 |
Fețe | 20 |
Laturi (muchii) | 30 |
Vârfuri | 20 |
Configurația vârfului | 3.3.3[1] |
Configurația feței | V3.3.3 |
Diagramă Coxeter | {5,3}[5{3,3}]{3,5}[2] |
Grup de simetrie |
|
Volum | ≈0,589 a3 (a = latura) |
Poliedru dual | autodual |
Proprietăți | Constituenți: 5 tetraedre |
Figura vârfului | |
În geometrie compusul de cinci tetraedre este unul dintre cei cinci compuși poliedrici regulați. Acest poliedru poate fi considerat fie o stelare a icosaedrului, fie ca un compus. Acest compus a fost descris pentru prima dată de Edmund Hess în 1876.
Poate fi considerat și o fațetare a unui dodecaedru regulat.
Are indicele de compus uniform UC05 și indicele Wenninger 24.
Compusul
modificareEste un compus poliedric din cinci tetraedre și are simetrie icosaedrică chirală (I). Este unul dintre cei cinci compuși regulații construiți din poliedre platonice identice.
Are aceeași configurație a vârfurilor ca și dodecaedrul.
Există două forme enantiomorfe (aceeași figură, dar cu chiralitate opusă) ale acestui poliedru compus. Ambele forme împreună creează reflexia simetrică compus de zece tetraedre.
Are o densitate mai nare decât 1.
Ca pavare sferică |
Model transparent (animație) |
Cinci tetraedre intercalate |
Mărimi asociate
modificareCoordonate carteziene
modificareCoordonatele carteziene ale vârfurilor acestui compus sunt date de:
- ,
plus toate permutările lui:
- .
Volum
modificareUrmătoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:
Ca stelare
modificareCompusul de cinci tetraedre poate fi considerat o stelare a icosaedrului.
Diagrama stelării | Nucleul stelării | Anvelopa convexă |
---|---|---|
Icosaedru |
dodecaedru |
Ca fațetare
modificareEste o fațetare a dodecaedrului, cum se vede din imaginea alăturată.
Teoria grupurilor
modificareCompusul de cinci tetraedre este o ilustrare geometrică a noțiunilor de orbite și stabilizatori(d), după cum urmează.
Grupul de simetrie al compusului este grupul icosaedric de rotație I de ordinul 60, în timp ce stabilizatorul unui singur tetraedru ales este grupul tetraedric de rotație T de ordinul 12, iar spațiul orbitelor I/T (de ordinul 60/12 = 5) este identificat în mod natural cu cele 5 tetraedre – setul gT îi corespunde tetraedrului g.
O proprietate duală neobișnuită
modificareCompusul este unul neobișnuit, prin aceea că dualul său este enantiomorf cu cel inițial. Dacă fețele sunt răsucite la dreapta, atunci vârfurile sunt răsucite la stânga. La dual, fețele devin vârfuri răsucite la dreapta, iar vârfurile devin fețe răsucite la stânga, dând geamănul chiral. Figurile cu această proprietate sunt extrem de rare.
Note
modificareBibliografie
modificare- en Wenninger, Magnus (). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.
- en Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F. (). The Fifty-Nine Icosahedra (ed. 3rd). Tarquin. ISBN 978-1-899618-32-3. MR 0676126. (1st Edn University of Toronto (1938))
- en H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8, 3.6 The five regular compounds, pp.47-50, 6.2 Stellating the Platonic solids, pp.96-104
Vezi și
modificare- Compuși regulați
- Compuși de tetraedre
Legături externe
modificare- Materiale media legate de compus de cinci tetraedre la Wikimedia Commons
- en Eric W. Weisstein, Tetrahedron 5-Compound la MathWorld.
- en Metal Sculpture of Five Tetrahedra Compound
- en VRML model
- en Compounds of 5 and 10 Tetrahedra by Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project.
- en Klitzing, Richard. „3D compound”.
- en Polyhedron Category C1: Compound Regulars: Ki
Selecție din cele 59 de posibile stelări ale icosaedrului | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Regulat | Duale ale uniformelor | Compuși regulați | Stelare regulată | Altele | |||||
Icosaedru (convex) |
Micul icosaedru triambic | Marele icosaedru triambic | Compus de cinci octaedre |
Compus de cinci tetraedre |
Compus de zece tetraedre |
Marele icosaedru | Dodecaedru excavat | Stelarea finală | |
Procesul de stelare al icosaedrului creează un număr de poliedre și compuși înrudiți, cu simetrie icosaedrică. |