Compus de cinci tetraedre

compus poliedric regulat
Compus de cinci tetraedre
Descriere
Tipcompus poliedric regulat
UC04 - UC05 - UC06
Fețe20
Laturi (muchii)30
Vârfuri20
Configurația vârfului3.3.3[1]
Configurația fețeiV3.3.3
Diagramă Coxeter{5,3}[5{3,3}]{3,5}[2]
Grup de simetrie
Volum≈0,589 a3   (a = latura)
Poliedru dualautodual
ProprietățiConstituenți: 5 tetraedre
Figura vârfului

În geometrie compusul de cinci tetraedre este unul dintre cei cinci compuși poliedrici regulați. Acest poliedru poate fi considerat fie o stelare a icosaedrului, fie ca un compus. Acest compus a fost descris pentru prima dată de Edmund Hess în 1876.

Poate fi considerat și o fațetare a unui dodecaedru regulat.

Are indicele de compus uniform UC05 și indicele Wenninger 24.

Compusul

modificare

Este un compus poliedric din cinci tetraedre și are simetrie icosaedrică chirală (I). Este unul dintre cei cinci compuși regulații construiți din poliedre platonice identice.

Are aceeași configurație a vârfurilor ca și dodecaedrul.

Există două forme enantiomorfe (aceeași figură, dar cu chiralitate opusă) ale acestui poliedru compus. Ambele forme împreună creează reflexia simetrică compus de zece tetraedre.

Are o densitate mai nare decât 1.

 
Ca pavare sferică
 
Model transparent
(animație)
 
Cinci tetraedre intercalate

Mărimi asociate

modificare

Coordonate carteziene

modificare

Coordonatele carteziene ale vârfurilor acestui compus sunt date de:

 ,

plus toate permutările lui:

 .

Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

 

Ca stelare

modificare

Compusul de cinci tetraedre poate fi considerat o stelare a icosaedrului.

Diagrama stelării Nucleul stelării Anvelopa convexă
   
Icosaedru
 
dodecaedru
 
Compusul de cinci tetraedre în dodecaedru

Ca fațetare

modificare

Este o fațetare a dodecaedrului, cum se vede din imaginea alăturată.

Teoria grupurilor

modificare

Compusul de cinci tetraedre este o ilustrare geometrică a noțiunilor de orbite și stabilizatori⁠(d), după cum urmează.

Grupul de simetrie al compusului este grupul icosaedric de rotație I de ordinul 60, în timp ce stabilizatorul unui singur tetraedru ales este grupul tetraedric de rotație T de ordinul 12, iar spațiul orbitelor I/T (de ordinul 60/12 = 5) este identificat în mod natural cu cele 5 tetraedre – setul gT îi corespunde tetraedrului g.

O proprietate duală neobișnuită

modificare
 
Compus de cinci tetraedre

Compusul este unul neobișnuit, prin aceea că dualul său este enantiomorf cu cel inițial. Dacă fețele sunt răsucite la dreapta, atunci vârfurile sunt răsucite la stânga. La dual, fețele devin vârfuri răsucite la dreapta, iar vârfurile devin fețe răsucite la stânga, dând geamănul chiral. Figurile cu această proprietate sunt extrem de rare.

  1. ^ ki, bendwavy.org, accesat 2023-08-18
  2. ^ Coxeter, Regular polytopes, p. 50

Bibliografie

modificare
  • en Wenninger, Magnus (). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. 
  • en Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F. (). The Fifty-Nine Icosahedra (ed. 3rd). Tarquin. ISBN 978-1-899618-32-3. MR 0676126.  (1st Edn University of Toronto (1938))
  • en H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8, 3.6 The five regular compounds, pp.47-50, 6.2 Stellating the Platonic solids, pp.96-104

Vezi și

modificare
Compuși regulați
Compuși de tetraedre

Legături externe

modificare
Selecție din cele 59 de posibile stelări ale icosaedrului
Regulat Duale ale uniformelor Compuși regulați Stelare regulată Altele
Icosaedru
(convex)
Micul icosaedru triambic Marele icosaedru triambic Compus
de cinci octaedre
Compus
de cinci tetraedre
Compus
de zece tetraedre
Marele icosaedru Dodecaedru excavat Stelarea
finală
                 
                 
Procesul de stelare al icosaedrului creează un număr de poliedre și compuși înrudiți, cu simetrie icosaedrică.