Compus de două tetraedre

Compus de două tetraedre
Pereche de două tetraedre duale
Descriere
Tip	compus poliedric regulat UC03 - UC04 - UC05
Fețe	8 triunghiuri
Laturi (muchii)	12
Vârfuri	8
Configurația vârfului	3.3.3
Configurația feței	V3.3.3
Diagramă Coxeter	{4,3}[2{3,3}]{3,4}
Grup de simetrie	Compus: Oh, [4,3], ordin 48 D4h, [4,2], ordinul 16 D2h, [2,2], ordinul 8 D3d, [2+,6], ordinul 12 Constituenți: T
Volum	≈0,236 a3   (a = latura)
Poliedru dual	autodual
Proprietăți	Constituenți: 2 tetraedre
Figura vârfului

În geometrie compusul de două tetraedre este unul dintre cei cinci compuși poliedrici regulați. Acest poliedru poate fi considerat fie o stelare a octaedrului, fie ca un compus. De obicei el este format din două tetraedre regulate.

Are indicele de compus uniform UC₀₄ și indicele Wenninger 19.

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor acestui compus sunt date de toate permutările lui

$(\,\pm {\sqrt {2}},\,\pm 1,\,0\,).$

Volum

Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

$V={\frac {\sqrt {2}}{6}}\,a^{3}\approx 0,235702~a^{3}.$

Octaedru stelat

Articol principal: Octaedru stelat.

Acesta este singurul compus poliedric uniform, octaedrul stelat, care are simetrie octaedrică, ordinul 48. Are ca nucleu un octaedru regulat și are în comun aceleași 8 vârfuri cu cubul.

Dacă intersecțiile laturilor ar fi tratate ca vârfuri propriu-zise, compusul ar avea o topologie a suprafeței identică cu cea a dodecaedrului rombic; dacă intersecțiile fețelor ar fi considerate laturi propriu-zise, forma ar fi un octaedru triakis neconvex.

Un tetraedru și dualul său

Intersecția ambelor poliedre este un octaedru, iar anvelopa lor convexă este un cub.

Proiecții ortogonale după diferite axe de simetrie

Dacă intersecțiile laturilor ar fi vârfuri, aplicarea pe o sferă ar fi aceeași cu cea a unui dodecaedru rombic

Construcții cu simetrie inferioară

Există variante cu simetrie inferioară, bazate pe formele de simetrie inferioară ale tetraedrului.

• O fațetare a unui cuboid dreptunghiular, creând compuși de doi bisfenoizi tetragonali sau rombici, cu o bipiramidă sau nuclee în formă de trunchiuri de piramidă rombice. Acesta este primul din setul de compuși de două antiprisme.
• O fațetare a unui trapezoedru trigonal creează un compus din două piramide triunghiulare drepte cu un nucleu în formă de antiprismă triunghiulară. Acesta este primul din setul de compuși de două piramide poziționate una față de cealalală simetric față de centru.

Exemple

D4h, [4,2], order 16	C4v, [4], order 8	D3d, [2+,6], order 12
Compus de doi bisfenoizi tetragonali într-o prismă pătrată ß{2,4} sau	Compus de doi bisfenoizi digonali	Compus de două piramide triunghiulare drepte într-un trapezoedru trigonal

Alți compuși

Dacă două tetraedre regulate au aceeași orientare pe o axă cu trei poziții, se obține un compus diferit, cu simetria D_3h, [3,2], ordinul 12.

Alte orientări pot fi alese ca 2 tetraedre din compușii de cinci tetraedre și zece tetraedre, acesta din urmă poate fi văzut ca o piramidă hexagramică:

Bibliografie

• en Cundy, H. and Rollett, A. "Five Tetrahedra in a Dodecahedron". §3.10.8 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 139-141, 1989.
• en H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, Methuen & Co. LTD, 1948.

Vezi și

• Lista compușilor poliedrici uniformi

Compuși regulați

• Compus de cinci tetraedre
• Compus de zece tetraedre
• Compus de cinci cuburi
• Compus de cinci octaedre

Compuși de tetraedre

• Compus de trei tetraedre
• Compus de patru tetraedre
• Compus de cinci tetraedre
• Compus de șase tetraedre
• Compus de șase tetraedre cu libertate de rotație
• Compus de zece tetraedre
• Compus de douăsprezece tetraedre cu libertate de rotație

Legături externe

• en Eric W. Weisstein, Compound of two tetrahedra la MathWorld.
• en Compounds of Polyhedra: model VRML
• en Polyhedron Category C1: Compound Regulars: So