Octaedru stelat

Octaedru stelat
Compound of two tetrahedra.png
Văzut drept compus de două tetraedre
(roșu și galben)
Descriere
TipCompus poliedric
Fețe8 {3} 2-simplex t0.svg
Laturi (muchii)12
Vârfuri8
χ2
Configurația vârfului3.3.3
Configurația fețeiV3.3.3
Simbol Schläfli{{3,3}}
a{4,3}
ß{2,4}
ßr{2,2}
Diagramă CoxeterCDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h3.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node h3.pngCDel 2x.pngCDel node h3.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node h3.pngCDel 2x.pngCDel node h3.pngCDel 2x.pngCDel node h3.png
Grup de simetrieOh, [4,3], ordin 48
D4h, [4,2], ordinul 16
D2h, [2,2], ordinul 8
D3d, [2+,6], ordinul 12
Poliedru dualautodual
ProprietățiPoliedru stelat, tranzitiv pe vârfuri, laturi și fețe
Figura vârfului
2-simplex t0.svg
Desfășurată
Sterntetraedernetz.svg

Octaedrul stelat este singura stelare a octaedrului. Este numit și stella octangula (în română stea cu opt colțuri), un nume dat de Johannes Kepler în 1609, deși era cunoscut de geometri de mai mult timp. A fost descris în 1509 de Luca Pacioli în De Divina Proportione.[1]

Este cel mai simplu dintre cei cinci compuși poliedrici și singurul compus de două tetraedre regulat. Este, de asemenea, cel mai puțin dens dintre compușii poliedrici obișnuiți, având densitatea 2.

Poate fi văzut ca o extensie tridimensională a hexagramei. Hexagrama este o formă bidimensională formată din două triunghiuri echilaterale suprapuse, cu simetrie față de centru între ele. În același mod octaedrul stelat poate fi format din două tetraedre suprapuse cu simetrie față de centru. Acest lucru poate fi generalizat la orice construcție din dimensiuni superioare: construcția echivalentă în patru dimensiuni este compus de două 5-celule. Poate fi văzut și ca una dintre etapele în construcția unui fulg de zăpadă Koch, o formă fractală formată prin atașarea repetată a tetraedrelor mai mici la fiecare față triunghiulară a unei figuri mai mari. Prima etapă a construcției fulgului de zăpadă Koch este un singur tetraedru central, iar a doua etapă, formată prin adăugarea a patru tetraedre mai mici pe fețele tetraedrului central, este octaedrul stelat.

Notațiile Coxeter sunt: {4,3}, [2{3,3}] sau {3,4}, în funcție de cum este perceput compusul.[2]

ConstrucțieModificare

Coordonatele carteziene ale octaedrului stelat sunt următoarele: (±1/2, ±1/2, 0), (0, 0, ±1/√2), (±1, 0, ±1/√2), (0, ±1, ±1/√2).

Octaedrul stelat poate fi construit în mai multe feluri:

  • Prin stelarea octaedrului regulat, pe fețele sale. În clasificarea Wenninger este poliedrul W19.
 
În perspectivă
 
Planul stelării
Singura stelare posibilă a unui octaedru regulat, cu un plan al stelării în galben.
   
Fațetarea cubului
O fațetă triunghiulară diagonală colorată roșu

Concepte conexeModificare

   
Octaedrul stelat este prima stelare a analogului tridimensional al unui fulg de zăpadă Koch
La o pavare sferică, laturile compusului de două tetraedre formează un dodecaedru rombic

Se poate construi un compus de două tetraedre sferice ca în imaginea alăturată.

Cele două tetraedre ale vederii compuse a octaedrului stelat sunt „desmice”, ceea ce înseamnă că (atunci când este interpretat ca o dreaptă din spațiul proiectiv) fiecare latură a unui tetraedru intersectează două laturi opuse ale celuilalt tetraedru. Una dintre aceste două intersectări este vizibilă în octaedrul stelat; cealaltă intersectare are loc într-un punct de la infinit al spațiului proiectiv, între două laturi paralele ale celor două tetraedre. Aceste două tetraedre pot fi completate într-un sistem desmic de trei tetraedre, unde cele patru vârfuri ale celui de al treilea tetraedru sunt cele trei puncte de la infinit și centrul celor două tetraedre finite. Aceste douăsprezece vârfuri ale tetraedrelor formează punctele configurației Reye.

În cultura popularăModificare

Octaedrul stelat apare împreună cu alte poliedre și compuși poliedrici în lucrarea "Stars" de M. C. Escher[3] și este forma reprezentativă în Double Planetoid (1949) de Escher.[4]

Imagini din diferite unghiuriModificare

NoteModificare

  1. ^ en Barnes, John (), „Shapes and Solids”, Gems of Geometry, Springer, pp. 25–56, doi:10.1007/978-3-642-05092-3_2, ISBN 978-3-642-05091-6 .
  2. ^ en H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8, 3.6 The five regular compounds, pp.47-50, 6.2 Stellating the Platonic solids, pp.96-104
  3. ^ en Hart, George W. (), „The Polyhedra of M.C. Escher”, Virtual Polyhedra 
  4. ^ en Coxeter, H. S. M. (), „A special book review: M. C. Escher: His life and complete graphic work”, The Mathematical Intelligencer, 7 (1): 59–69, doi:10.1007/BF03023010 

Vezi șiModificare

Legături externeModificare