Fațetare

În geometrie fațetarea este un procedeu de creare a unui poligon, poliedru sau politop nou prin îndepărtarea unor părți din el, fără a crea vreun vârf nou.

Noile laturi (muchii) ale unui poliedru fațetat pot fi create de-a lungul diagonalelor fețelor sau diagonalelor spațiale interioare. Un poliedru fațetat va avea două fețe adiacente fiecărei laturi și creează noi poliedre sau compuși de poliedre.

Fațetarea este procesul dual al stelării. Pentru fiecare stelare a unui politop convex, există o fațetare (duala stelării) a politopului dual.

Poligoane fațetate

De exemplu, un pentagon regulat are o fațetare simetrică, pentagrama, iar hexagonul regulat are două fațetări simetrice, una ca poligon și una ca un compus din două triunghiuri.

Pentagon	Hexagon		Decagon

Pentagramă {5/2}	Hexagon stelat	Compus 2{3}	Decagramă {10/3}	Compus 2{5}	Compus 2{5/2}	Decagon stelat

Poliedre fațetate

Icosaedrul regulat poate fi fațetat în trei poliedre Kepler–Poinsot: micul dodecaedru stelat, marele dodecaedru și marele icosaedru. Toate au câte 30 de laturi.

Convex	Stelate regulate
icosaedru	marele dodecaedru	micul dodecaedru stelat	marele icosaedru

Dodecaedrul regulat poate fi fațetat într-un poliedru Kepler–Poinsot regulat, trei poliedre stelate uniforme și trei compuși poliedrici regulați. Poliedrele stelate uniforme și compusul de cinci cuburi sunt construite cu diagonalele fețelor. Dodecaedrul excavat este o fațetare cu fețe hexagonale stelate.

Convex	Stelat regulat	Stelat uniform			Tranzitiv pe vârfuri
Dodecaedru	Marele dodecaedru stelat	Micul icosidodecaedru ditrigonal	Dodecadodecaedrul ditrigonal	Marele icosidodecaedru ditrigonal	Dodecaedrul excavat

Convex	Compus regulat
Dodecaedru	Cinci tetraedre	Cinci cuburi	Zece tetraedre

Istoric

Fațetări ale icosaedrului regulat (care dă forma marelui dodecaedru) și dodecaedrului pentakis în cartea lui Jamnitzer

Fațetarea nu a fost studiată la fel de amănunțit ca stelarea.

În 1568 Wenzel Jamnitzer a publicat cartea sa Perspectiva Corporum Regularium, arătând multe stelări și fațetări ale poliedrelor.^[1]
În 1619 Kepler a descris un compus regulat din două tetraedre plasate într-un cub, compus pe care l-a numit Stella octangula.
În 1858 Bertrand a obținut două poliedre stelate (poliedre Kepler–Poinsot) prin fațetarea icosaedrului și dodecaedrului.
În 1974 Bridge a enumerat cele mai multe fațetări directe ale poliedrelor regulate, inclusiv cele ale dodecaedrului.
În 2006, Inchbald a descris teoria de bază a diagramelor de fațetare pentru poliedre. Pentru un vârf dat, o asemenea diagramă arată toate laturile și fațetele (noile fețe) posibile care pot fi utilizate pentru a forma fațete ale corpului inițial. Este duala diagramei de stelare a poliedrului dual, care arată toate laturile și vârfurile posibile pentru un plan al feței corpului inițial.

Note

^ en Mathematical Treasure: Wenzel Jamnitzer's Platonic Solids Arhivat în 5 octombrie 2021, la Wayback Machine. by Frank J. Swetz (2013): "In this study of the five Platonic solids, Jamnitzer truncated, stellated, and faceted the regular solids [...]"

Bibliografie

en Bertrand, J. Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46 (1858), pp. 79–82.
en Bridge, N.J. Facetting the dodecahedron, Acta crystallographica A30 (1974), pp. 548–552.
en Inchbald, G. Facetting diagrams, The mathematical gazette, 90 (2006), pp. 253–261.
en Alan Holden, Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover, 1991. p.94

Legături externe

Portal Matematică

en Eric W. Weisstein, Faceting la MathWorld.
en George Olshevsky. „Faceting”. Glossary for Hyperspace. Arhivat din original la 4 februarie 2007.

[1] Mathematical Treasure: Wenzel Jamnitzer's Platonic Solids Arhivat în 5 octombrie 2021, la Wayback Machine. by Frank J. Swetz (2013): "In this study of the five Platonic solids, Jamnitzer truncated, stellated, and faceted the regular solids [...]"

[1]