Pavare pătrată snub

Descriere
Pavare pătrată snub

Tip	pavare semiregulată
Configurația vârfului	3.3.4.3.4
Simbol Wythoff	\| 4 4 2
Simbol Schläfli	$s$ {4,4} $sr$ {4,4} sau $s{\begin{Bmatrix}4\\4\end{Bmatrix}}$
Diagramă Coxeter	sau
Grup de simetrie	p4g, [4⁺,4], (4*2)
Grup de rotație	p4 [4,4]⁺, (442)
Poliedru dual	pavare pentagonală Cairo
Proprietăți	tranzitivă pe vârfuri
Figura vârfului

În geometrie o pavare pătrată snub este o pavare semiregulată a planului euclidian. În fiecare vârf se întâlnesc câte trei triunghiuri și două pătrate. Simbolul său Schläfli este $s$ {4,4}.

Colorare uniformă

Există două colorări uniforme distincte ale unei pavări pătrate snub. (Identificarea culorilor în jurul unui vârf se face cu indici în ordinea (3.3.4.3.4): 11212, 11213.)

Colorare	11212	11213
Simetrie	4*2, [4⁺,4], (p4g)	442, [4,4]⁺, (p4)
Simbol Schläfli	s{4,4}	sr{4,4}
Simbol Wythoff		\| 4 4 2
Diagramă Coxeter

Împachetarea cercurilor

Pavarea pătrată snub poate fi folosită pentru împachetarea cercurilor, plasând cercuri cu diametru egal cu centrul în fiecare vârf. Fiecare cerc este în contact cu alte 5 cercuri din pachet (număr de contacte^⁠(d)).^[1]

Construcția Wythoff

Pavarea pătrată snub poate fi construită din pavarea pătrată cu ajutorul operației snub sau din pavarea pătrată trunchiată prin trunchiere alternată.

O trunchiere alternată șterge alternativ vârfurile inițiale, creând noi fețe triunghiulare la vârfurile eliminate și reduce numărul laturilor fețelor inițiale la jumătate. În acest caz, pornind de la o pavare pătrată trunchiată cu 2 octogoane și 1 pătrat pe vârf, octogoanele se transformă în pătrate, pătratele inițiale degenerează în laturi, iar 2 noi triunghiuri apar la vârfurile trunchiate din jurul pătratului inițial.

Dacă pavarea inițială are fețe regulate, noile triunghiuri vor fi isoscele. Dacă octogoanele inițiale au lungimile laturilor alternativ lungi și scurte, derivate dintr-un dodecagon regulat, va rezulta o pavare snub cu fețe triunghiulare echilaterale perfecte.

Exemple:

Octogoane regulate trunchiate alternat	→ (Trunchiere alternată)	Triunghiuri isoscele (pavare neuniformă)
Octogoane neregulate trunchiate alternat	→ (Trunchiere alternată)	Triunghiuri echilaterale

Pavări înrudite

Operatorul snub aplicat de două ori pavării pătrate produce o pavare formată din pătrate, triunghiuri neregulate și pentagoane
O pavare izogonală înrudită care combină perechi de triunghiuri în romburi.
O pavare 2-izogonală poate fi realizată prin combinarea a 2 pătrate și 3 triunghiuri în heptagoane
Pavare pentagonală Cairo, duală pavării pătrate snub.

Pavări k-uniforme înrudite

Pavarea pătrată snub este legată de pavarea triunghiulară alungită care are și ea 3 triunghiuri și 2 pătrate la un vârf, dar într-o ordine diferită, 3.3.3.4.4. Cele două figuri ale vârfului pot fi amestecate în multe pavări k-uniforme.^[2]^[3]

Pavări înrudite cu triunghiuri și pătrate
pătrată snub	triunghiulară alungită	2-uniforme		3-uniforme
p4g, (4*2)	p2, (2222)	p2, (2222)	cmm, (2*22)	p2, (2222)
[3²434]	[3³4²]	[3³4²; 3²434]	[3³4²; 3²434]	[2: 3³4²; 3²434]	[3³4²; 2: 3²434]

Serii topologice înrudite de poliedre și pavări

Pavarea pătrată snub este a treia dintr-o serie de poliedre și pavări snub figura vârfului 3.3.4.3.n.

Variante de pavări snub cu simetrie 4n2: 3.3.4.3.n
Simetrie 4n2	Sferică		Euclidiană	Hiperbolice compacte				Paracomp.
Simetrie 4n2	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Figuri snub
Config.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Figuri giro
Config.	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

Pavarea pătrată snub este a treia dintr-o serie de poliedre și pavări snub figura vârfului 3.3.n.3.n.

Variante de pavări snub cu simetrie 4n2: 3.3.n.3.n
Simetrie 4n2	Sferică		Euclidiană	Hiperbolice compacte				Paracomp.
Simetrie 4n2	222	322	442	552	662	772	882	∞∞2
Figuri snub
Config.	3.3.2.3.2	3.3.3.3.3	3.3.4.3.4	3.3.5.3.5	3.3.6.3.6	3.3.7.3.7	3.3.8.3.8	3.3.∞.3.∞
Figuri giro
Config.	V3.3.2.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.5.3.5	V3.3.6.3.6	V3.3.7.3.7	V3.3.8.3.8	V3.3.∞.3.∞

Pavări uniforme cu simetria pavării părate
Simetrie: [4,4], (*442)							[4,4]⁺, (442)	[4,4⁺], (4*2)


{4,4}	t{4,4}	r{4,4}	t{4,4}	{4,4}	rr{4,4}	tr{4,4}	sr{4,4}	s{4,4}
Duale uniforme


V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.4.4.4	V4.8.8	V3.3.4.3.4

Note

^ en Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, p. 74–75, circle pattern C
^ en Chavey, D. (1989). „Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings”. Computers & Mathematics with Applications. 17: 147–165. doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9  .
^ en „Uniform Tilings”. Arhivat din original la 9 septembrie 2006. Accesat în 9 septembrie 2006.

Bibliografie

en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1]
en Klitzing, Richard. „2D Euclidean tilings s4s4s - snasquat - O10”.
en Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns . New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
en Williams, Robert (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN: 0-486-23729-X, p. 38
en Dale Seymour, Jill Britton, Introduction to Tessellations, 1989, ISBN: 978-0866514613, pp. 50–56, dual p. 115

Legături externe

Portal Matematică

Materiale media legate de pavare pătrată snub la Wikimedia Commons
en Eric W. Weisstein, Semiregular tessellation la MathWorld.

[Critchlow-1] Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, p. 74–75, circle pattern C

[2] Chavey, D. (1989). „Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings”. Computers & Mathematics with Applications. 17: 147–165. doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9  .

[3] „Uniform Tilings”. Arhivat din original la 9 septembrie 2006. Accesat în 9 septembrie 2006.

[1]

[2]

[3]