Marele dirombicosidodecaedru

Marele dirombicosidodecaedru
Descriere
Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	124
Laturi (muchii)	240
Vârfuri	60
χ	−56
Configurația vârfului	(35)/2
Simbol Wythoff	| 3/2 5/3 3 5/2
Simbol Schläfli	{3,5⁄2}
Grup de simetrie	Ih, [5,3], *532
Grup de rotație	I, [5,3]+, (532)
Poliedru dual	Marele dirombicosidodecacron
Proprietăți	uniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie marele dirombicosidodecaedru (sau marele disicosidisdodecaedru snub) este un poliedru uniform neconvex, indexat ca U₇₅. Are 124 de fețe (40 de triunghiuri, 60 de pătrate și 24 de pentagrame), 240 de laturi și 60 de vârfuri. Având 124 de fețe este un hecatoicositetraedru neconvex. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă laturi sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Acesta este singurul poliedru uniform nedegenerat cu mai mult de șase fețe care se întâlnesc într-un vârf. Fiecare vârf are 4 pătrate care trec prin axa centrală a vârfurilor (și astfel prin centrul figurii), alternând cu două triunghiuri și două pentagrame. O altă caracteristică neobișnuită este că fețele apar toate în perechi coplanare.

De asemenea, acesta este singurul poliedru uniform care nu poate fi realizat prin construcția Wythoff dintr-un triunghi sferic. Are un simbol Wythoff special, | 3/2 5/3 3 5/2, legat de un patrulater sferic. Acest simbol sugerează că este un fel de poliedru snub, cu excepția faptului că, în loc ca fețele care nu sunt snub să fie înconjurate de triunghiuri snub, ca în majoritatea poliedrelor snub, ele sunt înconjurate de pătrate snub.

A fost supranumit „monstrul lui Miller” (după J. C. P. Miller, care împreună cu H. S. M. Coxeter și Michael S. Longuet-Higgins au enumerat poliedrele uniforme în 1954).

Poliedre înrudite

Dacă definiția unui poliedru uniform este relaxată pentru a permite orice număr par de fețe adiacente unei laturi, atunci această definiție dă naștere unui alt poliedru: marele dirombidodecaedru disnub care are aceleași vârfuri și laturi, dar cu o altă aranjare a fețelor triunghiulare.

De asemenea, vârfurile și laturile sunt comune cu cele ale compușilor uniformi de 20 de octaedre sau 20 de tetrahemihexaedre. 180 din cele 240 de laturi sunt în comun cu cale ale marelui dodecicosidodecaedru snub.

Anvelopa convexă	Marele dodecicosidodecaedru snub	Marele dirombicosidodecaedru
Marele dirombidodecaedru disnub	Compus de douăzeci de octaedre	Compus de douăzeci de tetrahemihexaedre

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor marelui dirombicosidodecaedru sunt permutările pare ale

$\left(0,\pm {\frac {2}{\varphi }},\pm {\frac {2}{\sqrt {\varphi }}}\right),\left(\pm \left(-1+{\frac {1}{\sqrt {\varphi ^{3}}}}\right),\pm \left({\frac {1}{\varphi ^{2}}}-{\frac {1}{\sqrt {\varphi }}}\right),\pm \left({\frac {1}{\varphi }}+{\sqrt {\varphi }}\right)\right),$

$\left(\pm \left({\frac {-1}{\varphi }}+{\sqrt {\varphi }}\right),\pm \left(-1-{\frac {1}{\sqrt {\varphi ^{3}}}}\right),\pm \left({\frac {1}{\varphi ^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {\varphi }}}\right)\right),$

unde $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ este secțiunea de aur. Rezultă o lungime a laturilor de $2{\sqrt {2}}.$

Raza sferei circumscrise

Raza sferei circumscrise pentru lungimea laturii egală cu a este:

$R={\frac {\sqrt {2}}{2}}\,a\approx 0,707107\,a$

Imagini

Colorare tradițională

Colorare modulo 2

Vedere din interior, colorată modulo 2

Bibliografie

• en Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954), „Uniform polyhedra”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 246: 401–450, doi:10.1098/rsta.1954.0003, ISSN 0080-4614, JSTOR 91532, MR 0062446 
• en Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. OCLC 1738087. 
• en Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra. Arhivat în 2 ianuarie 2004, la Wayback Machine., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El Arhivat în 30 septembrie 2011, la Wayback Machine., Kaleido software Arhivat în 27 septembrie 2011, la Wayback Machine., Images, dual images
• en Mäder, R. E. Uniform Polyhedra. Mathematica J. 3, 48-57, 1993.

Vezi și

• Lista poliedrelor uniforme

Legături externe

• en http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/75.html
• en http://www.software3d.com/MillersMonster.php

• en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: gidrid