Wikipedia

Pavare apeirogonală de ordinul 3

Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol.
Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor.
Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici.
Pavare apeirogonala
de ordinul 3
Pe modelul discului Poincaré al planului hiperbolic
Descriere
Tippavare uniformă hiperbolică
Configurația vârfului∞3
Configurația fețeiV3∞
Simbol Wythoff3 | ∞ 2
2 ∞ | ∞
∞ ∞ ∞ |
Simbol Schläfli{∞,3}
t{∞,∞}
t(∞,∞,∞)
Diagramă Coxeter

Grup de simetrie[∞,3], (*∞32)
[∞,∞], (*∞∞2)
[(∞,∞,∞)], (*∞∞∞)
Grup de rotație[∞,3]+, (∞32)
[∞,∞]+, (∞∞2)
[(∞,∞,∞)]+, (∞∞∞)
Poliedru dualpavare triunghiulară de ordin infinit
Proprietățitranzitivă pe vârfuri, laturi și fețe

În geometrie pavarea apeirogonală de ordinul 3 este o pavare regulată a planului hiperbolic. Este reprezentată de simbolul Schläfli {∞,3}, având trei apeirogoane în jurul fiecărui vârf. Fiecare apeirogon este înscris într-un oriciclu.

Pavarea apeirogonală de ordinul 2 reprezintă un diedru infinit în planul euclidian ca {∞,2}.

Cercul circumscris apeirogonului

modificare
 

Fiecare față apeirogonală este circumscrisă de un oriciclu, care arată ca un cerc în modelul discului Poincaré, tangent intern la frontiera cercului proiectiv (de la infinit).

Colorări uniforme

modificare

La fel ca la pavările planului euclidian, există 3 colorări uniforme ale pavării apeirogonale de ordinul 3, fiecare pentru domenii de reflexie diferite ale grupului triunghiului⁠(d):

Regulată Trunchiate
 
{∞,3}
      		 
t0,1{∞,∞}
      		 
t1,2{∞,∞}
      		 
t{∞[3]}
    
Grupului triunghiului hiperbolic
 
[∞,3] 		 
[∞,∞] 		 
[(∞,∞,∞)]

Simetrie

modificare
 
Duala: pavare triunghiulară de ordin infinit

Dualul acestei pavări reprezintă domeniile fundamentale ale simetriei [(∞,∞,∞)] (*∞∞∞). Există 15 subgrupuri de indici mici (7 unice) construite din [(∞,∞,∞)] prin îndepărtarea planelor de oglindire și alternare. Planele de oglindire pot fi eliminate dacă ordinul ramurilor sale este par și se reduce ordinul ramurilor învecinate la jumătate. Îndepărtarea a două plane de oglindire lasă un punct de rotație de ordin pe jumătate unde planele de oglindire îndepărtate se întâlnesc. În aceste imagini domeniile fundamentale sunt colorate alternativ alb-negru, iar planele de oglindire sunt situate la limitele dintre culori. Simetria poate fi dublată ca simetrie ∞∞2 prin adăugarea unui plan de oglindire care împarte în două domeniul fundamental. Împărțirea unui domeniu fundamental de către 3 plane de oglindire creează o simetrie ∞32.

Se construiește un subgrup mai mare [(∞,∞,∞*)], de indice 8, deoarece (∞*∞∞) cu punctele de rotație eliminate devine (*∞∞).

Poliedre și pavări înrudite

modificare

Această pavare este legată topologic ca parte a secvenței de poliedre regulate cu simbolul Schläfli {n,3}.

Variante de pavări regulate cu simetria *n62: {6,n}
Sferică Euclidiană Pavări hiperbolice
 
{6,2} 		 
{6,3} 		 
{6,4} 		 
{6,5} 		 
{6,6} 		 
{6,7} 		 
{6,8} 		...  
{6,∞}
Pavări uniforme paracompacte din familia [∞,3]
Simetrie: [∞,3], (*∞32) [∞,3]+
(∞32) 		[1+,∞,3]
(*∞33) 		[∞,3+]
(3*∞)
                                                                 
     
=      		     
=      		     
=      		            =
     or      		      =
     or      		     
=     
                   
{∞,3} t{∞,3} r{∞,3} t{3,∞} {3,∞} rr{∞,3} tr{∞,3} sr{∞,3} h{∞,3} h2{∞,3} s{3,∞}
Duale uniforme
                                                           
                 
V∞3 V3.∞.∞ V(3.∞)2 V6.6.∞ V3∞ V4.3.4.∞ V4.6.∞ V3.3.3.3.∞ V(3.∞)3 V3.3.3.3.3.∞
Pavări uniforme paracompacte din familia [∞,∞]
     
=      
=      		     
=      
=      		     
=      
=      		     
=      
=      		     
=      
=      		     
=       		     
=      
             
{∞,∞} t{∞,∞} r{∞,∞} 2t{∞,∞}=t{∞,∞} 2r{∞,∞}={∞,∞} rr{∞,∞} tr{∞,∞}
Pavări duale
                                         
             
V∞∞ V∞.∞.∞ V(∞.∞)2 V∞.∞.∞ V∞∞ V4.∞.4.∞ V4.4.∞
Alternări
[1+,∞,∞]
(*∞∞2) 		[∞+,∞]
(∞*∞) 		[∞,1+,∞]
(*∞∞∞∞) 		[∞,∞+]
(∞*∞) 		[∞,∞,1+]
(*∞∞2) 		[(∞,∞,2+)]
(2*∞∞) 		[∞,∞]+
(2∞∞)
                                         
           
h{∞,∞} s{∞,∞} hr{∞,∞} s{∞,∞} h2{∞,∞} hrr{∞,∞} sr{∞,∞}
Duale alternate
                                         
       
V(∞.∞)∞ V(3.∞)3 V(∞.4)4 V(3.∞)3 V∞∞ V(4.∞.4)2 V3.3.∞.3.∞
Pavări uniforme paracompacte din familia [∞,∞,∞]
                                  
                                         
             
(∞,∞,∞)
h{∞,∞} 		r(∞,∞,∞)
h2{∞,∞} 		(∞,∞,∞)
h{∞,∞} 		r(∞,∞,∞)
h2{∞,∞} 		(∞,∞,∞)
h{∞,∞} 		r(∞,∞,∞)
r{∞,∞} 		t(∞,∞,∞)
t{∞,∞}
Pavări duale
             
V∞∞ V∞.∞.∞.∞ V∞∞ V∞.∞.∞.∞ V∞∞ V∞.∞.∞.∞ V∞.∞.∞
Alternări
[(1+,∞,∞,∞)]
(*∞∞∞∞) 		[∞+,∞,∞)]
(∞*∞) 		[∞,1+,∞,∞)]
(*∞∞∞∞) 		[∞,∞+,∞)]
(∞*∞) 		[(∞,∞,∞,1+)]
(*∞∞∞∞) 		[(∞,∞,∞+)]
(∞*∞) 		[∞,∞,∞)]+
(∞∞∞)
                                  
             
Duale alternate
           
V(∞.∞)∞ V(∞.4)4 V(∞.∞)∞ V(∞.4)4 V(∞.∞)∞ V(∞.4)4 V3.∞.3.∞.3.∞

Bibliografie

modificare
  • en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
  • en „Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space”. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. . ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678. 

Legături externe

modificare
  Portal Matematică
Adus de la https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Pavare_apeirogonală_de_ordinul_3&oldid=15321847