Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică)

Acest articol se referă la metoda analitică pentru oscilatorul armonic liniar în mecanica cuantică. Pentru alte sensuri, vedeți Oscilator armonic (dezambiguizare).

Metoda analitică de rezolvare a ecuației lui Schrödinger pentru oscilatorul armonic cuantic, numită și metoda Schrödinger este un procedeu matematic de rezolvare a ecuației ce descrie comportamentul dinamic al unui sisem oscilant armonic microscopic. Metoda, dezvoltată de către fizicianul austriac Erwin Schrödinger, are la bază teoria ecuațiilor diferențiale și utilizarea polinoamelor Hermite. Procedeul acesta, alături de metoda algebrică al lui Dirac și Fock, respectiv metoda polinomială datorată lui Sommerfeld, permite găsirea sistemului complet de funcții proprii care redau comportamentul oscilatorului și obținerea relației de cuantificare a energiei oscilatorului.

Diagrama densităţilor de probabilitate |ψn(x)|2 pentru stările staţionare, începând cu starea fundamentală (n = 0) continuând pentru stările corespunzătoare energiilor mai mari. Pe axa orizontală se reprezintă poziţia x, iar culorile mai deschise corespund densităţilor de probabilitate mai mari.

Oscilator armonic cuanticModificare

Ecuația de mișcare (ecuația lui Schrödinger)Modificare

În mecanica cuantică, ecuația Schrödinger temporală corespunzătoare hamiltonianului clasic este prin definiție:

  

Pentru oscilatorul unidimensional, vectorul de poziție   se înlocuiește prin coordonata  , iar operatorul   (laplaceanul) prin derivata parțială de ordinul doi în raport de coordonata  :  . Potențialul câmpului de forțe în care este plasată particula este în acest caz:  . Se găsește astfel, forma ecuației Schrödinger temporale pentru oscilatorul armonic liniar (unidimensional):

  

Rezolvarea ecuației lui SchrödingerModificare

Legătura dintre ecuația lui Schrödinger și ecuația clasică al lui Hamilton-Jacobi sugerează căutarea unei soluții particulare de forma:  , unde   este un polinom de gradul al doilea de variabilă x având coeficienții  ,  ,   în general dependenți de timp. Expresia generală a acestui polinom se scriesub forma   (1.4). Folosind această formă, se exprimă derivatele parțiale din ecuația Schrödinger prin expresiile:

  

  

  

Întrucât factorul exponențial este definit strict pozitiv, prin înlocuirea acestor derivate în expresia ecuației, se poate simplifica prin el și se găsește egalitatea:

  

Condiția necesară, ca această egalitate să fie satisfăcută este aceea ca toți coeficienții acelorași puteri ale variabilei spațiale să fie nule. Din această condiție se obține sistemul de ecuații lineare ce permite calcularea coeficienților  ,   și  :

  

  

  

Soluția trivială a ecuației (1.7) este aceea în care coeficientul   este independent de timp. O asemenea soluție este analoagă cu soluția ecuației Hamilton-Jacobi pentru un oscilator armonic clasic, rezultă din această analogie relația pentru  :   Din cele două soluții posibile ale acestei ultime ecuații se alege soluția negativă, pentru a asigura posibilitatea normării funcției de undă   dată de relația (1.3), cu alte cuvinte, pentru ca funcția să nu tindă la infinit când x tinde la infinit (să fie mărginit pe întregul domeniu de definiție). Cu această condiție, se poate scrie soluția acceptabilă a ecuației (1.7):

  

Dacă se introduce această relație în ecuația diferențială (1.7.1) se obține ecuația:

  

Ecuația de mai sus, prin integrare directă, admite soluția:

   

unde termenul   reprezintă constanta de integrare arbitrară care poate fi reală sau complexă. Substituind ultimele două rezultate în ecuația (1.7.2) se ajunge la ecuația diferențială

  

din care prin integrare se găsește:

  

în această ultimă relație nu este nevoie de constantă de integrare fiindcă ea ar introduce un factor numeric constant care din punct de vedere fizic este nesemnificativ pentru soluția de la (1.3). Înlocuind expresiile găsite pentru  ,   și   în formula (1.4) rezultă forma funcției  

  

Pentru aducerea la o formă mai simplă a acestei expresii se face o schimbare de variabilă prin care se trece de la coordonata x a microparticulei la o nouă coordonată adimensională:

  

această schimbare induce alegerea unei unități naturale de lungime pentru măsurarea elongațiilor. Avantajul acestei alegeri constă în aceea că exponențialele din expresiile funcțiilor de undă vor avea exponenții adimensionali și va permite separarea variabilei temporale de cea spațială. Cu această notație, forma funcției   devine:

  

Folosind notația ajutătoare:   

soluția (1.4) se scrie

  

se observă că factorul ce conține variabila   se poate dezvolta în serie de puteri ale acestei variabile, având coeficienți care depind de variabila spațială  :

  

Dacă dezvoltarea în serie se face dezvoltând separat factorul   respectiv   se constată că funcțiile   sunt polinoame de gradul  , de variabilă  . De fapt, ele sunt polinoamele Hermite care formează un sistem complet de polinoame ortogonale. Prin schimbarea simultană a semnelor variabilelor   și   în primul membru, expresia acestui membru nu se modifică. Prin urmare:

  

egalând coeficienții acelorași puteri în ambii membri se obține

  

aceasta arată că polinoamele cu indici n pari conțin numai puteri pare iar cele cu indici impari numai puteri impare ale variabilei spațiale. O expresie explicită a polinoamelor Hermite se poate găsi scriind primul membru al relației (1.17) sub forma

  

Cel de-al doilea factor se poate dezvolta în serie Mac Laurin:

  

prin compararea acestei relații cu forma expresiei (1.17)se obține formula explicită a polinoamelor Hermite

  

Prin înlocuirea dezvoltărilor anterioare în relația (1.16) a soluției și ținând cont de notațiile făcute se obține

  

sau în forma explicită:

  

Expresia de mai sus (1.22.1) reprezintă o soluție a ecuației lui Schrödinger (1.2), transcrisă cu schimbarea de variabilă x→  (1.13), oricare ar fi valoarea de regulă complexă a constantei arbitrare de integrare u. Prin urmare, coeficientul fiecărei puteri a acestei mărimi este și el o soluție a ecuației temporale al lui Schrödinger (1.2). Pe baza acestui raționament se obțin următoarele soluții ale acestei ecuații:

  

Se poate observa că în această ultimă formă a soluțiilor, termenii spațiali (care conțin variabila spațială  -elongația exprimată în unități naturale) se pot separa de termenul temporal (cel care conține variabila t-timpul). Dacă notăm prin   partea spațială și prin   parte temporală a soluțiilor, atunci se poate scrie

  
  

soluția scriindu-se prin expresia formală   (1.24.2). Soluția   (1.24) este rezolvarea ecuației Schrödinger atemporale scrisă în scara  

  

respectiv în notația bra-ket (după Dirac):

  

Aceasta este o ecuație cu vectori și valori proprii pentru care valorile proprii   se obțin prin identificarea factorului temporal din expresia (1.24.1) cu forma valabil pentru orice funcție de undă

 

Prin urmare se găsește formula binecunoscută:

  

Această expresie se află în concordanță cu ipoteza cuantică inițială al lui Planck din anul 1900

Prin înmulțirea ambilor membrii ai egalității (1.17) cu exp  se obține următoarea relație pentru  

 

Forma aceasta permite găsirea normelor pentru funcțiile  . Dacă se transcrie această relație prin înlocuirea lui n cu m și al variabilei v cu w:

 

prin înmulțirea membru cu membru a celor două egalități și integrarea după   între limitele   și   se obține

 

Primul membru se poate transforma sub forma:

 

prin urmare:

 

Membrul întâi depinde numai de produsul   este necesar ca și membrul al doilea să depindă de același produs, rezultă în continuare că pentru n diferit de m coeficienții tuturor termenilor trebuie să se anuleze:

pentru n diferit de m
 

Această relație reprezintă condiția de ortogonalitate pentru funcțiile  , aceste funcții sunt de variabilă reală și corespund unor nivele de energie diferite, cuantificate prin numărul natural n. Prin egalarea coeficienților termenului   în ambii membrii a egalității, se obține identitatea:

 

din care se deduce pătratul normei funcțiilor proprii  :

 

Funcțiile proprii normate, exprimate în scara naturală   se scrie deci sub forma:

 

sau, prin înlocuirea plinomului lui Hermite cu forma explicitată:

  

ConcluziiModificare

ReferințeModificare

BibliografieModificare