Constantă de integrare

constantă care exprimă ambiguitatea unei integrale nedefinite a unei funcții

În calculul integral constanta de integrare[1], adesea notată prin (sau ), este un termen constant adăugat la o integrală a unei funcții pentru a indica faptul că integrala nedefinită a lui (adică mulțimea a tuturor integralelor lui ), pe un domeniu conex, este definită doar până la o constantă aditivă.[2][3][4] Această constantă exprimă o nedeterminare inerentă la calculul integralelor.

Mai precis, dacă o funcție este definită pe un interval, iar este o integrală a lui atunci mulțimea tuturor integralelor lui este dată de funcțiile unde este o constantă arbitrară (însemnând că orice valoare a lui ar face din o integrală validă). Din acest motiv, integrala nedefinită este adesea scrisă ca [1][5] deși, pentru simplitate, constanta de integrare ar putea fi uneori omisă în tabelele de integrale.

Derivata oricărei funcții constante este zero. Odată ce s-a obținut o integrală   pentru o funcție   adăugarea sau scăderea oricărei constante   va da o altă integrală, deoarece   Constanta este o modalitate de a exprima faptul că fiecare funcție cu cel puțin o integrală va avea un număr infinit de integrale.

Fie   și   două funcții derivabile peste tot. Să presupunem că   pentru orice număr real x. Atunci există un număr real   astfel încât   pentru orice număr real x.

Pentru a demonstra asta, se observă că   Deci   poate fi înlocuit cu   iar   prin funcția constantă   având ca scop demonstrarea că o funcție derivabilă peste tot a cărei derivată este întotdeauna zero trebuie să fie constantă:

Se ia un număr real   și fie   Pentru orice x, din teorema fundamentală a calculului integral, împreună cu presupunerea că derivata lui   dispare, rezultă că

 

arătând astfel că   este o funcție constantă.

Două aspecte sunt esențiale în această demonstrație. În primul rând, dreapta reală este conexă. Dacă dreapta reală nu ar fi conexă, nu s-ar putea integra întotdeauna a la orice x dat. De exemplu, dacă s-ar cere funcții definite pe reuniunea intervalelor [0,1] și [2,3] și dacă a ar fi 0, atunci nu ar fi posibilă integrarea de la 0 la 3 , deoarece funcția nu este definită între 1 și 2. Aici, vor exista două constante, câte una pentru fiecare componentă conexă din domeniu. În general, prin înlocuirea constantelor cu funcții constante local, se poate extinde această teoremă la domenii neconexe. De exemplu, există două constante de integrare pentru   și infinite pentru   deci, de exemplu, forma generală pentru integrala lui 1/x este:[6][7]

 

Al doilea, s-a presupus că   și   sunt derivabile peste tot. Dacă   și   nu sunt derivabile chiar și la un singur moment dat, atunci teorema ar putea eșua. De exemplu, să fie   funcția treaptă Heaviside, care este zero pentru valorile negative ale lui x și unu pentru valorile nenegative ale lui x, și fie   Atunci derivata lui   este zero acolo unde este definită, iar derivata lui   este întotdeauna zero. Totuși, este clar că   și   nu diferă printr-o constantă oarecare, chiar dacă se presupune că   și   sunt continue peste tot și derivabile aproape peste tot teorema încă eșuează. Ca exemplu, fie   funcția Cantor⁠(d) și din nou fie  

De exemplu, se presupune că cineva dorește să găsească integralele lui   O astfel de integrală este   Alta este   A treia este   Fiecare dintre acestea are derivata   deci toate sunt integrale ale  

Se pare că adăugarea și scăderea constantelor este singura liberate la calculul diferitelor integrale ale aceleiași funcții. Adică, toate integralele sunt la fel până la o constantă. Pentru a exprima acest fapt pentru   se scrie:

 

Înlocuirea   cu un număr va produce o integrală. Totuși, scriind   în loc de un număr, se obține o descriere compactă a tuturor integralelor posibile ale  .   se numește „constanta de integrare”. Se poate determina cu ușurință că toate aceste funcții sunt într-adevăr integrale ale  :

 

Necesitatea

modificare

La prima vedere constanta poate părea inutilă, deoarece poate fi făcută zero. Mai mult, atunci când se calculează integrale definite folosind teorema fundamentală a calculului integral, constanta se va reduce.

Totuși, încercarea de a face constanta zero nu are sens întotdeauna. De exemplu,   poate fi integrat în cel puțin trei moduri diferite:

 

Deci, punerea   la zero poate produce rezultate care diferă între ele printr-o constantă. Aceasta înseamnă că, pentru o funcție dată nu există neapărat „cea mai simplă integrală”.

O altă problemă cu punerea   la zero este că uneori se dorește o integrală care are o valoare dată într-un punct dat (o problemă cu valoare inițială). De exemplu, pentru a obține integrala lui   care are valoarea 100 la   atunci o singură valoare a lui   va fi corespunzătoare (în acest caz  ).

Această restricție poate fi reformulată în limbajul ecuațiilor diferențiale. Obținerea unei integrale nedefinite a unei funcții   este același lucru cu rezolvarea ecuației diferențiale   Orice ecuație diferențială va avea multe soluții, iar fiecare constantă reprezintă soluția unică a unei probleme cu valoare inițială bine puse. Impunerea condiției ca integrala să ia valoarea 100 la   este o condiție inițială. Fiecare condiție inițială corespunde uneia și numai unei valori a lui  , așa că fără   ar fi imposibil să se rezolve problema.

Există și o altă justificare, care vine din algebra abstractă. Spațiul tuturor funcțiilor reale de variabilă reală este un spațiu vectorial, iar operatorul diferențial⁠(d)   este un operator liniar. Operatorul   aplică o funcție pe zero dacă și numai dacă acea funcție este constantă. În consecință, nucleul⁠(d) lui   este spațiul tuturor funcțiilor constante. Procesul de integrare nedefinită echivalează cu obținerea unei imagini prealabile a unei anumite funcții. Nu există o imagine prealabilă canonică pentru o anumită funcție, dar mulțimea tuturor acestor imagini formează o anumită comulțime⁠(d). Alegerea unei constante este la fel cu alegerea unui element al mulțimii. În acest context, rezolvarea unei probleme cu valoare inițială este văzută ca fiind situată în hiperplanul dat de condițiile inițiale.

  1. ^ a b Eugenia Paulescu, Matematică generală Arhivat în , la Wayback Machine. (curs, 2019, cap. 2.2 Integrare, p. 6), Universitatea de Vest din Timișoara, accesat 2023-07-13
  2. ^ en Stewart, James (). Calculus: Early Transcendentals  (ed. 6th). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5. 
  3. ^ en Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (). Calculus (ed. 9th). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4. 
  4. ^ en „Definition of constant of integration | Dictionary.com”. www.dictionary.com. Accesat în . 
  5. ^ en Eric W. Weisstein, Constant of Integration la MathWorld.
  6. ^ en Reader Survey: log|x| + C, Tom Leinster, The n-category Café, March 19, 2012
  7. ^ en Banner, Adrian (). The calculus lifesaver : all the tools you need to excel at calculus . Princeton [u.a.]: Princeton University Press. p. 380. ISBN 978-0-691-13088-0.