Teorema fundamentală a calculului integral

Teorema fundamentală a calculului integral specifică relația dintre cele două operații de bază ale calculului integral, derivarea și integrarea.

Prima parte a teoremei, numită uneori prima teoremă fundamentală a calculului integral, arată că o integrală nedefinită poate fi inversată prin derivare.

Partea a doua, uneori numită a doua teoremă fundamentală a calculului integral, permite calcularea integralei definite a unei funcții folosind oricare din infinit de multele primitive ale acesteia. Această parte din teoremă simplifică calculul integralelor definite.

Prima formulare și demonstrație publicată a unei versiuni restrânse a acestei teoreme a fost dată de James Gregory (1638-1675). Isaac Newton (1643–1727) și Gottfried Leibniz (1646–1716) au dezvoltat independent unul de altul forma finală a teoremei.

Intuitiv

Intuitiv, teorema afirmă doar că suma unor variații infinitezimale ale unei cantități în timp constituie variația netă a acelei cantități.

Pentru a înțelege această afirmație, vom da un exemplu. Să presupunem că o particulă se deplasează în linie dreaptă cu poziția dată de x(t) unde t este timpul. Derivata acestei funcții este egală cu variația infinitezimală a poziției, dx, pentru o variație infinitezimală a timpului, dt (bineînțeles, derivata însăși depinde de timp). Să definim această variație a distanței pe variația de timp ca viteza v a particulei. În notația lui Leibniz:

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=v(t).$

Rearanjând această ecuație, rezultă că:

$\mathrm {d} x=v(t)\,\mathrm {d} t.$

Prin logica de mai sus, o variație a lui x, notată $\Delta x$, este suma modificărilor infinitezimale dx. Ea este egală și cu suma produselor infinitezimale ale derivatei și timpului. Această adunare infinită se numește integrare; deci, operația de integare permite recuperarea funcției originale din derivata ei. De aici se poate deduce că această operație funcționează și invers, derivând rezultatul integralei pentru a obține derivata originală.

Enunțuri

Teorema fundamentală a calculului integral are două părți. Prima parte se ocupă de derivata unei primitive, iar a doua parte se ocupă de relația dintre primitivă și integrala definită.

Prima parte

Această parte este numită uneori Prima teoremă fundamentală a calculului integral.

Fie f o funcție continuă cu valori reale definită pe un interval închis [a, b]. Fie F funcția definită, pentru fiecare x din [a, b], prin

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$

Atunci, oricare ar fi x din [a, b],

$F'(x)=f(x)\,$.

Operația $\int _{a}^{x}f(t)$ este o integrală definită cu limită superioară variabilă, și rezultatul său F(x) este una din infinit de multele primitive ale lui f.

Partea a doua

Această parte este uneori numită A doua teoremă fundamentală a calculului integral.

Fie f o funcție continuă cu valori reale definită pe un interval închis [a, b]. Fie F o primitivă a lui f, adică una din infinit de multele funcții cu proprietatea că, oricare ar fi x din [a, b],

$f(x)=F'(x)\,$.

Atunci:

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)$

Acest rezultat este cunoscut sub denumirea de formula Leibniz-Newton.

Corolar

Fie f o funcție cu valori reale definită pe un interval închis [a, b]. Fie F o funcție astfel încât, oricare ar fi x din [a, b],

$f(x)=F'(x)\,$

Atunci, oricare ar fi x din [a, b],

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t+F(a)$

și

$f(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$.

Exemple

De exemplu, să presupunem că trebuie să se calculeze

$\int _{2}^{5}x^{2}\,\mathrm {d} x.$

Aici, $f(x)=x^{2}$ și putem folosi $F(x)={x^{3} \over 3}$ ca primitivă. Deci:

$\int _{2}^{5}x^{2}\,\mathrm {d} x=F(5)-F(2)={125 \over 3}-{8 \over 3}={117 \over 3}=39.$

Sau, mai general, să presupunem că trebuie să se calculeze

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\int _{0}^{x}t^{3}\,\mathrm {d} t.$

Aici, $f(t)=t^{3}$ și putem folosi $F(t)={t^{4} \over 4}$ ca primitivă. Astfel:

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\int _{0}^{x}t^{3}\,\mathrm {d} t={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}F(x)-{\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}F(0)={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}{x^{4} \over 4}=x^{3}.$

Dar acest rezultat putea fi găsit mult mai ușor ca

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\int _{0}^{x}t^{3}\,\mathrm {d} t=f(x){\mathrm {d} x \over \mathrm {d} x}-f(0){\mathrm {d} 0 \over \mathrm {d} x}=x^{3}.$

Demonstrație

Să presupunem că

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\mathrm {d} t.$

Fie două numere x₁ și x₁ + Δx din [a, b]. Deci avem

$F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}}f(t)\mathrm {d} t$

și

$F(x_{1}+\Delta x)=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\mathrm {d} t.$

Scăzând cele două ecuații

$F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\mathrm {d} t-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\mathrm {d} t.\qquad (1)$

Se poate arăta că

$\int _{a}^{x_{1}}f(t)\mathrm {d} t+\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\mathrm {d} t=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\mathrm {d} t.$

(Suma ariilor a două regiuni adiacente este egală cu aria combinată a ambelor regiuni combinate.)

Manipularea acestei ecuații produce

$\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\mathrm {d} t-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\mathrm {d} t=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\mathrm {d} t.$

Înlocuind aceasta de mai sus în (1) rezultă

$F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\mathrm {d} t.\qquad (2)$

Conform cu teorema valorii medii pentru integrare, există un c din [x₁, x₁ + Δx] astfel încât

$\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\mathrm {d} t=f(c)\Delta x$.

Înlocuind aceasta în (2) obținem

$F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=f(c)\Delta x\,$.

Împărțind ambele părți la un Δx obținem

${\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=f(c).$

Mergând la limită când Δx → 0 în ambele părți ale ecuației,

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c).$

Expresia din partea stângă a ecuației este definiția derivatei lui F în x₁.

$F'(x_{1})=\lim _{\Delta x\to 0}f(c).\qquad (3)$

Pentru a găsi cealaltă limită, vom folosi teorema cleștelui. Numărul c este din intervalul [x₁, x₁ + Δx], astfel că x₁ ≤ c ≤ x₁ + Δx.

De asemenea, $\lim _{\Delta x\to 0}x_{1}=x_{1}$ and $\lim _{\Delta x\to 0}x_{1}+\Delta x=x_{1}$.

Deci, conform teoremei cleștelui,

$\lim _{\Delta x\to 0}c=x_{1}.$

Înlocuind în (3), rezultă

$F'(x_{1})=\lim _{c\to x_{1}}f(c).$

Funcția f este continuă în c, deci limita poate fi introdusă în cadrul funcției. Deci rezultă

$F'(x_{1})=f(x_{1})\,$.

ceea ce încheie demonstrația.

(Leithold et al, 1996)

Bibliografie

• Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
• Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
• Malet, A, Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).
• Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
• Dahlquist, Germund. „Chapter 5: Numerical Integration”. Numerical Methods in Scientific Computing. Björck, Åke. Philadelphia: SIAM. Arhivat din original la 15 iunie 2007. Accesat în 4 martie 2008. 
• Stoer, Josef (2002). „Chapter 3: Topics in Integration”. Introduction to Numerical Analysis. Bulirsch, Roland (ed. 3rd). Springer. ISBN 978-0-387-95452-3. .
• Kahaner, David (1989). „Chapter 5: Numerical Quadrature”. Numerical Methods and Software. Moler, Cleve; Nash, Stephen. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-627258-8. 
• Turnbull, H W (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939)