Integrarea este una dintre cele două operații de bază din analiza matematică . Nefiind evidentă și imediată, spre deosebire de diferențiale , tabelul cu integrale unor funcții cunoscute este foarte util. Funcțiile rezultate în urma integrării se numesc primitive
Această pagină este o listă cu câteva dintre integralele unor funcții des întalnite; o listă mai detaliată se poate consulta la lista integralelor .
Se folosește C pentru constanta de integrare arbitrară care poate fi calculată numai dacă se cunoaște o valoare particulară pentru integrală într-un anumit punct. Prin urmare, fiecare funcție are un număr infinit de primitive.
Se poate consulta, de asemenea, și lista de derivate .
modificare
P
e
n
t
r
u
a
r
e
a
l
n
e
n
u
l
:
∫
a
f
(
x
)
d
x
=
a
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle Pentru\ a\ real\ nenul:\int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx}
∫
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)
]
d
x
=
∫
f
(
x
)
d
x
+
∫
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}
∫
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
∫
g
(
x
)
d
x
−
∫
(
∫
g
(
x
)
d
x
)
d
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left(\int g(x)\,dx\right)\,d(f(x))}
mai multe integrale: Primitivele funcțiilor raționale
∫
0
d
x
=
C
{\displaystyle \int 0\,dx=C}
∫
1
d
x
=
x
+
C
{\displaystyle \int 1\,dx=x+C}
∫
x
d
x
=
x
2
2
+
C
{\displaystyle \int x\,dx={\frac {x^{2}}{2}}\ +C}
∫
a
x
d
x
=
a
x
l
n
|
a
|
+
C
{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{ln{\left|a\right|}}}\ +C}
∫
x
a
d
x
=
x
a
+
1
a
+
1
+
C
{\displaystyle \int x^{a}\,dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C}
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
a
≠
−
1
{\displaystyle a\neq -1}
∫
1
x
d
x
=
ln
|
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln {\left|x\right|}+C}
∫
d
x
x
2
+
a
2
=
1
a
a
r
c
t
g
x
a
+
C
{\displaystyle \int {dx \over {x^{2}+a^{2}}}={1 \over a}arctg{x \over a}+C}
∫
d
x
x
2
−
a
2
=
1
2
a
ln
|
x
−
a
x
+
a
|
+
C
{\displaystyle \int {dx \over {x^{2}-a^{2}}}={1 \over 2a}\ln \left|{{x-a} \over {x+a}}\right|+C}
mai multe integrale: Primitivele funcțiilor iraționale
∫
d
x
x
2
+
a
2
=
ln
(
x
+
x
2
+
a
2
)
+
C
{\displaystyle \int {dx \over {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}})+C}
∫
d
x
x
2
−
a
2
=
ln
|
x
+
x
2
−
a
2
|
+
C
{\displaystyle \int {dx \over {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}=\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\right|+C}
∫
d
x
a
2
−
x
2
=
arcsin
x
a
+
C
{\displaystyle \int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C}
∫
−
d
x
a
2
−
x
2
=
arccos
x
a
+
C
{\displaystyle \int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C}
∫
d
x
x
x
2
−
a
2
=
1
a
arcsec
|
x
|
a
+
C
{\displaystyle \int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}{\mbox{arcsec}}\,{|x| \over a}+C}
mai multe integrale: Primitivele funcțiilor logaritmice
∫
ln
x
d
x
=
x
l
n
x
−
x
+
C
{\displaystyle \int \ln {x}\,dx=xlnx-x+C}
∫
log
b
x
d
x
=
x
log
b
x
−
x
log
b
e
+
C
{\displaystyle \int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C}
mai multe integrale: Primitivele funcțiilor exponențiale
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
{\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}
∫
e
a
x
d
x
=
e
a
x
a
+
C
{\displaystyle \int e^{ax}\,dx={e^{ax} \over a}+C}
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
a
+
C
{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}
mai multe integrale: Primitivele funcțiilor trigonometrice și Primitivele funcțiilor invers trigonometrice
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}
∫
sin
a
x
d
x
=
−
cos
a
x
a
+
C
{\displaystyle \int \sin {ax}\,dx=-{\cos {ax} \over a}+C}
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}
∫
cos
a
x
d
x
=
sin
a
x
a
+
C
{\displaystyle \int \cos {ax}\,dx={\sin {ax} \over a}+C}
∫
tan
x
d
x
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}
∫
cot
x
d
x
=
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}
∫
sec
x
d
x
=
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C}
∫
csc
x
d
x
=
−
ln
|
csc
x
+
cot
x
|
+
C
{\displaystyle \int \csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C}
∫
sec
2
x
d
x
=
tan
x
+
C
{\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}
∫
csc
2
x
d
x
=
−
cot
x
+
C
{\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C}
∫
sec
x
tan
x
d
x
=
sec
x
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C}
∫
csc
x
cot
x
d
x
=
−
csc
x
+
C
{\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C}
∫
sin
2
x
d
x
=
1
2
(
x
−
sin
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}
∫
cos
2
x
d
x
=
1
2
(
x
+
sin
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}
∫
sin
n
x
d
x
=
−
sin
n
−
1
x
cos
x
n
+
n
−
1
n
∫
sin
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}
∫
cos
n
x
d
x
=
cos
n
−
1
x
sin
x
n
+
n
−
1
n
∫
cos
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}
∫
arctan
x
d
x
=
x
arctan
x
−
1
2
ln
|
1
+
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C}
mai multe integrale: Primitivele funcțiilor hiperbolice și Primitivele funcțiilor hiperbolice reciproce
∫
sinh
x
d
x
=
cosh
x
+
C
{\displaystyle \int \sinh x\,dx=\cosh x+C}
∫
cosh
x
d
x
=
sinh
x
+
C
{\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C}
∫
tanh
x
d
x
=
ln
|
cosh
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C}
∫
csch
x
d
x
=
ln
|
tanh
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C}
∫
sech
x
d
x
=
arctan
(
sinh
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C}
∫
coth
x
d
x
=
ln
|
sinh
x
|
+
C
{\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C}
Există câteva funcții ale căror primitive (sau anti-derivate) nu pot fi exprimate într-o formă fixă, imediat vizibilă. Oricum, valoarea integralelor definite pe anumite intervale poate fi calculată. Unele dintre cel mai utile se găsesc mai jos.
∫
0
∞
x
e
−
x
d
x
=
1
2
π
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}
Funcția gamma )
∫
0
∞
e
−
x
2
d
x
=
1
2
π
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}
Integrala lui Gauss - Gaussian integral )
∫
0
∞
x
e
x
−
1
d
x
=
π
2
6
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
Numărul lui Bernoulli - Bernoulli number )
∫
0
∞
x
3
e
x
−
1
d
x
=
π
4
15
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}}
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
d
x
=
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}
∫
0
∞
x
z
−
1
e
−
x
d
x
=
Γ
(
z
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)}
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
Funcția gamma )
∫
−
∞
∞
e
−
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
d
x
=
π
a
e
b
2
−
4
a
c
4
a
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}
∫
0
2
π
e
x
cos
θ
d
θ
=
2
π
I
0
(
x
)
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)}
I
0
(
x
)
{\displaystyle I_{0}(x)}
funcția Bessel modificată de ordinul întâi)
∫
0
2
π
e
x
cos
θ
+
y
sin
θ
d
θ
=
2
π
I
0
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}
O nouă formă a metodei prin epuizare (exhaustivă) (în engleză , the method of exhaustion ), furnizează o formulă de evaluare a integralelor definite pentru orice funcție continuă, utilă și în cazul în care aceaste integrale nu au primitive imediate.
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
(
b
−
a
)
∑
n
=
1
∞
∑
m
=
1
2
n
−
1
(
−
1
)
m
+
1
2
−
n
f
(
a
+
m
(
b
−
a
)
/
2
n
)
.
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{f(x)dx=\left({b-a}\right)}\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)/2^{n}).}
![{\displaystyle \int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc2c6e2acadf432d22ca42bc6a21af25e48e64d)
