Deschide meniul principal

Parte întreagă și parte fracționară

se numește parte întreagă a lui x cel mai apropiat întreg mai mic sau egal cu x

Se definește partea întreagă și partea fracționară a unui număr real astfel: Fie x un număr real.

  1. Se numește parte întreagă a lui x cel mai apropiat întreg mai mic sau egal cu x.
  2. Se numește parte fracționară a lui x diferența dintre număr și partea lui întreagă.

Definiția este sugerată de Axioma lui Arhimede: Pentru orice număr real x, există un număr întreg n, unic, astfel încât n ≤ x < n + 1.

Cuprins

NotațiiModificare

  •   - partea întreagă a numărului real x.
  •   - partea fracționară a numărului real x.

ExempleModificare

  •  
  •  
  •  
  •  

Proprietăți imediateModificare

  • Partea întreagă a oricărui număr real este un număr întreg, adică  , pentru orice  

 

  • Orice număr întreg mai mic sau egal cu x este mai mic sau egal decât partea întreagă a lui x:  ,  
  • Partea întreagă a unui număr este egală cu numărul, dacă și numai dacă numărul este întreg, adică  
  • Din Axioma lui Arhimede, rezultă inegalitatea părții intregi: Orice număr real este încadrat de doi întregi consecutivi,

adică pentru orice  

 ,

de unde rezultă că

 
  • Partea fracționară a unui număr real este un număr pozitiv subunitar sau nul:  , pentru orice  
  • Partea fracționară a unui număr întreg este nulă:  , pentru orice  
Remarcă: Mulțimea numerelor reale se poate scrie ca reuniunea tuturor intervalelor care au capete numere întregi consecutive:
 

Alte proprietățiModificare

  • Propoziția 1: Dacă  , atunci  
Demonstrație:
Din  , cum   este un număr întreg mai mic sau egal decât y, rezultă că  , cum membrul stâng este un număr întreg și cel drept un număr real, rezultă  
  • Propoziția 2: Partea întreagă a sumei a două numere reale este mai mare sau egală cu suma părților întregi ale fiecărui număr:  , pentru orice  
Demonstrație:
Din   și  , rezultă  . Cum membrul stâng este un număr întreg și membrul drept este un număr real, rezultă că membrul stâng este mai mic decât partea întreagă a membrului drept:  
  • Propoziția 3: Orice termen număr întreg al unei sume "se pierde" de sub partea întreagă:  , pentru orice   și  
Demonstrație:
Fie  . Se notează  . La inegalitatea părții întregi se adună k în toți membrii:  , ceea ce este echivalent cu  . Așadar, numărul real   este situat între doi întregi consecutivi, deci,  .


  • Propoziția 4: Orice termen număr întreg al unei sume "iese" de sub partea fracționară:  , pentru orice   și  
Demonstrație:
Fie  .  
  • Propoziția 5: Identitatea lui Hermite:  
Demonstrație: Fie   cu  
  • Dacă x se află în prima jumătate a intervalului,   , se obține  , deci  . Așadar,   (1).
 , deci   (2).
Din (1) și (2) rezultă  .
  • Dacă x se află în a doua jumătate a intervalului  , rezultă  , deci  , deci   (3)
 , deci   (4)
Din (3) și (4) rezultă  .

Funcția parte întreagăModificare

Funcția  ,  , pentru orice   se numește funcția parte întreagă. Câteva proprietăți ale acestei funcții:

  • Monotonie - monoton crescătoare pe  : Dacă  , atunci  .
  • Injectivitate - nu este injectivă (pentru că ia de mai multe ori aceeași valoare).
  • Surjectivitate - este surjectivă, adică orice număr întreg este partea întreagă a cel puțin unui număr real:  ,  , astfel încât  .
  • Continuitate: este continuă în orice număr real, neîntreg (este discontinuă în orice număr întreg, dar continuă la dreapta); domeniul de continuitate este   \  .
  • Derivabilitate: fiind constantă pe porțiuni, are derivata nulă; domeniul de derivabilitate este   \  .
  • Alte proprietăți:
  •  ,  (din Propoziția 2)
  •  ,  (din Propoziția 3)

Funcția parte fracționarăModificare

Funcția  ,  , pentru orice   se numește funcția parte fracționară. Câteva proprietăți ale acestei funcții:

  • Monotonie - este strict crescătoare pe orice interval de forma , unde  : Dacă  , atunci  .
  • Injectivitate - nu este injectivă (pentru că ia de mai multe ori aceeași valoare).
  • Surjectivitate - este surjectivă, adică orice număr subunitar pozitiv sau nul este partea fracționară a cel puțin unui număr real:  ,  , astfel încât  .
  • Continuitate: este continuă în orice număr real, neîntreg (este discontinuă în orice număr întreg, dar continuă la dreapta); domeniul de continuitate este   \  .
  • Derivabilitate: fiind egală cu diferența dintre   și un n umăr întreg, are derivata egală cu 1; domeniul de derivabilitate este   \  .
  • Alte proprietăți:
  •  ,  (din Propoziția 4)

BibliografieModificare

  • "Matematica - TC + CD" - I.V. Maftei, A.V. Mihai, M.A. Nicolae, Cătălin-Petru Nicolescu - Ed. UNIVERSAL PAN și Ed. NEDION - București, 2004
  • "Matematica - TC + CD" - D. Savulescu, M. Chirciu, Ș. Alexe, N. Dragomir, T. Deaconu, A.R. Petrescu - Ed. Corint, București, 2008